「 彎扭 乘積 」 （ warped product ） ， 這 表示 兩 個 子空間 會 彼此 作用 。 其中 比較 特別 的 是 ， 四維 時空 中 的 距離 會 持續 被 六維 空間 影響 或 彎扭 ， 而且 四維 時空 被 放大 或 縮小 的 程度 ， 可以 由 一 個 彎扭 係數 來 控制 。 在 某些 模型 裡 ， 彎扭 的 效應 甚至 可以 到達 指數級 。 用 前述 的 圓柱面 來 說明 也許 最 容易 。 我們 還是 用 圓圈 來 表示 六維 空間 ， 四維 空間 則 是 垂直 於 圓圈 的 直線 ， 不過 我們 將 用 有限 的 線段 來 取代 直線 ， 以 顯示 距離 的 變化 。 如果 沒有 彎扭 的 效應 ， 將 直線 繞圓 一 圈 ， 可以 掃出 一 個 正常 的 圓柱面 。 但 如果 有 彎扭 的 效應 ， 在 繞圓 一 圈 的 過程 中 ， 線段 的 長度 將 會 發生 變化 ， 在 某 一 點 是 1 、 另 一 點 是 1/2 ， 再 換 一點 是 1 1/2 等等 ， 結果 就 是 一 個 被 彎扭 效應 影響 ， 邊緣 變成 波浪狀 的 怪 柱面 。 史聰閔格 方程 上述 的 過程 可以 用 一 組 方程式 來 嚴格 描述 ， 這 組 方程 是 史聰閔格 在 1986年 得到 的 。 前 文 提 過 ， 在 之前 一 年 （1985） 他 和 坎德拉斯 、 赫羅維茲 、 韋頓 合寫 了 第一 篇 嚴格 運用 卡拉比 - 丘 緊緻化 的 文章 ， 其中 他們 使用 了 簡化 的 條件 ， 假設 四維 和 六維 空間 彼此 是 獨立 的 。 史聰閔格 指出 ： 「 我們 發現 獨立 情況 的 解 ， 不過 弦論 本身 並 沒有 這樣 的 要求 ， 一 年 之後 我 得到 了 除去 這 項 假設 的 方程式 。 」 這 組 方程 稱為 史聰閔格 方程 ， 專門 處理 打開 通量 而且 四維 和 六維 空間 會 相互 作用 的 情況 。 他 又 補充 說 ： 「 彼此 不 獨立 的 情況 其實 很 有趣 ， 因為 可以 得到 一些 很 好 的 結果 。 」 這些 結果 中 最 傑出 的 是 ， 彎扭 的 概念 可以 幫忙 解釋 一些 重要 的 現象 ， 例如 「 階序 問題 」 （ hierar chy problem ） ， 像是 為什麼 希格斯 玻色子 比 普朗克 質量 輕 那麼多 ？ 重力 為什麼 比 其他 作用力 弱 那麼多 ？ 可以 運用到 非 凱勒 流形 的 史聰閔格 方程 （ 有時 稱為 史聰閔格 系統 ） ， 比 1985年 論文 中 只 能 用到 卡拉比 - 丘流形 的 方程 ， 具有 更多 的 方程 解 。 史聰閔格 說 ： 「 為了 理解 弦論 在 大自然 中 的 各 種 可能 實現 方式 ， 我們 需要 理解 更 普遍 的 解 。 理解 弦論 所有 可能 的 解 十分 重要 ， 但是 卡拉比 - 丘 空間 並 沒有 辦法 囊括 所有 解 。 」 E 加州 大學 爾灣 分校 的 物理學家 兼 數學家 曾立生 曾經 是 我 的 博士 後 研究員 ， 他 將 卡拉比 - 丘流形 和 圓 做 類比 ， 他 說 ： 「 在 我們 畫 得 出來 的 所有 一 維迴圈 中 ， 圓 是 最 美 也 最 特殊 的 。 而 史聰閔格 系統 將 卡拉比 - 丘流形 的 限制 給 放鬆 了 ， 這 就 好像 將 圓 的 條件 放鬆成 橢圓 的 條件 一樣 。 」 如果 給定 一 條 固定 長度 的 圈圈 ， 那麼 我們 只 能 造出 一 個 圓 ， 但是 只要 將 圓 拉寬 或 拉長 就 可以 造出 無窮 多 種 橢圓 。 