。 已 知 的 四維 重力場 ， 以及 牽涉到 其他 三 種 作用力 的 SU ( 3 ) SU (2) U (1) 規範場 ， 無疑 都 存在 於 我們 身處 的 四維 時空 中 ， 符合 人們 的 觀察 。 不過 規範場 事實 上 存在 於 弦論 描述 的 整 個 十維 時空 上 ， 其中 落在 六維 緊緻 卡拉比 - 丘流形 的 分量 ， 將 會 給出 我們 世界 的 四維 規範 理論 ， 也 就 是 強核力 、 弱核力 與 電磁力 。 事實 上 可以 這樣 說 ： 這些 作用力 是 由 卡拉比 - 丘流形 的 內在 結構 所 生成 的 ， 至少 這 是 弦論 的 觀點 。 到 目前 為止 ， 我們 只 談 了 一些 對稱 的 概念 ， 但 還 沒有 觸及 構造 模型 的 學者 經常 遭遇 的 難題 ， 也 就是 所謂 的 「 對稱 破缺 」 （ symmetry breaking ） 。 先 回到 三維 空間 中 單位 球 的 例子 ， 球 具有 旋轉 不變 的 對稱性 ， 三維 空間 的 旋轉 對稱群 稱為 SO (3) ， 當 球 繞 著 x 軸 、 y軸 或 z 軸 旋轉 時 ， 球 看起來 並 沒有 改變 。 但是 我們 可以 利用 底下 的 方法 來 破壞 這 個 對稱性 ： 在 球 上 畫 一點 作 記號 ， 然後 要求 旋轉 時 ， 不能 移動 這 一 點 。 以 地球 為 例 ， 我們 可以 選擇 北極 作為 這 個 特殊 的 點 ， 這樣 就 只 剩下 繞 著 赤道 的 旋轉 （ 也 就 是 繞 著 南北極軸 的 旋轉 ） 會 固定 北極點 不變 。 這麼一來 ， 本來 球 上 的 三維 對稱群 就 遭受到 破壞 ， 變成 較 小 的 一維群 U (1) ， 這 就 是 對稱 破缺 的 原理 。 7 在 我們 討論 的 雜弦 理論 裡 ， 給定 的 十維 時空 具有 稱為 E8×E8 的 對稱性 。 E8 是 一 個 248 維 的 對稱群 ， 可以 想成 一 個 具有 248 分量 的 規範場 （ 就 像 三維 空間 中 的 向量 可以 用 分量 x 、 y 、 z 來 描述 一樣 ） 。 而 E8E8 是 一 個 更 大 的 對稱群 ， 它 的 維度 是 248 + 248 = 496 。 基於 實際 的 考量 ， 我們 暫時 先 忽略 第二 個 E8 。 當然 ， 就算 只 有 一 個 E8 ， 也 還是 要 面臨 如何 重新 構造出 標準 模型 的 難題 ， 因為 標準 模型 只有 十二 維 ， 我們 要 如何 將 E8 的 248 維 對稱群 「 破壞 」 到 只 剩下 十二 維 呢 ？ 為了 能 「 降落 」 到 四維 時空 與 具 十二 維 對稱群 的 標準 模型 ， 就 必須 找到 某 種 破壞 E8 規範群 對稱性 的 方法 。 我們 可以 特別 選擇 E8 中 某 個 特別 的 結構 方式 ， 使得 那 248 個 分量 有的 打開 、 有的 關掉 ， 我們 尤其 希望 只 關掉 其中 12 個 分量 ， 就 好像 固定 球 上 的 北極 一樣 。 不過 這 12 個 分量 不能 任意 選取 ， 它們 必須 能 剛好 與 SU ( 3 ) SU (2) U (1) 對稱群 一致 。 也就是說 ， 破壞 了 這 個 龐大 的 E8 群 後 ， 在 四維 時空 中 剩下 的 應該 就是 標準 模型 的 規範場 。 對稱 被 破壞 的 其他 規範場 並 沒有 消失 ， 被 打開 的 特徵 表示 它們 存在 於 高能 的 狀態 ， 普通人 完全 無法 接觸到 。 你 可以 說 E8 多出來 的 對稱性 ， 隱藏 在 卡拉比 - 丘流形 中 。 