在 每 一 節 課 中 都 強調 概念性 理解 的 重要性 。 反對 上述 論點 的 人 則 認為 ， 當 學生 在 他們 的 演算 當中 改正 「 錯誤 」 時 ， 這 對 老師 （ 或 電腦 ） 而言 是 個 很 好 的 機會 ， 可以 去 指出 學生 們 錯誤 本身 的 概念性 基礎 。 讀者 可以 回想 我們 在 基模 的 習得 歷程 （ schema acquisition ） 那 一 章 （ 第八 章 ） 當中 曾 談 過 ， 犯錯 經常 會 引發 基模 的 精鍊 歷程 （ schema refinement ） 。 因此 ， 即便 程序性 知識 的 習得 可能 是 某 特定 課程 的 重點 ， 但 在 同時 它 也 會 促進 敘述 性知識 的 習取 。 以 目前 來 說 ， 我們 仍然 缺乏 足夠 的 大規模 之 長期性 課程 計畫 來 明確 地 支持 ， 「 在 教學 中 ， 概念性 與 程序性 知識 怎樣 的 混合 比例 會 是 最佳 的 」 這 個 事實 。 我們 認為 由於 這 兩 項 知識 是 如此 地 互相 影響 ， 因此 都 相當 重要 ， 就 好比 第三 種 知識 也 是 很 重要 的 — — 「 策略 」 __UNDEF__ （ strategies ） 。 □線性 代數 中 無 效率 的 步驟 專業 知能 的 特點 之 一 即 是 快速 ， 而 要 加快 技能 執行 的 方法 之 一 ， 就 是 要 把 程序 練習到 能夠 將 幾 個 較 小 的 生產 法則 結合 或 「 組成 」 （ composed ） 一 個 較 大 的 生產 法則 這樣 的 程度 。 如果 擁有 較多 組合 的 程序 是 快速 表現 的 要素 之 一 ， 那麼 相較 於 新手 而言 ， 專家 便 應該 能 顯示 他們 的確 擁有 較多 這 類 的 程序 之 證據 。 Lewis （1981） 推論 認為 人們 在 做 數學 計算 時 所 寫下 的 步驟 數目 可以 提供 一些 線索 ， 用來 推測 個人 生產 法則 的 組合 程度 。 假使 個人 寫下 愈 多 的 步驟 ， 則 代表 為 了 形成 下 一 個 生產 法則 所 需 的 條件 （ condition ） ， 個人 必須 具體 寫下 較多 小 的 生產 法則 。 Lewis 採用 線性 方程式 __UNDEF__ （ linear equations ） 的 問題 解決 這 個 領域 ， 來 研究 專家 們 是否 比 新手 們 會 寫下 較少 的 步驟 。 他 找來 的 專家 乃是 五 位 來自 IBM 研究室 的 數學家 ， 而 新手 們 則 是 在 前 測 中 對解 代數 方程式 表現 極 差 技能 的 十 位 大學生 。 Lewis 讓 這 兩 組 人 都 去 解 14 道 新 問題 ， 然後 計算 他們 在 正確 解答 中 所 寫下 的 步驟 數目 。 結果 發現 這些 新手 平均 在 每 個 正確 答案 中 寫下 3.7 個 步驟 ， 而 專家 則 平均 只 寫 了 2.7 個 步驟 。 Lewis 以 此 結果 當做 一 項 證據 ， 用來 顯示 專家 由於 已 發展出 一些 組合 程序 ， 因此 在 解題 過程 當中 ， 有 些 特定 的 中間 步驟 之 結果 便 不再 需要 被 呈現 於 工作 記憶 中 了 。 當然 不可 否認 的 ， 所 寫下 步驟 數目 多少 的 差異 也 有 可能 代表 了 工作 記憶 （ WM ） 本身 容量 的 差別 ； 也就是說 數學 專家 們 可能 比 大學生 具有 較 大 的 工作 記憶 空間 ， 因此 ， 即使 兩 組 人 所 使用 的 步驟 完全 一樣 ， 專家 們 也 可能 會 比較 不 需要 把 一些 中間 結果 （ intermediate results ） 寫下來 。 