被 2 加 6， 即 8 所 除盡 ； 而 把 3 乘 6 加上 後 ， 它 可以 被 3 加 6， 即 9 所 除盡 ， 等等 。 這 數目 是 36。36 的 1/7 減掉 1/7 是 ：35/7 ； 加上 1 是 ： 42/7， 即 6； 而 這 就 是 每 一 位 兒子 所 得到 的 。 整 個 遺產 被 每 一 位 兒子 均分 ， 即 等於 6 。 附錄 7 小 物體 的 數目 n ， 和 長度 縮小 因子 f 及 維數 D 之間 的 關係 如 下 ： 如果 把 一 個 正數 A 寫成 A = 101 ， 那麼 我們 稱 1 為 A 的 （ 10 為 基數 ） 對數 ， 我們 把 它 寫成 log A 。 換句話說 ， 這 兩 個 方程式 及 彼此 完全 等值 。 對數 的 規則 如 下 ： ( i ) __UNDEF__ 一 個 乘積 對數 等於 個別 數字 的 對數 之 和 ： ( ii ) __UNDEF__ 一 個 比例 對數 等於 個別 數字 的 對數 之 差 ： ( iii ) __UNDEF__ 一 個 數字 的 自乘積 的 對數 等於 冪數 乘以 該 數 的 對數 ： 因為 100 = 1 ， 從 對數 的 定義 ， 我們 得到 log1 = 0 。 因為 101 = 10，102 = 100 等等 ， 我們 因此 得出 ：log 10 = 1 ， log 100 = 2 ， 以 此 類推 。 如果 我們 取 第一 個 方程式 的 對數 ， 會 得到 ： 當 把 兩 邊 除以 log f ， 我們 得到 ： 在 卡赫雪花 的 案例 中 ， 每 一 曲線 含有 四 個 尺寸 為 原來 大小 1/3 的 次 曲線 ， 因此 n = 4 ， f = 1/3 ， 我們 因此 得到 ： 附錄 8 如果 我們 檢視 圖 8 - 25 a ， 我們 會 看到 這 兩 分 枝 接觸 的 條件 就 是 這 個 簡單 的 要求 ： 所有 這些 以 長度 f3 開始 ， 然後 不斷 減小 的 分枝 的 總水平 長度 必須 等於 這 個 大 分枝 的 長度 f 。 所有 水平 組成 之 和 等於 總長度 乘以 30 ° 的 餘弦 函數 。 我們 因此 得到 ： 把 等式 兩 邊 除以 cos 30 ° ， 我們 得到 右邊 之 和 是 一 個 無窮 幾何 級數 之 和 （ 每 一 項 等於 前 一 項 乘以 一 個 固定 的 因數 ） 。 以 本 例 來 說 ， 第一 項 是 f3 ， 而 相鄰 兩 項 之 比 等於 f 。 一般 說來 ， 在 一 個 第一 項 為 a ， 而 相鄰項 之 比 為 q 的 無窮 幾何 級數 中 ， 它 的 總和 S 等於 舉例 來 說 ， 在 這 個 無窮 級數 中 a = 1 ， q = 1/2 ， 其 和 為 __UNDEF__ 在 我們 的 案例 裡 ， 我們 從 上面 的 方程式 發現 ： 把 兩 邊 除以 f ， 我們 得到 __UNDEF__ 把 兩 邊 乘以 ( 1 - f ) ， 再 把 各 項 重新 整理 ， 我們 得到 這 個 二 次 代數 方程式 ： 其 正數 解為 這 就 是 1/φ 。 附錄 9 班 佛定律 說 ， 某 數字 D 發生 在 一 個 數字 第一 位 的 機率 P ， 可 從 下述 公式 得出 （ 以 10 為 基數 的 對數 ） ： 因此 ， 如果 D = 1 如果 D = 2 等等 。 如果 D = 9 更 廣泛 的 定律 則 如 下 例 ， 假設 前面 三 位 數字 是 1，5，8 ， 其 機率 則 為 ： 附錄 10 歐 幾 里德 用 歸謬法 證明 ， 有 無窮 個質數 存在 。 