我 可以 說 的 是 ， 度量 確實 存在 ， 但 並 不能 明確 說出 它 是 什麼 。 雖然 聽起來 不 像是 多麼 了不得 的 事 ， 但 我 所 證明 「 在 那兒 」 的 度量 ， 其 後續 影響 卻 很 神奇 。 經由 我 的 證明 ， 確認 了 存在 著 許多 奇妙 、 多維 的 形體 （ 現在 稱為 卡拉比 - 丘 空間 ） ， 滿足 沒有 物質 情況 下 的 愛因斯坦 方程 。 我 所 求出 的 不只 是 愛因斯坦 方程 的 「 一 個 」 解 ， 而是 我們 所 知 最 大 一 類 的 方程 解 。 我 同樣 也 論證 了 ， 只要 連續 地 改變 拓樸 ， 即可 產生 無窮 多 類 卡拉比 猜想 關鍵 方程式 的 解 （ 此 方程 是 愛因斯坦 方程 的 一 個 特例 ， 現在 稱為 卡拉比 -丘 方程 ） 。 方程式 的 解 本身 是 一 個 拓樸 空間 ， 證明 的 威力 在於 它 是 最 一般 的 情況 。 換句話說 ， 我 證明 的 不 只 是 這 種 空間 的 一 個 或 一 特殊類 的 例子 ， 而是 非常 多 類 的 例子 。 我 還 能 更 進一步 論證 ， 如果 固定 某些 拓樸 條件 ， 例如 確定 位於 原流形 中 的 某些 複子 流形 ， 那 就 只 可能 有 一 個 解 。 在 我 的 證明 之前 ， 已 知 能 滿足 愛因斯坦 方程 所 設定 條件 的 緊緻 空間 ， 只 有 「 局部 齊性 」 （ locally homogeneous ） 的 空間 ， 也就是說 ， 任何 彼此 靠近 的 兩 點 看起來 是 一樣 的 。 不過 我 所 得到 的 空間 ， 既 非齊性 、 也 不 具 對稱性 ， 至少 沒有 整體 的 大域 對稱性 ， 儘管 它 具有 前 一 章 討論 過 、 比較 不 明顯 的 內部 對稱性 。 對 我 而言 ， 這 不啻 是 跨過 了 一 道 巨大 的 障礙 ， 因為 一旦 掙脫 大域 對稱 的 桎梏 ， 便 開啟 了 數之不盡 的 各 種 可能性 ， 讓 這 世界 變 得 既 有趣 而且 也 更 紛雜 。 起初 ， 我 只是 沉醉 於 這些 精緻 空間 以及 曲率 本身 的 美 ， 還 不 曾 想 過 實際 應用 的 可能性 。 但是 要不了 多久 ， 種種 應用 相繼 出現 ， 有的 在 數學 內部 ， 有的 在 數學 之外 。 以前 ， 我們 一度 認為 卡拉比 的 想法 「 好 到 難以置信 」 ， 結果 卻 發現 它 竟然 比 「 好 到 難以置信 」 還要 更 好 。 圖 5.1 數學家 鄭紹遠 __UNDEF__ （ George M .
