會 舉例 說明 這 幾 種 類型 的 數學 知識 的 每 一 種 ， 以及 它們 之間 的 交互作用 。 另外 ， 我們 在 最後 一 節 當中 則 會 強調 如何 改善 各 種 知識 的 教學 活動 。 第二 節 　 基本 技能 如同 其它 領域 的 基本 技能 一樣 ， 這些 數學 方面 的 技能 也 是 一些 會 發生 在 各 種 不同 情境 之中 的 運作 處理 歷程 ， 因此 ， 如 能 將 這些 技能 形成 自動化 則 會 是 非常 有用 的 。 由於 我們 幾 位 作者 本身 並非 數學 教育 者 ， 在 此 我們 並 不 打算 羅列 所有 在 各 個 不同 數學 專業 中 被 認為 是 基本 的 技能 ； 反倒 是 ， 我們 寧可 集中 注意力 在 那些 已經 廣 被 完善 研究 過 ， 當中 這些 基本 技能 可 或多或少 區別出 熟練 與 較 不 熟練 個體 的 幾 個 領域 上 。 一 、 數字性 事實 __UNDEF__ 「 __UNDEF__ 數字性 事實 」 （ number facts ） 這 個 詞 指 的 是 那些 經常 會 使用到 的 和 （ sums ） 、 差 （ differences ） 、 積 （ products ） 等 學生 們 應該 要 記得 的 一些 數值 事實 （ 如 ： 4 + 3 = 7；7 × 8 = 56 ） 。 我們 將 這些 數字性 事實 歸類為 自動化 基本 技能 也許 會 顯得 很 奇怪 ， 因為 由 技能 的 定義 來 說 ， 它們 並 不 具備 一 步 一 步 多 層 的 步驟 。 然而 ， 正 如 其它 一些 自動化 基本 技能 一般 ， 當 這些 數值 能夠 很 快速 、 類似 自動化 地 提取 ， 才 是 最 有效 的 應用 ， 但 這樣 的 表現 必須 要 經過 大量 的 練習 才 可能 發生 。 因此 ， 數字性 事實 在 問題 解決 當中 具備 和 自動化 基本 技能 相同 的 功能 ， 並且 都 是 以 同樣 的 方式 來 形成 自動化 — — 透過 練習 。 在 對 簡單 加法 事實 知識 的 發展 之 研究 中 ， 已 有 許多 研究 顯示 ， 年紀 小 的 兒童 們 是 以 建構 （ constructing ） 事實 而 非 提取 （ retrieving ） 這些 事實 的 方式 開始 學習 加法 的 __UNDEF__ （ Groen & Parkman , 1972； Houlihan & Ginsburg , 1981 ） 。 舉例 來 說 ， 當 一 個 學齡 前 兒童 被 問到 三 加 五 等於 多少 時 ， 她 會 先數 （ count ） 到 五 （ 用 手指 或 豆子 ） ， 再 數到 三， 然後 再 從頭到尾 數 一 次 。 至於 一 個 幼稚園 或 小學 一年級 的 小朋友 ， 他 則 可能 會 採用 一 個 稍微 較 有 效率 的 策略 稱為 ： 「 由 最 大 的 數數 起 」 。 運用 這 個 策略 的 時候 ， 小朋友 們 會 從 問題 中 較 大 的 一 個 數 開始 ， 然後 由 此 接著 數完 問題 中 較 小 的 那 個數 ， 於是 就 可 得到 答案 。 但是 對於 一些 非常 熟悉 的 事實 ， 如 「 二 加 二 」 的 問題 ， 則 他們 可能 就 會 直接 提取 記憶 中 的 答案 ， 而 不會 親自 去 數數 。 漸漸 地 ， 經過 低年級 的 學習 ， 孩童 們 會 愈來愈 不 去 使用 數數 的 策略 ， 而 愈 常 採用 提取 記憶 的 方式 。 比方說 ， Houlihan 和 Ginsburg 便 發現 小學 二年級 學生 在 做 一 位數 加法 時 ， 有 29 % 的 時候 是 用 提取 的 方式 來 解答 ； 至於 小學 一年級 的 學生 則 只有 4 % 的 時候 用到 提取 策略 。 