情況 並非 如此 ， 基本 要素 就 只 有 膜 而已 。 雖然 不同 維度 的 膜 看起來 不 一樣 ， 但 它們 任何 一 種 都 不能 再 分割成 更 小 的 部分 。 相同 的 ， 弦論 也 認為 弦 （ 用 M 理論 的 措辭 就 是 一 維膜 ） 就 是 一切 ， 不可能 再 分割 下去 。 黑洞 資訊 悖論 與 卡拉比 - 丘流形 用 兩 種 截然不同 的 方式 計算 熵 ， 竟然 得到 相符 的 結果 ， 這 固然 值得 高興 ， 但是 從 另 一 個 角度 來 說 ， 卻 也 很 令 人 驚訝 。 「 乍 見 之下 ， 任 誰 都 不會 認為 黑洞 資訊 悖論 與 卡拉比 - 丘流形 之間 會 有 任何 的 牽連。 」 布朗 大學 物理學家 西蒙斯 （ Aaron Simons ） 說 ： 「 沒想到 回答 這 個 問題 的 關鍵 步驟 ， 是 去 計數 卡拉比 - 丘 空間 中 的 數學 物件 。 」 A 史聰閔格 和 瓦法 的 結果 並 沒有 真的 解決 黑洞 資訊 悖論 ， 不過 他們 透過 弦論 所 獲得 的 黑洞 細節 描述 ， 的確 展示 了 資訊 如何 儲存 的 明確 方式 。 大栗 博司 認為 他們 踏出 了 很 基本 的 一 步 ， 「 因為 他們 說明 了 黑洞 的 熵 和 其他 宏觀 系統 的 熵 一樣 」 ， 這 包括 了 前述 焚書 的 例子 B ， 兩 者 都 包含 了 至少 潛在 可能 可以 恢復 的 資訊 。 當然 ， 1996年 的 研究 只 是 起步 ， 因為 該 論文 所 計算 的 黑洞 熵 ， 並 不 是 真 的 天文 物理 中 的 黑洞 ， 史聰閔格 與 瓦法 的 黑洞 模型 不 是 大自然 中 的 黑洞 ， 它 具有 超 對稱 的 性質 ， 這 是 他們 單純 為 了 可以 計算 而 加上 的 條件 。 但是 縱然 如此 ， 他們 的 結果 仍然 有 可能 推廣到 非 超 對稱 的 情況 。 西蒙斯 解釋 說 ： 「 不管 有沒有 超 對稱 ， 所有 的 黑洞 都 有 奇點 ， 這 是 黑洞 最 主要 的 特色 ， 也 是 造成 『 悖論 』 的 原因 。 在 超 對稱 黑洞 的 情形 ， 弦論 可以 幫忙 我們 理解 在 奇點 周圍 到底 發生 什麼 事 ， 我們 希望 這 個 結果 與 超 對稱 無關 。 」 C 另外 還 有 一 個 麻煩 ， 史聰閔格 和 瓦法 所 描述 的 是 一 個 人造 的 緊緻 五 維 內 空間 ， 以及 一 個 平坦 非 緊緻 的 五維 空間 。 這 並 不 是 一般 弦論 所 討論 的 時空 。 因此 問題 是 ， 他們 的 架構 是否 也 適用 於 一般 的 六 維 內 空間 ， 而 黑洞 則 位於 平坦 的 四維 時空 內 。 解答 在 1997年 出現 了 。 史聰閔格 、 馬爾達西納 （ 當時 任職 於 哈佛 ） 與 韋頓 發表 了 一 篇 論文 ， 將 早前 的 研究 納入 大家 熟悉 的 情況 ， 也 就 是 六 維內 空間 （ 卡拉比 - 丘 空間 ） 與 四維 時空 D 。 他們 把 熵 的 計算 移到 卡拉比 - 丘 六維 空間 ， 馬爾達西納 說 ： 「 現在 膜 擺入 的 空間 比較 不 那麼 超 對稱 （ 所以 比較 接近 我們 的 世界 ） ， 而 黑洞 身處 的 空間 是 本來 該 在 的 四維 空間 。 」 E 他們 的 結果 和 貝肯斯坦 - 霍金 公式 的 計算 符合 程度 甚至 還 更 強 。 馬爾達西納 的 解釋 是 ， 只 由 事件 視界 的 表面積 來 計算 熵 的 想法 ， 只有 在 事件 視界 很 大 而且 曲率 很 小 時 才 正確 。 