， 其中 有些 是 理論 容許 的 ， 有些 則 必須 排除 。 如果 能 列出 所有 容許 的 物件 及 運動 方式 ， 就 能 得到 一 張 粒子 與 質量 的 清單 。 另 一 種 觀點 則 是 運用 量子 力學 的 標準 理論 。 根據 波粒 二象性 的 核心 主張 ， 粒子 可以 被 想像成 波 ， 波 也 可以 被 想像成 粒子 。 因此 ， 弦論 中 的 粒子 如 前 所 述 ， 對應到 弦 的 特定 振動 模式 。 而 弦用 典型 、 給定 的 方式 振動 ， 也 和 波 很 相像 。 於是 問題 就 變成 要 釐清 ： 空間 的 幾何 性質 如何 影響波 的 形成 。 讓 我們 假設 空間 是 太平洋 ， 我們 漂流 在 洋面 上 ， 距離 最近 的 陸地 有 千里 之遙 ， 同時 也 遠離 深海 底下 的 海床 。 由於 海床 有 數 公里 深 ， 可以 想見 ， 海床 的 形狀 或 地形 ， 相對 來 說 ， 很 難 影響 洋面 上 形成 的 波 。 但 如果 換成 侷限 的 空間 （ 例如 淺窄 的 海灣 ） ， 情況 就 大大 不同 ， 這時 外海 一些 微小 的 波動 ， 在 靠岸 的 淺水區 也 可能 變成 海嘯 巨浪 。 就算 是 比較 不 極端 的 情況 ， 海面 下 的 暗礁 沉石 ， 也 足以 影響 海面 波浪 生成 或 斷裂 的 樣式 與 位置 。 在 以上 的 例子 裡 ， 開闊 的 大洋 就 像 非 緊緻 、 可 延伸 的 空間 ； 海岸 淺水區 則 像 弦論 裡 微小 緊緻 的 內 空間 ， 這時 ， 空間 的 幾何 形狀 將 主宰 形成 的 波 ， 於是 也 決定 了 可能 形成 的 粒子 。 另 一 個 例子 是 樂器 ， 例如 小提琴 ， 就 是 一 個 能夠 產生 獨特 振動 模式 或 波 的 緊緻 空間 ， 差別 在於 ， 它 對應 的 是 音高 而 不 是 粒子 。 撥弦 所 發出 的 聲音 ， 不只 和 琴弦 的 長短 與 粗細 有關 ， 也 和 樂器 內部 共鳴箱 的 形狀 有關 ， 某些 波頻 會 以 最 大 振幅 共鳴 。 琴 上 每 根 弦 以 基頻 來 命名 ， 例如 小提琴 上 的 四 條 弦 定音 為 G 、 D 、 A 、 E 。 於是 ， 就 像 製 琴 名 匠 努力 尋找 正確 的 樂器 形狀 以 發出 所 求 的 聲音 ， 物理學家 也 在 尋找 具有 適當 幾何 性質 的 卡拉比 - 丘流形 ， 據以 得到 大自然 中 的 波 與 粒子 。 通常 物理學家 解決 這 類 問題 時 ， 是 去 求出 某 個 波動 方程 的 解 ， 這 個 方程 的 正式 名稱 是 「 狄拉克 方程 」 （ Dirac equation ） 。 當然 ， 波動 方程 的 解 就 是 波 以及 對應 的 粒子 。 不過 這 是 很 困難 的 方程 ， 對於 大自然 中 可能 存在 的 粒子 ， 通常 是 解 不 出來 的 。 一般 只有 所謂 的 「 無 質量 粒子 」 才 能 解 ， 它 所 對應 的 是 某 特殊 弦 的 最 低 或 基本 頻率 。 這些 無 質量 粒子 包括 了 所有 日常 世界 能 見到 或 感知 的 粒子 ， 也 包括 在 高能 物理 加速器 中 驚鴻一瞥 的 粒子 。 其中 一些 粒子 如 電子 、 渺子 （ muon ） 、 微中子 等 其實 是 有 質量 的 。 這裡 用詞 的 混淆 ， 是 因為 它們 取得 質量 的 機制 ， 與 所謂 的 「 質量 粒子 」 完全 不同 ， 這些 質量 粒子 只有 在 很 高 能量 的 「 弦 尺度 」 才 會 形成 。 