， 「 物理學家 還 在 學習 下 一 桿 保證 能 進 洞 的 方法 」 。 H 「 就 理論 物理學 而 言 ， 25 年 算是 長 的 ， 直到 現在 ， 這 群 人才 算是 真正 取得 實質 的 進展 。 」 坎德拉斯 這樣 說 ： 「 我們 終於 走到 這 一 步 ， 可以 用 這 個 新 觀念 做 點 實際 的 事情 。 」 I 麻省理工 學院 的 亞當斯 雖然 承認 這 方面 的 研究 明顯 往 前 大幅 邁進 ， 「 但是 以為 接近 標準 模型 即 表示 將要 完成 ， 這 是 錯誤 的 」 。 他 認為 剛好 相反 ， 我們 根本 不 知道 還 有 多 長 的 路 要 走 ， 目標 看起來 似乎 很 近 ， 但是 我們 現在 的 位置 和 標準 模型 之間 還 有 一 道 「 巨大 的 鴻溝 」 。 J 當 桃樂絲 在 奧茲國 的 大 冒險 將要 結束 時 ， 她 才 知道 原來 打從 一 開始 她 就 具有 可以 回家 的 能力 。 然而 ， 弦論 學家 與 他們 的 數學 同行 們 （ 即使 是 具備 幾何 分析 高度 洞識 能力 的 數學家 ） 花 了 幾十 年 在 卡拉比 - 丘國度 探險 後 ， 卻 發現 自己 回不了 家 ， 回 不 到 現實 物理學 的 領域 （ 也 就 是 標準 模型 ） ， 因此 也 無法 再 往 前 探討 後續 的 主題 。 有 些 人 或許 會 感歎 ： 如果 能 像 電影 中 葛琳達 教 桃樂絲 回家 的 法術 ， 「 閉上眼 ， 輕敲鞋 後 跟 三 次 ， 然後 說 ： 『 沒有 地方 比得上 家 』 」 就 成 了 ， 那 該 有 多 好 。 但是 ， 這樣 也 就 錯過 了 沿途 的 一切 樂趣 。 * 譯註 ： 前 幾 章 提到 坎德拉斯 等 人 構造 了 大約 8000 個 卡拉比 - 丘流形 ， 指 的 是 拓樸 類型 （ 藉由 丘成桐 定理 知道 度量 存在 ） ， 但是 他們 並 沒有 真的 解出 卡拉比 - 丘 度量 。 圖 9.1 楊振寧 與 米爾斯 ， 他們 建立 了 楊 - 米爾斯 理論 。 （ 圖片 提供 ： 楊振寧 ） 圖 9.2 由於 球 具有 很 高 的 對稱性 ， 當 球繞 任何 直徑 旋轉 時 ， 球面 並 不會 改變 。 不過 如果 堅持 北極點 在 旋轉 時 不能 移動 的話 ， 就 會 造成 「 對稱 破缺 」 ， 因為 這時 只 容許 繞 南北極 軸線 的 旋轉 ， 也就是說 ， 加上 這 個 條件 後 ， 破壞 （ 限制 ） 了 球 原來 的 旋轉 對稱性 。 圖 9.3 在 球面 上 任何 一 點 ， 都 有 一 個 和 球面 只 交於 該 點 的 切面 。 球面 的 「 切叢 」 由 球面 上 每 一 點 的 切平面 所 構成 。 依照 定義 ， 切叢 包含 了 所有 的 切點 ， 因此 也 包含 了 球面 本身 。 由於 切面 的 數目 無窮 多 又 會 彼此 相交 ， 所以 無法 畫出 整 個 切叢 。 我們 只 選取 幾 個 點 ， 畫出 一 部分 切面 來 局部 呈現 。 圖 9.4 烏蘭貝克 （ 照片 提供 ： 德州 大學 奧斯丁 分校 ） 圖 9.5 __UNDEF__ 透過 離散化 的 過程 ， 可以 用 有限 的 點 來 逼近 一 維 的 曲線 或 二維 的 曲面 。 隨著 點數 逐漸 增加 ， 就 能 得到 更 好 的 逼近 效果 。 圖 9.6 在 幾何學 中 經常 討論 將 物件 或 流形 「 嵌入 」 高維 背景 空間 的 問題 。 