再 把 它們 加總 起來 。 這些 線段 ， 每 一 段 的 長度 都 可以 用 畢氏 定理 來 求得 近似值 。 首先 我們 把 點 坐 標的 位置 x , y 定義成 時間 的 函數 ， 因此 x = x ( t ) ， y = y ( t ) 。 位置 對 時間 的 導數 是 速度 ， 乘上 瞬間 的 短 時間 dt 就 是 距離 ， 所以 將 x' ( t ) dt 和 y' ( t ) dt 當成 直角 三角形 的 兩 股 ； 利用 畢氏 定理 ， 可 得 該 段 曲線 的 長度 大概 是 。 本來 把上式 從 A 到 B 積 （ 加 ） 起來 ， 就 是 整 條 曲線 的 長度 。 但 因為 我們 考慮 的 是 龐卡赫 圓盤 ， 必須 考慮 度量 的 因素 ， 因此 所 積 的 量 必須 是 畢氏 定理 結果 乘以 度量 ， 亦即 為了 更 進一步 簡化 ， 假設 y ( t ) 都 是 0 ， 所以 曲線 只 是 x 軸 的 一 部分 。 我們 以 0 為 起點 ， 沿著 x 軸 以 等速 移動到 1 。 如果 所 花 時間 也 是 從 0 到 1 ， 那麼 x ( t ) = t ， 這 表示 在 時間 1 單位 等 速 移動 1 長度 單位 ， 所以 速度 x' ( t ) = 1 。 另外 ， 因為 y ( t ) = 0 ， 表示 在 y 方向 上 完全 沒有 動 ， 所以 y' ( t ) = 0 。 於是 在 前 一 段 最後 ， 要 積分 求距離 的 那 串 乘積 ， 就 可以 簡化成 __UNDEF__ 。 很 容易 看出來 ， 當 （ 沿著 x軸 方向 ） 讓 t 靠近 1時 ， __UNDEF__ 的 值 會 趨近於 無窮 大 ， 事實 上 ， 它 的 積分 也 會 趨近於 無窮 大 。 有 一點 需要 注意 ： 即使 度量 係數 （ 此 處 的 G11 和 G22 ） 趨近於 無窮 大 ， 並 不 必然 表示到 邊界 的 距離 一定 也 會 趨近於 無窮 大 。 但是 在 龐卡赫 度量 的 例子 ， 情形 確實 如此 。 我們 再 仔細 看看 從 原點 往 外 移動 時 ， 這些 度量 係數 的 變化 。 當 從 原點 開始 時 ， x = 0 且 y = 0 ， 所以 G11 和 G22 都 等於 4 。 而 如果 愈 接近 圓盤 的 邊緣 ， 也 就 是 x 平方 與 y 平方 的 和 愈 接近 1時 ， 度量 係數 就 會 變 得 愈 大 ， 因而 以 龐卡赫 度量 測量 的 線段 長度 也 就 愈 大 。 例如 沿著 直線 y = x 或 45 度 方向 往 圓盤 邊緣 靠近 時 ， 當 x = 0.7 且 y = 0.7 時 （ 半徑 大約 0.99 ） ， G11 和 G22 約 等於 10,000 。 當 x = 0.705 且 y = 0.705 時 （ 半徑 約 0.997 ） ， G11 和 G22 大約 是 100,000 ； 當 x = 0.7071 且 y = 0.7071 時 （ 半徑 約 __UNDEF__ 0.99999 ） ， G11 和 G22 會 超過 100億 。 愈 靠近 龐卡赫 圓盤 邊界 ， 這些 係數 不 只 是 變大 ， 而是 接近 無窮 大 ， 從 原點 到 圓盤 邊界 的 距離 也 是 如此 。 如果 你 是 住 在 龐卡赫 圓盤 上 的 一 隻 往 外 爬 的 小 蟲子 ， 我 得 告訴 你 一 個 壞 消息 ： 你 永遠 爬 不 到 圓盤 的 邊界 。 好 消息 則 是 ： 其實 你 的 損失 也 不 大 ， 因為 以 龐卡赫 圓盤 這 個 空間 而言 ， 它 其實 是 沒有 邊界 的 。 