同時 作用 在 球面 上 的 每 一 點 。 至於 凱勒 流形 的 內在 對稱 則 比較 局部 ， 因為 它 僅 適用 於 度量 的 一 階 導數 。 然而 ， 運用 微分 幾何 的 技巧 ， 包括 對 整 個 流形 做 積分 ， 我們 可以 看到 凱勒 條件 及 其 相關 的 對稱性 確實 指向 了 ： 不同點 之間 有 著 特定 的 關係 。 如此一來 ， 原先 說 是 局部 的 對稱性 ， 藉由 微積分 ， 就 有 了 更 廣 、 更 大域 的 適用 範圍 ， 為 流形 上 的 各 點 之間 建立 聯繫 。 這 種 對稱 的 關鍵 ， 在於 J 變換 所 造成 的 旋轉 ， 以及 某 種 叫做 「 平行 移動 」 （ parallel translation 或 transport ） 的 操作 。 平行 移動 就 像 J 變換 ， 也 是 一 種 線性 變換 ： 它 將 向量 沿著 曲面 或 流形 上 的 路徑 移動 ， 移動 前後 不但 向量 的 長度 不變 ， 而且 任 兩 向量 的 夾角 也 維持 不變 。 當 遇到 不 容易 畫圖 觀察 平行 移動 的 情形 時 ， 我們 可以 解 微分 方程 ， 藉由 度量 來 精確 決定 向量 平行 移動 的 方式 。 在 平坦 的 歐氏 平面 做 平行 移動 是 很 簡單 的 ： 你 只要 維持 每 個 向量 的 方向 和 長度 不變 即可 。 * 但 在 彎曲 的 曲面 或 一般 的 流形 上 ， 即使 你 想 猶如 歐氏 空間 一樣 ， 希望 盡量 維持 向量 的 方向 不變 ， 但 結果 要 遠遠 複雜 許多 。 凱勒 流形 的 特殊 之 處 在於 ， 如果 在 點 P 取 一 個 向量 V ， 把 它 沿著 既定 路徑 平行 移動到 點 Q ， 在 點 Q 會 得到 一 個 新 向量 W1 ； 接著 對 W1 做 J 變換 ， 把 它 旋轉 90 度 ， 可 得到 另 一 向量 JW1 。 另一方面 ， 我們 也 可以 在 點 P 就 先 對 向量 V 做 J 變換 ， 產生 仍 在 P點 上 的 新 向量 JV ， 然後 沿著 相同 的 路徑 把 JV 平行 移動到 點Q ， 從而 得到 W2 。 如果 這 個 流形 是 凱勒 流形 ， 那麼 不管 你 從 點 P 到 Q 採取 什麼 路徑 來 移動 ， 分別 依照 這 兩 種 步驟 平行 移動 後 的 向量 JW1 和 W2 永遠 都 相等 。 換句話說 ， 在 凱勒 流形 上 ， J 變換 在 經過 平行 移動 後 仍 維持 不變 。 這 對 一般 的 複流形 並 不一定 成立 。 再 換用 另 一 種 說法 則 是 ， 在 凱勒 流形 上 ， 向量 先 平行 移動 再 做 J 變換 ， 或者 先 做 J 變換 再 平行 移動 ， 其 結果 相同 。 這 兩 種 作用 是 可 交換 的 ， 先 做 哪 個 都 無所謂 ， 然而 作用 可 交換 這 回 事 並 不 是 在 任何 場合 都 成立 的 ， 正 如 羅勃 ． 格林恩 曾 生動 地 比喻 道 ： 「 就 像是 先 開門 然後 走到 室 外 的 動作 ， 並 不 等同於 走到 室 外 （ 或 試 著 如此 做 ！ ） 然後 再 開門 。 」 2 我們 用 圖 4.3 來 說明 平行 移動 的 基本 觀念 。 圖 中 所 示 是 實 二維 或 複一維 的 例子 ， 因為 在 紙面 上 只 能 呈現 這 種 簡單 的 維度 。 如此一來 ， 使得 這 個 例子 相當 乏味 ， 因為 旋轉 的 方式 很 有限 ： 只有 向 左 轉 、 向 右 轉 兩 種 。 