當 事件 視界 縮小 ， 因此 表面積 也 跟著 變小 時 ， 廣義 相對論 的 逼近 就 會 變差 ， 這時 就 需要 對 愛因斯坦 的 理論 做 「 量子 重力 的 修正 」 。 1996年 的 論文 只 考慮 相對於 微小 普朗克 尺度 的 「 大 」 黑洞 ， 此時 廣義 相對論 的 計算 （ 所謂 一階項 ） 就 足夠 了 。 而 在 1997年 的 論文 裡 ， 除了 原來 的 首 項 之外 ， 它們 還 計算出 第一 量子 修正項 。 換句話說 ， 由 這 兩 種 不同 理路 所 計算出 的 黑洞熵 ， 其 符合 程度 甚至 比 1996年 的 論文 更 佳 。 2004年 ， 大栗 博司 、 史聰閔格 和 瓦法 又 將 1996年 的 想法 ， 推廣到 從 卡拉比 - 丘 空間 經由 膜 包覆 閉鏈 所 能 造出 的 任何 黑洞 ， 他們 的 計算 並 沒有 特別 考慮到 黑洞 的 大小 ， 因此 和 量子 效應 影響 系統 的 程度 無關 。 結果 他們 的 文章 ， 展示 了 如何 計算 廣義 相對論 的 整體 量子 修正 ， 其中 不單 只有 前面 幾 項 而已 ， 而是 包含 了 無窮項 的 整 個 級數 F 。 由於 計算 囊括 了 展開式 的 所有項 ， 瓦法 說 ： 「 我們 得到 更 精細 的 計算 方式 、 更 精確 的 答案 ， 以及 很 幸運 的 ， 比 以前 更 強 的 符合 結果 。 」 G 這 就 是 數學家 和 物理學家 經常 採取 的 研究 理路 ， 當 我們 發現 在 特殊 情況 下 成立 的 結果 ， 就 會 試圖 推廣 這 個 想法 ， 研究 在 更 廣 的 情況 下 是否 也 適用 ， 然後 再 繼續 推廣 下去 ， 看看 到底 可以 走 多 遠 。 AdS/CFT 的 研究 榮景 __UNDEF__ 關於 史聰閔格 與 瓦法 的 研究 ， 我 最後 還 想 談談 另 一 項 推廣 。 由於 缺乏 恰當 的 語彙 支撐 ， 這 會 比 我們 以前 討論 過 的 題材 更 抽象 。 首先 ， 這 個 想法 牽涉到 一 個 很 複雜 的 詞 ： 「 反 迪西特 空間 ／ 保角場論 對應 」 （ Anti-de-Sitter Space/Conformal Field Theory Correspondence ， 簡寫成 「 AdS/CFT 對應 」 ） ， 這 是 1997年 馬爾達西納 發現 的 概念 ， 接著 再 由 普林斯頓 的 科列巴諾夫 （ Igor Klebanov ） 、 韋頓 等 人 繼續 發展 。 用 馬爾達西納 的 比喻 來 說明 ， 這 就 像 DVD 或 70 毫米 膠片 都 可以 放映 同 一 部 電影 一樣 ， 根據 目前 還是 猜想 的 AdS/CFT 對應 ， 在 某些 情況 下 ， 一 個 重力 理論 （ 例如 弦論 ） 可以 和 一 個 標準 的 量子場論 （ 更 精確 的 說 是 保角場論 ） 相互 等價 。 這 個 對應 令 人 十分 訝異 ， 因為 它 將 量子 重力 理論 聯繫到 完全 沒有 重力 的 理論 。 AdS/CFT 對應 的 想法 源自 前述 D膜 的 對偶 描述 。 在 十分 微弱 的 耦合 時 ， 卡拉比 - 丘 空間 中 一 堆 包覆 閉鏈 的 D膜 無法 產生 可 感受到 的 重力 ， 因此 可以 用 量子場論 來 描述 ， 在 這 種 理論 中 沒有 重力 存在 。 但是 在 強 耦合 時 ， 這 一 團 D膜 則 最好 描述成 黑洞 ， 而 這 只 能 用 包含 重力 的 理論 來 描述 。 儘管 卡拉比 - 丘流形 在 AdS/CFT 對應 的 基礎 中 扮演 了 不可或缺 的 角色 ， 但 一 開頭 馬爾達西納 的 想法 並 不 包含 這 類 流形 。 直到 日後 為了 替 這 個 對應 建立