本 圖 是 將 一 維 的 正方形 （ 只有 外框線 ， 可 想成 折 了 四 折 的 線段 ） ， 嵌入 二維 的 背景 空間 （ 球面 ） 。 第10 章 __UNDEF__ 超越 卡拉比丘 儘管 我 偏愛 卡拉比 - 丘流形 ， 而且 此 情 在 過去 三十餘 年 有增無減 。 但是 對於 這 個 課題 ， 我 仍然 會 保持 開放 的 心態 。 如果 最終 對弦論 來 說 ， 非 凱勒 流形 的 價值 大於 卡拉比 - 丘流形 ， 我 也 能 欣然 接受 。 建立 理論 ， 真的 很 像 在 無 人 跑過 的 障礙賽 場地 上 奔跑 。 每 通過 一 道 障礙 （ 不管 是 越過 、 繞過 、 甚至 鑽過 ） ， 你 心知 前方 還 會 有 更多 困難 。 而且 就算 能夠 成功 克服 所有 這些 關卡 ， 你 卻 不 知道 前方 到底 還 有 多少 個 障礙 ， 也 不 知道 是否 這 條 路 終究 永遠 走 不 通 。 這 就 是 弦論 與 卡拉比 - 丘 理論 目前 的 狀況 ， 其中 至少 還 有 一 個 糾纏 不斷 的 難題 ， 足以 顛覆 整 個 輝煌 的 大業 。 我 指 的 是 模數 （ moduli ） 問題 ， 這 是 許多 演講 與 研究 論文 所 討論 的 主題 ， 也 是 許多 心理 挫敗 與 錯愕 的 根源 。 而且 ， 光 只是 要 描述 這 個 問題 ， 就 會 讓 我們 遠遠 脫離 目前 的 主題 ， 有時 好像 置身 於 五里霧 中 。 任何 有 洞流形 的 大小 與 形狀 是 由 稱為 「 模 」 的 參數 所 決定 的 。 例如 二維 環面 （ 即 甜甜 圈面 ） 的 大小 形狀 ， 是 由 兩 個 互相 獨立 的 迴圈 或 閉鏈 所 決定 ， 一 條 迴圈 繞 洞 而 行 ， 另 一 條 則 穿 繞進 洞 中 再 繞出來 。 依照 定義 ， 環面 的 模要 量度 的 是 這 兩 個 迴圈 的 大小 ， 兩 者 合起來 決定 環面 的 大小 形狀 。 如果 繞 洞 而 行 的 迴圈 比較 長 ， 環面 就 顯得 比較 瘦 ； 反過來 如果 比較 短 ， 則 環面 會 變 胖 ， 使得 洞 看起來 相對 比較 小 。 另外 ， 其實 還 有 一 個 模數 描述 環面 扭轉 的 程度 。 二維 環面 有 這 三 個 模數 就 夠 了 。 至於 卡拉比 - 丘流形 則 可以 多達 五百 個 洞 ， 以及 許多 各 種 維度 的 閉鏈 ， 因此 就 需要 有 更多 的 模數 ， 從 幾十 個 到 幾百 個 都 有 可能 。 觀察 模數 的 一 種 方式 ， 是 將 它 想成 四維 時空 上 的 場 。 以 決定 大小 的 模數 為 例 ， 我們 可以 在 時空 中 各 點 指定 一 個 數 ， 表示 看 不 到 的 卡拉比 - 丘流形 的 大小 。 像 這樣 在 空間 中 指定 一 個 數 而 不 是 有 方向 （ 向量 ） 的 場 ， 稱為 「 純量場 」 （ scalar field ） ， 日常 生活 有 很多 純量場 的 例子 ， 像是 時空 中 各 點 的 溫度 、 濕度 、 氣壓 等 都 是 純量場 。 重點 是 ， 如果 不 對 流形 的 大小 與 形狀 做 限制 ， 就 會 一頭 栽進 前述 的 模 問題 ， 從而 粉碎 你 希望 由 卡拉比 - 丘流形 推導出 現實 物理學 的 美 夢 。 我們 所 面對 的 困難 是 ， 描述 流形 大小 與 形狀 的 純量場 是 無 質量 的 ， 改變 這些 場 並 不 需要 能量 ， 也就是說 我們 可以 不 費 力氣 的