個 獨立 的 解答 ， 已 在 數 年 前 由 俄羅斯 數學家 波戈列洛夫 〔 Aleksei Pogorelov 〕 發表 在 1971年 的 一 篇 論文 裡 。 論文 是 以 俄文 撰寫 的 ， 所以 鄭紹遠 和 我 原先 並 不 知道 該 篇 論文 存在 。 ） 歸結 起來 ， 關鍵 在於 解 一 個 先前 無 人 解 過 的 複 非線性 偏微分 方程 。 即使 先前 不 曾 有 人 解 過 這 個 問題 （ 波戈列洛夫 除外 ， 但是 當時 我們 並 不 知道 他 的 研究 ） ， 但是 關於 如何 處理 非線性 偏微分 方程 ， 卻 已 有 一 套 明確 的 既定 程序 ， 稱為 「 連續法 」 （ continuity method ） ， 這 是 一 種 採取 一連串 估計 的 方法 。 方法 本身 並 不 新奇 ， 訣竅 在於 能 制定出 一 套 對於 手 上 問題 特別 有效 的 策略 。 連續法 的 基本 想法 是 透過 一次次 愈來愈 準確 的 估計 來 逐漸 逼近 解答 。 證明 的 本質 在於 論證 經過 足夠 多 次 的 迭代 之後 ， 這 個 過程 可以 收斂到 一 個 良好 的 解 。 如果 一切 順利 ， 最後 你 得到 的 ， 仍然 不會 是 可以 作為 解 而 寫下來 的 明確 算式 ， 而 只是 證明出 該 方程 的 解 的確 存在 。 就 卡拉比 猜想 以及 與 它 同 性質 的 問題 而言 ， 證明 某 一 偏微分 方程 有解 ， 就 等於 幾何 裡 的 存在性 證明 ， 說明 給定 某 一 「 拓樸 」 條件 ， 則 合乎 該 條件 的 特定 幾何 形體 確實 存在 。 不過 這 也 並 不 表示 你 只 證明 了 有解 ， 卻 對解 一無所知 。 因為 你 證明 解存在 的 方案 ， 可以 轉化成 運用 電腦 計算 來 逼近 答案 的 數值 技巧 。 （ 我們 在 第九 章 還 會 談到 數值 技巧 。 ） 連續法 這 個 名稱 的 由來 ， 是 因為 它 從 已 知 如何 解 的 方程 的 解開始 ， 然後 將 這 個 解 連續不斷 的 變形 ， 直到 得出 你 想 求解 的 方程 的 解才 結束 。 這 個 用於 卡拉比 猜想 證明 的 程序 ， 通常 分為 兩 部分 ， 其中 之 一 只 在 已 知解 的 附近 才 有用 。 這 一 部分 通常 可 稱為 牛頓 勘根法 ， 它 大致 是 根據 牛頓 在 三百 年 前 發明 的 一 種 解題 技巧 。 我們 用 一 個 例子 來 說明 牛頓 勘根法 如何 運作好 了 ： 函數 y = x 33 x + 1 的 函數 圖形 ， 是 一 條 與 x 軸交 於 三 點 （ 有 三 個 根 ） 的 曲線 。 光 看 方程式 並 不 容易 看出 這 三 個 根落 在 哪裡 ， 但 牛頓 勘根法 可 幫助 我們 找出 它們 的 位置 。 先 假定 我們 無法 直接 解出 這 方程式 的 根 ， 但 我們 猜測 有 一 個 根 在 點 x0 附近 ， 如果 我們 取 這 方程 的 曲線 在 點 （ x0 , x 033 x0 + 1 ） 的 切線 ， 這 條 切線 會 和 x 軸 交於 另 一 點 x1 。 x1 會 比 x0 更 接近 真正 的 根 。 接著 我們 再 取 曲線 在 點 x1 的 對應 切線 ， 則 切線 會 和 x 軸 交於 更 接近 根 的 點 x2 。 如果 一 開始 的 猜測 誤差 不 大 ， 這 個 過程 很 快 就 會 收斂到 真正 的 根 x 。 再 舉 一 個 例子 。 