但是 在 複二維 或 實四維 上 ， 與 某 一 個 向量 垂直 並 具有 給定 長度 的 向量 有 無窮 多 個 。 如果 用 三 維 來 類比 ， 你 可以 想像 有 一 片 巨大 的 三夾板 平放 在 一 顆 籃球 上 ， 板 上 各 方向 的 向量 都 和 圓心 到 切點 的 向量 垂直 。 在 此 情形 時 ， 知道 某 一 向量 與 現有 的 一 個 向量 垂直 ， 並 不 太 能 縮小 可能性 的 範圍 ， 除非 所在 的 剛好 是 凱勒 流形 。 在 這 種 情況 ， 如果 你 知道 在 某 一 點 上 做 J 變換 的 結果 ， 就 可以 知道 在 遠處 的 另 一 點 做 J 變換 時 ， 會 得到 什麼 向量 ， 因為 你 可以 把 在 第一 點 的 變換 結果 平行 移動到 第二 點 。 __UNDEF__ 還 有 一 種 方式 可以 顯示 J 變換 這 種 簡單 作用 和 對稱性 的 關係 。 每 做 一 次 J 變換 可 將 向量 旋轉 90 度 ， 因此 如果 執行 四 次 ， 亦即 旋轉 360 度 ， 向量 正好 轉完 一 圈 回到 原位 ； 這 種 情形 稱為 「 四 階 對稱 」 （ four fold symmetry ） 。 或者 換 另 一 種 方式 來 看 ， 做 兩 次 J 變換 等於 將 向量 乘以 1 ， 做 四 次 J 變換 等於 1 1 = 1 。 這 是 我們 所謂 的 回到 恆 等 變換 。 由於 這 種 四 階 對稱性 僅 適用 於 一點 的 切 空間 ， 它 若要 能 有 用處 ， 就 必須 能 在 空間 中 移動 時 表現出 一致 的 行為 。 這 種 一致性 是 內部 對稱性 的 一 個 重要 性質 。 我們 不妨 把 它 和 指南針 來 比較 。 指南針 只 會 指 著 兩 個 方向 ， 北 和 南 ， 就此 而 言 ， 可以 說 它 具有 二 階 對稱性 。 假如 你 拿 著 指南針 走動 時 ， 它 竟然 沒 道理 的 亂指 方向 ， 你 只 能 認為 你 所 在 的 空間 並 不 是 對稱 的 ， 或者 它 的 磁場 弱 得 不 起 作用 （ 也 可能 是 你 該 買 個 新 的 指南針 ） 。 類似 情形 ， 如果 J 變換 的 結果 視 你 在 流形 中 的 位置 或 移動 方式 而 有 不同 ， 它 就 缺乏 對稱性 通常 賦予 的 秩序 和 可 預測性 。 不僅 如此 ， 事實 上 你 還 知道 這 個 空間 根本 不 是 凱勒 流形 。 以 各 種 表現 方式 定義出 凱勒 流形 的 內部 對稱性 ， 僅 作用 於 流形 的 切 空間 。 這 算是 一 項 優點 ， 因為 在 切 空間 上 ， 作用 的 結果 不會 受 你 所 選 的 坐標系 影響 。 一般來說 ， 這 正 是 我們 在 幾何 和 物理 上 所 尋求 的 特性 ， 希望 作用 的 結果 與 所 選擇 的 坐標系 無關 。 簡言之 ， 我們 不 希望 任意 決定 的 坐標軸 方向 或是 所 選擇 的 原點 ， 會 造成 答案 有所 不同 。 這 個 對稱性 為 卡拉比 所 思考 的 數學 世界 加上 了 一 組 限制 ， 大幅 簡化 了 問題 ， 從而 使得 證明 它 的 前景 露出 了 一 線 曙光 。 然而 ， 內部 對稱性 也 有 卡拉比 始料未及 的 其他 影響 ， 他 所 提出 的 這 種 對稱 其實 是 超 對稱 的 一 個 特例 ， 而