在 這 個 圈圈 所 能 造出 的 曲線 圖形 中 ， 只有 圓 是 繞 著 中心 轉動 時 ， 形狀 完全 不會 改變 的 。 為 了 更 清楚 理解 圓 是 橢圓 的 特例 ， 只 需要 回顧 x-y 坐 標 平面 上 描述 橢圓 的 方程式 ： ， 其中 a 和 b 是 正實數 。 如果 這 個 方程式 所 描述 的 曲線 是 圓 ， a 就 一定 要 等於 b 。 定義 橢圓 需要 兩 個 參數 a 和 b ， 而 定義圓 時 只 需要 一 個 參數 （ 因為 a = b ） ， 這 表示 橢圓 是 比 圓 更 複雜 的 系統 。 這 就 好像 史聰閔格 系統 （ 非 凱勒 ） 比 卡拉比 - 丘流形 複雜 一樣 ， 因為 描述 卡拉比 - 丘流形 所 需要 的 參數 比較 少 。 縱然 從 圓 變成 橢圓 ， 或者 從 卡拉比 - 丘流形 變成 非 凱勒 流形 ， 失去 了 一 層 對稱性 與 美感 ， 但是 曾立生 說 ： 「 很 顯然 ， 大自然 並 不 總是 選擇 最 對稱 的 圖形 ， 譬如 行星 運動 的 軌道 就 是 橢圓形 的 。 所以 描述 大自然 宇宙 的 六維 內 空間 ， 也 有 可能 不 像 卡拉比 - 丘流形 那麼 對稱 ， 而是 對稱性 少一點 的 史聰閔格 系統 。 」 F 史聰閔格 所 提出 的 系統 並 不 容易 對付 ， 因為 它 包含 了 四 個 必須 同時 解出 的 微分 方程 ， 單單解 其中 任何 一 個 方程 就 已經 是 一 場 惡夢 。 這 四 個 方程 中 有 兩 個 是 處理 規範場 的 厄米特 - 楊 - 米爾斯 方程 （ 見 第九 章 ） ， 第三 個 方程 確保 所 處理 的 是 超 對稱 的 幾何 ， 最後 一 個 則 是 用來 消除 異徵 ， 使得 弦論 得以 保持 相容性 。 如果 你 覺得 這樣 的 挑戰性 還 不 夠 ， 事實 上 ， 這 四 個 方程 的 每 一 個 都 是 微分 方程組 ， 而 不 是 單一 的 微分 方程式 。 因為 這些 方程 每 個 都 是 矩陣 或 張量 的 微分 方程式 ， 由於 矩陣 或 張量 都 有 許多 分量 ， 因此 每 個 方程 又 可以 再 拆解成 每 個 分量 的 方程式 。 最 著名 的 例子 是 廣義 相對論 中 的 愛因斯坦 方程 ， 它 雖然 是 單一 的 張量 方程 ， 但 其實 是 10 個 場 方程式 ， 可以 將 重力 描述成 時空 因為 物質 與 能量 而 產生 的 曲率 。 在 卡拉比 猜想 的 證明 中 ， 因為 求解 的 是 真空 條件 下 的 愛因斯坦 方程 ， 所以 才 能夠化 簡成 單一 的 方程式 ， 不過 這 可 是 一 個 很 複雜 壯觀 的 方程式 。 比起 卡拉比 - 丘流形 ， 非 凱勒 流形 更 難 處理 ， 因為 這 個 情況 的 對稱性 更少 ， 因此 變數 會 更多 ， 結果 就 是 要 解 的 方程式 更多 。 而且 到 目前 為止 ， 也 沒有 能 充分 理解 這 個 問題 的 數學 工具 。 在 卡拉比 猜想 的 情況 ， 我們 可以 利用 代數 幾何學 中 ， 為了 處理 凱勒 流形 而 已經 發展 了 兩 個 世紀 之 久 的 數學 工具 。 但是 在 非 凱勒 流形 的 情況 ， 工具 卻 付之闕如 。 儘管 如此 ， 從 數學家 的 觀點 ， 我 自己 並 不 相信 這 兩 類 流形 有 截然 的 差別 。 以前 我們 用 幾何 分析 的 方法 來 建構 卡拉比 - 丘流形 ， 我 非常 有 信心 這 個 方法 也 可以 幫 我們 建構 非 凱勒 流形 ， 前提 是 要 先 解出 史聰閔格 方程 ， 或者 至少