然而 因為 只有 很少 的 證據 能夠 支持 絕對 的 __UNDEF__ （ absolute ） 工作 記憶 空間 有 大幅 差距 這樣 的 概念 ， 因此 Lewis （1981） 的 發現 也許 可以 反映出 程序性 知識 之 組成 程度 的 差異性 。 三 、 本 節 摘要 在 應付 每 天 要 面對 的 數學 方面 之 問題 解決 情境 時 ， 若 能 具備 一些 正確 且 能 快速 操作 的 基本 技能 是 很 有用 的 。 這裡 我們 只 談到 眾多 基本 技能 中 的 一 部分 ， 包括 數字 事實 的 提取 、 演算 減法 中 的 借數 作業 、 以及 解線性 方程式 等 。 而 我們 所 描述 的 研究 也 證實 了 假使 學生 們 可以 較 快速 提取 數字 事實 ， 這 可能 會 讓 他們 有 更 充裕 的 時間 並 可 將 注意力 放 在 較 高 階層 的 解題 活動 上 。 此外 ， 我們 也 顯示 了 如何 能 辨識出 一些 程序 上 的 錯誤 ， 以 使得 改正 錯誤 的 方法 能夠 較 平順 地 完成 。 最後 ， 我們 也 看到 了 專家 們 的 基本 技能 很 顯然 是 被 儲存成 較 大 的 生產 法則 ， 而 如此 可 讓 他們 能夠 較 快速 地 執行 演算 、 不必 依賴 寫下 一些 中間 步驟 來 達成 目標 ， 至於 新手 們 則 較 無法 有 這樣 的 表現 。 第三 節 　 概念性 理解 研究 顯示 ， 數學 就 如同 閱讀 和 寫作 一樣 ， 較 佳 的 問題 解決 者 對 該 領域 通常 具有 較 好 的 概念性 理解 （ conceptual understanding ； 如 ： 敘述 性知識 〔 declarative knowledge 〕 ） 。 在 本 單元 裡 ， 我們 會 談到 幾 個 證實 上述 觀點 的 研究 ， 同時 我們 也 將 描述 晚近 對 數學 概念性 理解 之 一些 重要 領域 的 研究 ， 並且 還 會 回顧 有關 概念性 理解 在 導引 注意力 ， 影響 記憶 ， 以及 影響 學習 過程 等 方面 所 扮演 的 角色 功能 。 一 、 專家 和 新手 們 在 概念性 理解 上 的 差異 概念性 理解 要 如何 測量 呢 ？ 讀者 們 可以 回顧 在 有關 認知 心理學 的 研究 方法 那 一 章 （ 第二 章 ） 當中 ， 我們 提到 有 許多 不同 方法 可以 用來 幫助 獲得 概念性 理解 ， 包括 對 所 回憶 訊息 型態 的 分析 ， 以及 對 人們 將 問題 分類 的 分析 。 有關 推論 概念性 理解 方面 ， 一 個 早期 使用 的 技術 之 一 乃是 由 找出 特定 個人 對 某些 概念 名稱 （ label ） 的 聯結 程度 有 多 強 來 作 推論 — — 比方說 ， 讓 此 人 對 一些 概念 標註 作 自由 聯想 （ free-associate ） 。 讀者 不妨 可以 自己 試試看 ﹐ 現在 便 可以 先 寫下 當 讀到 加法 這 個 詞 時 ， 你 心 中 立即 想到 的 五 個 詞 ； 接著 再 寫下 看到 減法 這 個 詞 時 在 心 中 立刻 想到 的 五 個 詞 ； 最後 ﹐ 再 寫下 當 看到 指數 時 心 中 所想到 的 五 個 詞 。 圖 14.3 顯示 Ellen 對 上述 這 三 個 詞彙 的 反應 。 要 注意 的 是 ， 加法 和 減法 這 兩 個 詞 無論 哪 一 個 都 讓 她 想到 另 一 個 ， 但 這 兩 個 詞 卻 沒有 一 個 讓 她 聯想到 指數 。 此外 ， 在 看到 指數 時 ， 她 也 沒想到 加法 和 減法 。 由於 從 好幾 個 不同 個體 皆 得到 類似 上述 Ellen 的 反應 ，