發表 了 他 惹 人 爭議 的 非 歐 幾何 學說 ， 卻 只 能 埋藏 在 偏僻 的 俄國 期刊 《 喀山 學報 》 裡 。 幾 年 之後 ， 匈牙利 數學家 波雅伊 也 獨立 發表 了 自己 的 非 歐 幾何 研究 ， 不幸 的 是 ， 他 的 論文 卻 藏 在 他 的 數學家 父親 （ Farkas Wolfgang Bolyai ） 的 著作 裡 ， 默默 的 成為 該 書 的 附錄 。 大約 同時 ， 高斯 也 在 發展 曲面 幾何 上 的 類似 概念 ， 而且 馬上 認識到 這 個 彎曲 空間 或 內稟 幾何 的 新 觀念 和 物理學 緊密 相 繫 。 高斯 聲稱 ： 「 幾何學 不應該 和 純粹 先驗 的 算術 並置 ， 而是 和 力學 共列 。 」 8 我 相信 高斯 的 意思 是 ， 幾何 和 算術 不同 ， 如果 幾何學 的 描述 要 能 發生 影響 ， 就 必須 依靠 經驗 科學 ， 也 就 是 當時 稱為 力學 的 物理學 。 高斯 的 內稟 幾何學 為 後來 的 黎曼 幾何學 打下 基礎 ， 而 黎曼 幾何 的 發展 則 導致 愛因斯坦 關於 時空 的 璀璨 洞見 。 羅巴切夫斯基 、 波雅伊 、 高斯 這些 先驅 並 未 摒棄 傳統 ， 而是 為 新 的 可能性 敞開 大門 ， 他們 所 引領 且 獲得 的 突破 ， 是 創造 了 更 開闊 的 幾何 概念 ， 不再 受限於 平面 的 教條 ， 反而 可以 應用到 各式各樣 的 曲面 或 彎曲 空間 。 在 這 個 更 宏大 、 更 廣義 的 架構 中 ， 仍然 保留 著 歐幾里得 的 基本 結論 。 這 就 好像 選取 地球 上 的 一 小 塊 土地 ， 例如 曼哈頓 的 一 方 街區 ， 其中 的 街 或 道 仍 是 相互 平行 的 ， 在 這 塊 侷限 的 街區 裡 ， 歐幾里得 的 描述 是 正確 的 ， 地球 曲率 的 影響 微乎其微 。 但 如果 談 的 是 整 個 行星 ， 曲率 的 效應 就 不能 忽略 了 。 再 舉 一 個 例子 ， 在 氣球 上 畫 一 個 三角形 ， 如果 氣球 很 小 ， 三角形 的 內角 和 會 遠 超過 180 度 。 但是 隨著 氣球 吹大 ， （ 曲率 ） 半徑 r 愈來愈 大 ， 曲率 1/r2 就 會 愈來愈 小 。 如果 進一步 想像 半徑 變成 無窮 大 ， 在 這 個 極限 狀態 ， 曲率 就 會 變成 0， 而 三角形 的 內角 和 就 剛好 變成 180 度 。 正 如 亞當斯 所 說 ： 「 在 平面 的 特殊 情況 裡 ， 歐氏 幾何 無疑 是 最 好 的 幾何 理論 。 在 略微 彎曲 的 氣球面 上 ， 歐氏 幾何 也 大致 符合 觀察 ； 而且 隨著 氣球 吹大 ， 球面 會 愈來愈 平 ， 歐氏 幾何 符合 觀察 的 程度 也 就 會 愈來愈 精確 。 因此 ， 歐氏 幾何 其實 只 是 廣義 理論 的 特例 ， 此時 曲率 半徑 是 無窮 大 ， 三角形 內角 和 是 180 度 ， 而且 所有 歐氏 幾何 的 公設 都 回來 了 。 」 9 類似 的 推廣 想法 也 可 用到 物理學 上 。 牛頓 重力論 是 非常 實用 的 理論 ， 它 給出 計算 系統 中 物體 所 受 重力 的 簡單 方法 。 尤其 當 物體 的 運動 速度 不 快 或 重力 位能 不 大 ， 牛頓 的 理論 非常 成功 。 但 後來 愛因斯坦 的 新 理論 出現 了 ， 重力 變成 時空 彎曲 的 結果 ， 而 非 物體 間 傳播 的 作用力 。 然後 我們 認識到 ， 牛頓 重力論 只 是 這 個 更 開闊 架構 下 的 特例 ， 只有 在 物體 移動 速度 慢 或 重力 強度 弱 的 邊緣 情況 才 正確 。 