只有 在 我們 把 這 個 半徑 為 1 的 開圓盤 想成 是 平面 上 的 普通 圓盤 ， 它 才 會 以 單位 圓 作為 邊界 。 但 如果 想成 是 以 龐卡赫 度量 來 測量 長度 的 龐卡赫 圓盤 本身 ， 這 個 圓盤 並 沒有 邊界 ， 任何 想 爬到 邊界 的 蟲子 ， 都 只 能 抱憾 而 終 。 這 個 大家 不 熟悉 、 甚至 有點 違反 直覺 的 事實 ， 是 來自於 由 龐卡赫 度量 定義 的 單位 圓盤 所 具有 的 負曲率 。 預備 知識 ─ 凱勒 流形 的 內在 對稱性 我們 花 了 點 時間 來 討論 度量 ， 是 為 了 要 對 凱勒 度量 和 具備 這 種 度量 的 凱勒 流形 能夠 稍微 有點 概念 。 一 個 度量 是否 為 凱勒 ， 和 在 空間 上 移動 時 ， 度量 如何 變化 有關 。 凱勒 流形 是 一 組 叫做 「 厄米特 流形 」 （ Hermitian manifold ） 的 複流形 的 子類 。 在 厄米特 流形 上 ， 你 可以 把 複數 坐 標 的 原點 放 在 任何 一 點 上 ， 它 在 該 點 上 的 度量 看起來 像是 標準 的 歐氏 幾何 度量 。 但 當 你 離開 該 點 時 ， 它 的 度量 就 愈來愈 不 像 歐氏 的 。 更 明確 的 說 ， 當 移動到 與 原點 的 距離 為 ε時 ， 度量 係數 本身 的 改變 差異 大致 是 ε倍 。 我們 將 這樣 的 流形 稱為 「 一 階 歐氏 空間 」 。 所以 如果 ε 是 0.001 英寸 ， 當 我們 離開 ε 距離 時 ， 厄米特 度量 的 係數 與 原先 的 差距 會 維持 在 約 0.001 英寸 的 誤差 內 。 至於 凱勒 流形 則 是 「 二階 歐氏 空間 」 ， 這 表示 它 的 度量 會 更加 穩定 ； 當 與 原點 的 距離 為 ε時 ， 凱勒 流形 的 度量 係數 的 改變 大致 是 ε2 倍 。 沿用 前面 的 例子 ， 當 ε = 0.001 英寸 時 ， 度量 的 變化 誤差 只有 0.000001 英寸 。 為何 卡拉比 要 特別 重視 凱勒 流形 呢 ？ 要 回答 這 個 問題 ， 我們 得 先 考慮 可能 的 選擇 範圍 。 比方說 ， 如果 真的 想要 嚴格 限制 ， 你 可以 堅持 流形 必須 是 完全 平坦 的 。 但 只要 是 二 維 以上 的 任何 維度 ， 唯一 完全 平坦 的 緊緻 流形 就 只有 環面 或 它 的 近親 。 就 流形 而言 ， 環面 其實 相當 簡單 ， 因而 也 相當 受限 。 我們 希望 能夠 更 多樣 ， 看到 更多 可能性 。 至於 厄米特 流形 ， 則 又 嫌 限制 太少 ， 它 的 可能性 太多 太多 了 。 於是 介於 厄米特 和平坦 之間 的 凱勒 流形 ， 正 具有 幾何學家 經常 尋找 的 那 種 特質 ： 它們 具有 足夠 多 的 結構 ， 因此 不會 難以 操作 ， 但是 結構 又 不會 多 到 限制 過多 ， 以致於 根本 找 不 到 符合 你 的 明確 條件 的 流形 。 關注 凱勒 流形 的 另 一 原因 ， 是 我們 可以 使用 黎曼 發明 的 工具 來 研究 這些 流形 。 早 在 愛因斯坦 的 時代 ， 他 就 利用 其中 一些 工具 來 研究 物理 問題 。 這些 工具 可以 用於 屬於 厄米特 流形子類 的 凱勒 流形 ， 但 並 不 適用 於 全部 的 厄米特 流形 。 我們 之所以 想 使用 這些 工具 ， 是 因為 自 黎曼 發展 之 始 ， 它們 就 已 相當 強大 ， 而 數學家 又 花 了 一 個 世紀 繼續 加以 磨礪 。 因此 ， 既然