 
Bergman 拍攝 ） 圖 5.2 圖 為 牛頓 勘根法 的 簡單 說明 。 要 找出 某 一 特定 曲線 （ 即 函數 ） 與 X軸 的 交點 ， 我們 先 從 一 個 最佳 估計 x0 開始 ， 然後 取 這 條 曲線 在 點 x0 的 對應 切線 ， 看看 它 會 和 X軸 在 哪裡 相交 （ 我們 把 交點 稱為 x1 ） 。 再 對 x1 做 同樣 的 操作 ， 如此 一直 下去 。 假定 初始 估計 誤差 不 大 ， 我們 會 逐漸 逼近 真正 的 解 ， 點 x 。 圖 5.3 數學家 尼倫柏格 第6 章 __UNDEF__ 弦論 的 DNA 弦論 必須 是 十維 的 理由 十分 複雜 ， 主要 的 想法 大致 如下 ： 維度 愈 大 ， 弦 可以 振動 的 方式 愈 多 。 但 為了 製造出 宇宙 中 的 所有 可能性 ， 弦論 不只 需要 大 數目 的 可能 振動 模式 ， 而且 這 個 數目 還 必須 是 特定 的 數 ， 結果 這 個數 只有 十 維 時空 才 辦 得 到 。 尋找 鑽石 的 時候 ， 幸運 的話 ， 你 可能 附帶 找到 其他 的 寶石 。 我 在 1977年 發表 的 一 篇 兩 頁 論文 裡 ， 宣告 完成 了 卡拉比 猜想 的 證明 ， 詳細 的 證明 則 發表 在 1978年 的 73 頁 論文 中 ， 在 這 篇 文章 裡 ， 我 附帶 證明 了 另外 五 個 相關 的 定理 。 綜 而 言 之 ， 這些 意外 的 收穫 ， 其實 源自我 思索 卡拉比 猜想 時 的 非常 境遇 ： 我 先 是 想 證明 他 的 猜想 是 錯 的 ， 後來 又 掉頭 ， 試圖 證明 它 是 對 的 。 非常 幸運 ， 我 所有 努力 都 沒有 白費 ， 每 一 著 錯步 ， 每 條 看似 不 通 的 死路 ， 後來 都 被 我 用上 了 。 我 號稱 的 「 反例 」 （ 從 卡拉比 猜想 導出 的 結論 ， 我 想 證明 它們 是 錯 的 ） ， 因為 卡拉比 猜想 的 成立 ， 結果 連帶 也 是 正確 的 。 因此 這些 失敗 的 反例 ， 事實 上 是 正確 的 典例 ， 很 快 都 成 了 數學 定理 ， 其中 有 些 還 頗為 著名 呢 。 這些 定理 中 最 重要 的 一 項 ， 又 帶領 我們 推導出 「 賽佛利 猜想 」 （ Severi con jecture ） ， 這 是 龐卡赫 猜想 的 複數 版本 ， 數學家 有 二十多 年 無法 證明 其 對 或 錯 。 不過 在 進行 這 項 證明 之前 ， 我 得 先 證明 一 個 關於 複曲面 拓樸 分類 的 重要 不等式 。 我 之所以 對 這 個 不等式 感興趣 ， 部分 原因 是 聽到 哈佛 大學 數學家 曼弗德 （ David Mumford ） 的 演講 ， 他 當時 正 路過 加州 。 這 個 問題 是 荷蘭 雷登 大學 的 安東尼斯．凡德文 （ Antonius van de Ven ） 首先 提出 的 ， 討論 關於 凱勒 流形 陳式類 的 不等式 ， 凡德文 證明 ： 凱勒 流形 第二 陳氏類 的 8 倍 ， 不 小於 其 第一 陳氏類 的 平方 。 當時 許多 人 相信 將 不等式 中 的 8 換成 3 ， 將 會 得到 更 強 的 不等式 ， 事實 上 ， 大家 認為 3 是 可能 的 最佳值 。 曼弗德 問 的 ， 就 是 能不能 證明 這 個 更 嚴格 的 不等式 。 這 個 問題 是 1976年 9月 曼弗德 在 加州 大學 爾灣 分校 演講 時 提出 的 ， 當時 剛 證明 卡拉比 猜想 的 我 ， 正好 聽 了 這 場 演講 。 他 演講 到 中途 ， 我 就 相當 確定 曾經 遇 過 相同 的 問題 。 在 演講 之後 的 討論 中 ， 我 告訴 曼弗德 自己 應該 可以 證明 這 個 更 困難 的 不等式 。 當天 回家 後 ， 我 檢查 做 過 的 計算 ， 果然 不出所料 ， 自己 曾經 在 1973年 試圖 用 這 個 不等式 來 否證 卡拉比 猜想 。 而 現在 ， 我 可以 倒過來 ， 用 卡拉比 - 丘定理 * 來 證明 這 個 不等式 。 事實 上 我 的 收穫 更 豐盛 ， 因為 運用 其中 的 特殊 情況 ， 也 就 是 一 個 「 等式 」 — — 即 第二 陳氏類 的 3 倍 「 等於 」 第一 陳氏類 的 平方 — — 來 證明 了 賽佛利 猜想 。 賽佛利 猜想 與 這 個 應用 範圍 更 廣 的 不等式 （ 有 些 時候 被 稱為 「 波格莫洛夫 - 宮岡 - 丘不等式 」 〔 Bogomorov-Miyaoka-Yau ine quality 〕 ， 以 表彰 另 兩 位 數學家 的 貢獻 ） 是 卡拉比 證明 最初 的 主要 副產品 ，