縱然 如此 ， 光 只有 卡拉比 - 丘流形 仍然 不足以 重建出 標準 模型 ， 這 就 是 為什麼 需要 叢 的 原因 。 給定 一 個 流形 ， 叢 的 定義 是 在 該 流形 的 每 一 點 上繫 附 一 組 向量 （ 更 專業 一點 的 名稱 是 「 向量叢 」 〔 vector bundle 〕 ） 。 最 簡單 的 一 類 叢 是 「 切叢 」 （ tangent bundle ） ， 任何 卡拉比 - 丘流形 都 有 自己 的 切叢 ， 不過 因為 切叢 比 卡拉比 - 丘流形 本身 更 難 描述 ， 我們 不妨 先 看看 二 維 球面 的 切叢 。 在 球 表面 選取 一點 ， 畫 兩 個 該 點 的 切向量 ， 這 兩 個 向量 決定 了 該 點 的 切面 （ 也 可以 用 切面 上 的 圓盤 來 代表 ） 。 如果 我們 在 每 一 點 都 畫 一 個 切面 ， 再 把 全部 的 切面 （ 或 圓盤 ） 集合 起來 ， 所 形成 的 整體 就 是 球面 的 切叢 。 或許 你 注意到 ， 切叢 一定 包含 這 個 流形 本身 ， 因為 依照 定義 ， 切叢 包含 每 一 個 切點 。 因此 二維 球面 的 切叢 是 一 個 四維 空間 ， 這 是 因為 切面 本身 有 2 個 自由度 （ 兩 個 獨立 的 移動 方向 ） ， 而 置身 於 切叢 中 的 球面 本身 還 有 另外 2 個 和 切面 無關 的 自由度 。 根據 同樣 的 想法 ， 六維卡拉比 - 丘流形 的 切叢 是 十二 維 的 空間 ， 其中 切面 佔 了 6 個 自由度 ， 流形 本身 還 有 另外 6 個 自由度 。 叢 的 概念 非常 重要 ， 因為 弦論 需要叢 來 重建 以 楊 - 米爾斯 理論 描述 的 粒子 物理學 ， 其中 的 規範場 是 某 組 微分 方程 的 解 。 想當然爾 ， 這 組 方程 就 稱為 楊 - 米爾斯 方程 。 我們 特別 想 處理 的 是 ， 找到 卡拉比 - 丘流形 上 的 楊 - 米爾斯 規範場 。 而 更 因為 卡拉比 - 丘流形 出現 在 弦論 中 ， 主要 是 因為 超 對稱 條件 的 要求 ， 因此 這 個 規範場 也 得 滿足 超 對稱 。 這 表示 我們 要求 解 的 是 一 組 特殊 的 楊 - 米爾斯 方程 ， 這 組 超 對稱 版本 的 方程 稱為 「 厄米特 - 楊 - 米爾斯 方程 」 （ Hermitian Yang-Mills Equations ） 。 事實 上 ， 這 組 方程 得到 的 是 超 對稱 最少 的 解 （ 稱為 N = 1 超 對稱 ） ， 這 也 是 與 今日 粒子 物理學 唯一 能 相容 的 超 對稱 情形 。 「 在 弦論 強迫 我們 裝扮 得 更 花俏 之前 ， 大部分 的 物理學家 並 不 熟悉 幾何學 與 拓樸 學。 」 賓州 大學 的 物理學家 歐夫路特 說 ： 「 我們 只 會 寫下 像 楊 - 米爾斯 方程 之類 的 方程式 ， 然後 試 著 把 它 解出來 。 」 唯一 的 困難 是 ， 厄米特 - 楊 - 米爾斯 方程 是 高度 非線性 的 微分 方程 ， 根本 沒有 人 解得 出來 。 歐夫路特 強調 ： 「 到 今天 為止 ， 六維卡拉比 - 丘流形 上 的 厄米特 - 楊 - 米爾斯 方程式 ， 連 一 個 確解 都 找 不 到 。 如果 不 是 因為 幾何學家 的 研究 ， 揭示 了 另 一 條 可以 前行 的 道路 ， 我們 就 只 能 停滯 在 那裡 。 」 8 DUY 定理 向量叢 指引出 這 條 繞過 困境 的 道路 ， 因為 我們 可以 用 卡拉比 - 丘流形 上 的 向量叢 ， 做為 楊 - 米爾斯 方程 規範場 的 替代