Siegler （1988） 研究 小學 一年級 學生 在 提取 數字性 事實 的 表現 差異 。 實驗 中 他 一 個 一 個 地 測驗 每 一 個 小孩 ， 且 每 次 只 出示 一 個 問題 。 所有 的 測驗 情況 都 被 錄影下來 ， 並且 在 螢幕 下方 也 有 數位 時間 以 提供 記錄 提取 反應 時間 之 潛伏期 （ latencies ） 。 Siegler （1988） 在 實驗 過程 中 找出 三 個 有 明顯 差異 的 群組 ， 他 將 之 各 稱為 「 完美型 學生 」 （ perfectionists ） 、 「 好學生 」 （ good students ） 和 「 不 怎麼樣 的 學生 」 （ not-so-good students ） 。 其中 完美型 的 學生 除非 對 本身 能夠 正確 提取 記憶 中 的 答案 很 有 信心 ， 否則 他們 傾向於 使用 計數 的 方式 來 得到 答案 。 對於 好學生 這 組 則 較 會 願意 為 了 能 快速 得到 答案 ， 甘冒 可能 會 有 偶發 的 錯誤 發生 ， 使用 提取 策略 而 不用 計數 方式 。 至於 另 一 組 不 怎麼樣 的 學生 ， 他們 同樣 也 喜歡 用 比較 快速 的 提取法 ， 而 較 不用 計數 歷程 ， 然而 ， 他們 和好 學生組 的 差別 則 是 ， 他們 所 提取出 的 答案 經常 是 錯誤 的 。 這些 實驗 結果 乃 如 圖 14.1 __UNDEF__ 所 示 。 Siegler （1988） 又 檢視 了 這 幾 個 群組 的 學生 們 在 某 一 標準化 數學 成就 測驗 的 成績 表現 ， 結果 即 如 表 14.2 所 示 。 由 表 中 我們 可以 看到 ， 完美型 學生 與 好學生 這 兩 組 的 表現 與 全國性 百分比 並 沒有 很 大 的 差別 ； 這 兩 個 群體 的 學生 很 顯然 比 不 怎麼樣 這 組 學生 的 表現 要 好 得多 。 舉例 來 看 ， 在 解答 數學 問題 方面 ， 完美型 學生 和 好 學生 兩 組 表現 都 在 80 __UNDEF__ 的 百分 位數 上 ， 而 不 怎麼樣 這 組 學生 的 百分位數 則 只 有 38 而已 。 對於 不 怎麼樣 這 組 學生 的 低 成就 表現 可能 有 許多 原因 存在 ， 好比 他們 無法 正確 且 快速 地 提取 一些 數學 事實 也許 便是 其中 之 一 。 就 如同 在 閱讀 歷程 當中 ， 較 慢 的 文字 解碼 速度 可能 會 干擾 理解 的 歷程 一般 ， 提取 數字性 事實 的 速度 過 慢 也 可能 會 干擾 數學 方面 的 問題 解決 歷程 。 二 、 演算法 在 標準化 數學 課程 中 ， 學生 們 為 了 達到 某些 特定 目標 會 學習 各 種 不同 種類 的 演算法 （ algorithms ） 。 演算法 乃是 一 系列 的 步驟 ， 在 正確 的 操作 運用 之下 ， 能 以 百分之百 的 正確率 達成 特定 的 目標 。 對 整數 （ whole numbers ） 與 分數 （ fractions ） 而言 ， 它們 的 加 、 減 、 乘 、 除 都 各自 有 一 套 演算法 ， 另外 ， 在 代數 中 的 方程式 轉換 也 有 其 演算法 諸如 此 類 等等 。 練習 這些 演算法 能 讓 個人 在 進行 演算 過程 時 的 速度 較 快 ， 這樣 的 過程 可 使 解題 者 將 注意力 多 放 在 問題 本身 的 概念性 基礎 上 。 因此 ， 演算法 最好 能 以 程序性 知識 （ procedural knowledge ） 的 方式 被 儲存 在 記憶 中 。 讀者 可以 回想 一下 在 程序性 知識 之 習取 的 那 一 章 （ 第九 章 ） 中 ， 我們 提到 在 知識