假設 我們 有 一 系列 的 方程式 Et ， 其中 只有 一 個 方程 E0 （ 當 t = 0 時 的 情形 ） 我們 知道 怎麼 解 ， 但 我們 真正 想 解 的 是 E1 ， 也 就 是 t = 1 時 的 方程 。 當 t 很 接近 0時 ， 因為 我們 知道 E0 的 答案 ， 所以 可以 使用 牛頓法 ， 但 牛頓法 不見得 可以 把 我們 一路 帶到 t = 1 ， 因此 我們 需要 使用 另 一 個 、 應用 範圍 更 廣 的 估計 技巧 。 該 怎麼 做 呢 ？ 假設 有 人 朝 太平洋 發射 了 一 枚 飛彈 ， 落在 比基尼 環礁 半徑 100 英里 的 範圍 內 ， 這樣 我們 大致 知道 了 飛彈 的 落點 ， 但 如果 還 想 知道 更多 ， 例如 它 飛行 時 的 速度 、 加速度 和 加速度 的 變化率 ， 那 就 得 用 微積分 來 對 描述 飛彈 軌跡 的 方程 求 一 、 二 、 三 階 導數 。 （ 我們 還可以 求 更多 階 導數 ， 但 對 我 所 研究 的 二 階 橢圓型 方程 ， 求到 三 階 導數 通常 就 夠 了 。 ） 在 偏微分 方程 中 ， 光 是 求 這些 導數 可能 就 很 難 了 ， 但是 單單 如此 還 不 夠 。 我們 還 必須 能 「 控制 」 它們 。 「 控制 」 指 的 是 定出 其 上下 界 ， 確保 它們 不會 太 大 或 太 小 ； 換言之 ， 確保 我們 所 得 的 解答 是 「 穩定 」 的 ， 不會 暴衝到 無窮 大 以致 失效 ， 使得 求解 的 過程 徒勞無功 。 所以 我們 從 零階 導數 ， 即 飛彈 的 位置 開始 ， 看看 能否 設定 某 個 上下界 ， 也 就 是 做 估計 ， 至少 提示出 解存在 的 可能性 。 然後 我們 再 對 每 個 更 高階 的 導數 都 做 估計 ， 確認 所有 估計 都 不會 太 大 或 太 小 ， 而且 描述 這些 估計 的 函數 不會 變動 得 太 劇烈 。 這 涉及到 對 速度 、 加速度 和 加速度 變化率 等 做 所謂 的 「 先驗 估計 」 （ a priori estimate ） 。 如果 我們 能 以 此 方式 ， 從 零階一路 到 三 階 導數 都 建立 控制 ， 一般而言 ， 我們 就 對 整 個 方程 有 了 良好 的 控制 ， 也 很 有 機會 解出 方程式 。 這 種 估計 過程 ， 以及 證明 估計 本身 可以 被 控制 的 過程 ， 通常 是 整 個 解題 過程 中 最 困難 的 一 環 。 所以 ， 說 到底 一切 都 在於 估計 。 我 首次 體認到 估計 對於 解決 這 類 問題 的 重要性 的 經驗 ， 其實 是 有點 諷刺 的 。 記得 當 我 剛 進 研究所 時 ， 我 在 柏克萊 數學系 的 大廳 遇到 兩 位 義大利 博士 後 研究員 ， 他們 正 歡喜 雀躍 邊 叫 邊 跳 。 我 問 他們 發生 了 什麼 事 ， 他們 說 剛 得到 一 個 估計 。 當 我 問 他們 估計 是 什麼 時 ， 他們 當下 的 反應 就 像是說 ： 你 是 沒 資格 走進 數學 系館 的 無知 者 。 有 了 這 次 經驗 ， 我 下定決心 要 學會 先驗 估計 這 門 學問 。 比 我 早 數十 年 ， 卡拉比 也 經歷 過 類似 的 遭遇 。 他 的 教訓 來自 他 的 朋友 兼 合作 者 尼倫柏格 。 尼倫柏格 對 他 說 ： 「 跟著 我 唸 一 遍 ： 沒有 先驗 估計 ， 就 解不了 偏微分 方程 。 」 5 在 1950年代 初 ， 當 卡拉比 寫信 給 威爾 談論 他 的 猜想 時 ， 威爾