有 幾 隻 蝴蝶 ， 如果 我們 把 瓶子 分組 。 像 往常 一樣 ， 數學家 喜歡 用來 分組 的 數字 是 ？　Sally： 10 .
 
　 當 老師 和 學生 建構 一 個 10 個 一 組 ， 另外 有 2 個 不 在 組 內 的 圖形 表徵 時 ， 課程 往 前 邁進 了 ， 學生 認識到 12 × 4 可以 想成 是 10 × 4 加上 2 × 4 。 然後 Lampert 要求 學生 繼續 探索 其他 把 瓶子 分組 的 方式 ， 例如 ， 分成 兩 群 各 六 瓶 。 　 學生 顯然 對 6 × 4 加 6 × 4 也 等於 10 × 4 加 2 × 4 感到 訝異 。 對 Lampert 而言 ， 這 是 對 學生 理解 程度 的 重要 資訊 （ 形成性 評量 — 請 看 第6 章 ） 這 是 個 訊號 ， 顯示 學生 需要 更多 涉及 不同 分組 的 活動 。 在 後續 的 課程 ， 學生 所 接受到 的 挑戰 問題 是 數字 更 大 的 兩 位數 乘法 ， 最後 ， 兩 個 數字 都 相當 大 —28 × 65 。 學生 持續 發展 他們 對 這些 支配 乘法 定律 的 認識 ， 並 發明 以 這些 定律 為 根據 的 計算 程序 。 學生 透過 圖解 和 故事 來 為 這些 程序 的 合理性 辯護 。 最後 ， 學生 能 只 使用 符號 來 進行 更 正式 的 探索 ， 還 擴展到 其他 兩 位數 乘法 的 計算 定律 。 Box 7.3 　 哪裡 的 水 嚐起來 味道 較 好 ？ 　 在 Haitian Creole 雙語 計畫 中 的 七 、 八年級 學生 希望 找出 一 個 大部分 同學 所 持有 信念 的 真相 ： 國中生 所在 的 三樓 的 飲水機 的 飲水 味道 比 學校 裡 其他 的 飲水機 還要 好 。 老師 提出 挑戰 ， 學生 開始 去 探究 到底 他們 是 真的 比較 喜歡 三樓 的 水 ， 還是 只是 想像 。 　 第一 步 ， 學生 設計 並 執行 一 項 對 整 棟 建築 三 個 樓層 飲水 機水 的 彌封 的 味道 檢測 。 他們 發現 令 人 訝異 的 結果 ， 他們 當中 有 三分之二 選擇 了 一樓 的 飲水機 ， 即使 他們 全 都 說 自己 比較 喜歡 三樓 的 飲水機 。 學生 不 相信 這樣 的 資料 。 他們 堅信 一樓 的 飲水機 是 最 糟 的 ， 因為 「 所有 的 小孩 都 把 口水 流到 裡面 去 了 」 （ 一樓 飲水機 的 位置 靠近 幼稚園 和 一年級 的 教室 ） 。 他們 的 老師 也 懷疑 這 個 結果 ， 因為 她 期待 三 個 樓層 的 飲水機 應該 沒有 差異 。 這些 信念 和 懷疑 促使 學生 去 執行 第二 次 的 味道 檢測 ， 從 國中部 其他 的 同學 抽取 更 大 的 樣本 。 　 學生 決定 在 哪裡 、 什麼 時間 以及 如何 執行 他們 的 實驗 。 他們 討論 一些 方法 上 的 議題 ： 如何 蒐集 水 、 如何 隱藏 水 的 來源 ， 還 有 ， 最 關鍵 地 ， 要 包含 多少 台 飲水機 。 他們 決定 包括 原本 的 三 台 飲水機 ， 這樣 才 可以 對照 結果 。 他們 擔心 投票 過程 產生 偏差 。 如果 有 一些 學生 多 投票 呢 ？ 班 上 的 每 位 學生 都 志願 分擔 實驗 的 某 一 部分 。 大約 有 40 名 學生 參加 這 次 彌封 的 味道 檢測 。 當 他們 分析 數據 時 ， 發現 有 88% 的 國中生 認為 自己 比較 偏好 三樓 的 飲水機 ， 但 實際 上 有 55% 選擇 一樓 的 飲水機 （ 如果 只有 33% 則 是 隨機 造成 的 ） 。 　 面對 這樣 的 證據 ， 學生 由 懷疑 轉成 好奇 。 為什麼 大家 會 比較 喜歡 一樓 的 水 ？ 可以 如何 找出 偏好 的 原因 ？ 他們 決定 從 幾 個 方面 來 分析 學校 的 飲水 ， 包括 酸度 、 鹽度 、 溫度 及 含菌量 。 他們 發現 所有 飲水機 的 含菌量 都 超過 可 接受 的 標準 。 事實 上 ， 一樓 飲水機 （ 大家 最 喜歡 的 ） 含菌量 最 高 。 他們 也 發現 一樓 飲水機 的 水溫 是 華氏 20 度 ， 比 其他 飲水機 更 冰涼 。 根據 這樣 的 發現 ， 在 味道 偏好 上 溫度 是 決定性 因素 ， 他們 假設 在 冬天 月份 時 ， 這些 水 在 都市 地下水管 時 是 冰涼 的 （ 研究 是 在 二月份 進行 ） ， 而 從 地下室 輸送到 三樓 時 被 加溫 了 。 資料 來源 ： Rosebery et al .
 