他 以 假設 相反 的 命題 開始 — — 即 只有 有限 多 個 質數 存在 。 可是 ， 如果 這 是 真 的 ， 那麼 這些 質數 當中 一定 有 一 個 最大值 ， 這 最 大 質數 以 P 表示 。 然後 ， 歐幾里德 用 下列 方法 得出 另 一 個 新 的 數字 ： 他 把 所有 2 以上 的 質數 相乘 起來 （ 包括 P ） ， 然後 把 這 乘積 再 加上 1 ， 而 得出 這 個 新 的 數字 ： 以 原來 的 假設 （ P 為 最 大 的 質數 ） 來 說 ， 這 個 新 數字 一定 是 合成 的 （ 即 非 質數 ） ， 因為 它 要 比 假設 為 最 大 的 質數 P 更 大 ． 因此 ， 這 個 數字 至少 可以 被 其中 的 一 個 質數 所 除盡 。 但是 從 它 的 生成 方法 來 看 ， 我們 可以 看出 ， 如果 以 任何 一 個 質數 去除 它 ， 總會 產生 一 個 餘數 1 。 這 就 表示 ， 如果 這 數字 真 是 一 個 合成數 ， 一定 有 一 個 比 P 更 大 的 數字 能 把 它 除盡 。 可是 這 和 上面 的 假設 ， 即 P 為 最 大 的 質數 的 假設 矛盾 ， 因此 有 無窮 個質數 。 1 美食 與 美酒 這 都 要 怪 法國佬 。 第一 ， 罵 法國佬 很 好玩 ； 別 擔心 ， 法國佬 也 早 知道 會 這樣 ， 自有 對策 。 第二 ， 我們 這些 「 沒 國人 」 5 罹患 下廚 恐慌症 ， 病情 之 悽慘 ， 連 我 都 覺得 全 要 由 法國佬 一 肩 扛 起 不可 。 他們 都 是 頂尖 的 大廚 沒 錯 ── 他們 也 要 你 無時 不 敢 忘記 。 酒廠 的 名字 ， 硬 就 是 要 弄得 美國人 舌頭 打 三 個 結 也 唸 不 出來 。 人間 美味 全 被 法國佬 包 了 ， 嚇 得 他們 的 美國 老兄 覺得 美食 和 美酒 絕不 是 他們 這些 老粗 弄得來 的 事 ， 還是 留給 專家 聰明 一點 ── 法國 專家 。 但是 ， 話 說回來 ， 這 其實 還 是 美國人 自己 的 錯 。 即使 這麼 些 年 ， 美國人 對作 羹湯 、 啖 美食 的 興趣 愈來愈 高 ， 但 到 現在 ， 美國人 一般 還是 談 下廚 色 變 。 這 就 絕對 是 我們 自己 的 損失 。 但 也 奇怪 ， 真 該 退避三舍 的 食物 ， 美國人 卻 樂此不疲 ： 加工 過 的 ， 預熱 包裝 好 的 ， 添加 防腐劑 的 。 說到 真 該 樂在其中 的 ， 像 餐廳 精緻 優雅 的 裝潢 ， 銀餐 具 光 可 鑑 人 ， 葡萄酒杯 有 嬰兒頭 那麼 大 ， 就 會 有 一 大 堆 美國人 ── 管 你 男 的 、 女 的 ， 同志 、 直男 ── 一個個 退避三舍 ； 寧可 到 購物街 邊 的 連鎖 速食店 吃 炸 洋蔥 。 在 我 覺得 ， 美國人 的 飲食 惡習 ── 還 有 美國人 不 敢 改掉 這些 惡習 的 恐懼 ── 和 美國人 一九五○年代 暴發戶 狂 吃 美食 的 遺毒 ， 有 很 大 的 關係 。 只 是 ， 到 現在 早 就 天 不時 、 地 不利 、 人 不 和 說法 ， 我們 卻 還是 死守 著 不 放 ， 信以為真 ： 像 到 高級 餐廳 時 ， 品酒師 的 眼睛 一定 長 在 頭頂 上 ， 酒單 還 又 臭 又 長 、 看 得 你 眼花 ， 穿 衣服 的 規矩 綁手綁腳 ， 上菜 的 招式 又 花 又 亂 。 不過 ， 壓 在 這些 成見 下面