像 電子 這些 正常 粒子 的 質量 ， 比 那些 更 重 的 粒子 要 輕上 許多 ， 大概 小上 千兆 倍 或 更多 ， 因此 相對 來 說 ， 也 差不多 可以 把 這些 正常 粒子 看成 是 無 質量 的 。 不過 就算 狄拉克 方程 在 無 質量 粒子 的 情況 比較 容易 處理 ， 要 解出 這 個 方程 仍 非 易 事 。 幸好 ， 卡拉比 - 丘流形 的 某些 特質 改善 了 這 個 困境 。 首先 ， 超 對稱 可以 減少 變數 的 數目 ， 並且 將 二 階 微分 方程 （ 某些 量 要 做 二 階 導數 ） 轉成 一 階 的 微分 方程 （ 只要 做 一 階 導數 ） ； 而且 ， 超 對稱 讓 所有費 米子 對應到 自己 的 玻色子 ， 如果 你 能 知道 所有費 米子 ， 就 同時 掌握 了 所有 玻色子 ， 反之亦然 。 因此 你 只要 針對 一 類 粒子 來 研究 即可 ， 這時 你 可以 挑選 比較 容易 解 的 方程 來 著手 。 卡拉比 - 丘流形 幾何 性質 內稟 的 另 一 特色 ， 是 狄拉克 方程 的 無 質量 粒子 解 和 另 一 種 數學 架構 — — 稱為 「 拉普拉斯 方程 」 （ Laplace equation ） 的 解 相同 ， 一般 認為 這 是 比較 容易 處理 的 情形 。 其中 最 大 的 優點 是 ， 我們 可以 直接 得到 拉普拉斯 方程 的 解 （ 無 質量 粒子 ） ， 完全 不 需要 再 去 解 微分 方程 ， 甚至 不 需要 知道 卡拉比 - 丘流形 上 的 度量 或 其 確切 形狀 。 所有 我們 該 知道 的 ， 是 卡拉比 - 丘流形 的 拓樸 「 資料 」 ， 一切 都 埋藏 在 稱為 「 赫吉 菱形 」 （ Hodge diamond ） 的 44 矩陣 中 。 由於 下 章 將 討論 這 個 課題 ， 我 暫時 不 多言 ， 各位 只要 知道 ， 這 個 巧妙 的 拓樸 手法 ， 輕易 地 解決 了 無 質量 粒子 的 情形 。 不過 ， 得到 這些 粒子 還 只 是 第一 步 ， 物理 世界 並 不 只 是 一 堆 粒子 ， 還 包括 粒子 彼此 之間 的 作用力 。 在 弦論 中 ， 弦圈 在 時空 中 移動 ， 可能 會 結合 在一起 或者 分開 ， 至於 到底 會不會 發生 ， 取決 於 量度 弦 間 作用力 的 「 弦 耦合 」 （ string coupling ） 效應 。 粒子 交互作用 強度 的 計算 ， 是 非常 耗 神 費力 的 工作 ， 即使 用上弦論 已 具備 的 所有 工具 ， 依 現在 的 狀況 ， 大概 也 得 耗上 一 年 的 時間 ， 才 能 算出 一 個 模型 。 再一次 ， 超 對稱 可以 讓 計算 稍微 輕鬆 一點 ， 而且 數學家 也 幫 得 上 忙 ， 因為 幾何學家 很 熟悉 這 類 問題 ， 我們 口袋 中 有 很多 工具 可以 提供 支援 。 取 一 個 迴圈 ， 讓 它 在 卡拉比 - 丘流形 中 移行 並 振動 ， 它 有 可能 先 變成 8 字形 的 模樣 ， 然後 變成 兩 個 分開 的 迴圈 。 反過來說 ， 兩 個 迴圈 也 有 可能 先 接觸 變成 8 字形 的 樣子 ， 然後 再 結合成 一 個 迴圈 。 這些 迴圈 在 時空 中 的 移動 ， 掃出 一 個 黎曼面 ， 這 正 是 弦 互動 的 圖象 ， 只是 在 弦論 登場 之前 ， 數學家 沒有 將 它 和 物理學 連結 起來 。 弦論 的 初步 理論 驗證 有 了 這些 工具 ， 物理學家 所 提出