（1992） 。 Box 8.1 　 「 例外 小孩 」 　 當 Mazie Jenkins 第一 次 聽到 研究 顯示 ， 一年級 的 孩童 在 沒 學 過 解題 程序 前 ， 就 可以 解 加減法 的 文字 問題 ， 對 此 她 原先 是 存疑 的 。 所以 當 她 看過 五 歲 小孩 透過 計數 和 模擬 解 文字 敘述 題目 的 影片 時 ， Mazie 說 影片 裡 的 是 例外 的 小孩 ， 因為 他們 可以 解 「 困難 的 」 文字 問題 ， 像是 ： 在 你 的 萬聖節 袋子 裡 有 五 根 棒棒糖 ， 隔壁 房子 裡 的 小姐 在 你 的 袋子 裡 再 放進 一些 棒棒糖 。 現在 你 有 八 根 棒棒糖 。 隔壁 房子 裡 的 小姐 給 你 幾 根 棒棒糖 呢 ？ 　Mazie 在 學年 開始 時 和 班 上 的 一年級 學生 一起 試驗 ， 她 興奮 地 報告 ， 「 我 的 小孩 也 是 例外 的 ！ 」 Mazie 知道 ， 儘管 她 自己 把 問題 看成 是 一 個 「 減法 」 的 問題 — 因為 以前 她 就 是 被 教導 要 用 這 個 程序 來 解 這樣 的 問題 — 不過 她 的 一年級 學生 自動自發 地 解 這 道 問題 ， 很 典型 地 ， 先 點數 五 個 方塊 ， 再 加上 更多 方塊 ， 直到 他們 擁有 八 個 ， 然後 再 計算 他們 加進來 的 數目 。 然後 Mazie 的 小孩 ， 很 驕傲 地 報告出 答案 是 「 三 」 （ Carpenter et al .
 
, 1989 ） 。 Box 9.1　 把 真實 世界 的 問題 帶進 教室 　 在 田納西州 中學 數學課 裡 的 學童 剛 看過 一 部 Jasper Woodbury 系列 的 冒險 影片 ， 是 關於 建築師 如何 解決 社區 問題 ， 像是 設計 安全 的 場所 給 小孩 玩 。 影片 最後 留給 班 上 的 挑戰 是 設計 附近 的 遊戲場 。 解說員 ： Trenton Sand 和 Lumber 捐出 了 32 立方呎 沙坑 用 的 沙 ， 而且 也 贈送 了 木材 和 礫石 。 Christina 和 Marcus 已經 讓 他們 知道 所 需 的 確切 數量 ， Lee 籬笆 公司 捐 了 280 呎 長 的 籬笆 。 Rodriguez Hardware 貢獻 了 一 個 光滑 的 面板 ， 可以 切割成 任何 尺寸 ， 給 玩 體能 挑戰 的 小孩 盪來盪去 。 Rodriguez 的 員工 也 希望 能 參與 施工 ， 所以 他們 負責 安裝 圍籬 ， 並 協助 建造 遊戲場 的 設施 。 Christina 和 Marcus 才 剛 獲得 他們 的 第一 份 建築師 工作 ， 和 Gloria 二十 年 前 的 起點 一樣 ， 設計 一 個 遊戲場 。 　 教室 中 的 學生 要 幫助 Christina