廣義 相對論 正 如 其 名稱 所 顯示 的 ， 的確 是 一 個 「 廣義 」 的 理論 ， 它 是 愛因斯坦 狹義 相對論 的 擴展 ， 把 無 重力 的 體系 推廣到 包含 重力 的 情況 ； 同時 ， 廣義 相對論 也 推廣 了 牛頓 重力論 。 相同 的 ， 量子 力學 也 可以 視為 是 牛頓 力學 的 推廣 ， 當然 這 不 表示 打棒球 或 下棋 時 需要 動用到 量子 力學 。 牛頓 運動 定律 在 處理 像 棒球 或 棋子 這 類 大 物體 時 非常 成功 ， 需要 量子論 來 做 修正 的 是 在 物體 極端 微小 的 情況 ， 因此 通常 可以 忽略 不計 。 不過 在 牛頓 定律 可以 成功 解釋 的 宏觀 領域 （ 像是 棒球 或 火箭 運動 ） ， 事實 上 只 是 量子論 所 能 處理 範圍 的 特殊 情況 ， 所以 ， 量子論 適用 的 範圍 更 大 、 更 一般 ， 包含 了 相當 微小 的 物體 。 運用 量子 力學 ， 我們 可以 精確 預測 高能 對撞機 中 相對論 效應 下 的 電子 軌跡 ， 這 是 牛頓 力學 無法 辦到 的 。 量子 幾何學 現在 的 幾何學 也 正 迫近 這 個 非常 類似 的 情境 。 古典 黎曼 幾何 已經 無法 描述 量子 層次 的 物理學 ， 因此 需要 尋求 一 種 新 幾何學 ， 一 種 同時 適用 於 魔術 方塊 和 普朗克 長度 弦 的 推廣 理論 。 問題 是 如何 實踐 這 個 想法 ， 就 某 種 程度 而言 ， 我們 是 在 黑暗 中 摸索 ， 當年 牛頓 試圖 寫下 他 自己 的 重力論 時 ， 想必 也 是 這樣 的 心境 。 為了 他 的 研究 目標 ， 牛頓 必須 發明 新 的 技術 ， 這 導致 微積分學 的 誕生 。 而 正 如 牛頓 的 數學 發源 於 物理 的 考量 ， 我們 面對 今天 的 問題 也 必須 有 相同 的 態度 。 缺乏 物理學 的 訊息 ， 我們 就 無法 創造出 量子 幾何學 。 或許 我們 總是 可以 像 變 魔術 一樣 發明 新 的 幾何 概念 ， 但是 如果 想要 保證 成果 豐碩 ， 幾何學 一定 要 能 描述 物理學 的 某 個 基本 層次 。 為 了 達成 這 個 目標 ， 就 像 高斯明智 承認 過 的 ， 我們 需要 外在 世界 的 指引 。 相關 的 物理 現象 將 會 給出 技術 上 的 束縛 ， 成為 新 數學 發展 所 必須 滿足 的 條件 。 如果 只 運用 古典 幾何 ， 普朗克 尺度 時 的 物理學 勢必 會 牽涉到 離散 的 變化 ， 以及 突然 出現 的 不 連續性 。 我們 希望 量子 幾何學 可以 弭平 這些 不 連續性 ， 得出 比較 容易 掌握 與 處理 的 光滑 圖像 。 依照 定義 ， 弦論 本來 就 是 要 處理 這 類 問題 的 理論 。 因為 「 弦論 的 基本 材料 並 不 是 點 ， 而是 一 維 的 迴圈 ， 因此 我們 很 自然 就 會 懷疑 ， 古典 幾何 並 不 是 描述 弦論 物理 的 正確 語言 。 」 布萊恩． 格林恩 解釋 說 ： 「 不過 幾何 的 力量 並 沒有 消失 ， 應該 是 說 ， 弦論 要 用 古典 幾何 的 修正版 來 描述 … … 這些 修正 的 部分 ， 當 系統 的 大小 比弦 尺度 相對 來得 大 時 就 會 消失 。 至於 弦 尺度 有 多 大 ？ 它 和 普朗克 尺度 應該 相差 不到 幾 個 數量級 。 」 : 以前 基礎 物理學 的 理論 將 基本 材料 ， 也 就 是