。 二 、 數學 學門 裡 之 概念性 理解 的 重要 領域 讀者 剛才 已 看過 一些 證據 ， 顯示 不同 類型 的 數學 問題 之 基模 乃是 對 數學 專業 知能 而言 是 很 重要 的 一 種 概念性 理解 。 近來 有些 有趣 的 研究 工作 是 放 在 跨越 問題 類型 的 兩 個 概念 領域 ， 即 ： 數字 觀念 （ number sense ） （ J .
 
Sowder , 1992 ） ， 以及 計量 概念 __UNDEF__ （ quantitative concepts ） （ Thompson , 1994 ） 。 在 本 節 中 ， 我們 將要 描述 有關 這 兩 個 領域 到 目前 為止 已 被 了 解 的 內容 。 □ 數字 觀念 數字 觀念 （ number sense ） 代表 個人 使 數字 和 數字 系統 具有 意義 的 概念 。 當 一 個 小孩 想要 將 36 分 錢 分給 6 個 人 ， 且 他 想到 36 分 是 由 6 個 五 分 （ nickel ） 硬幣 和 6 個 一 分 （ pennies ） 硬幣 所 組成 的 時候 ， 這 表示 他 對 將 數字 應用 在 金錢 貨幣 系統 當中 擁有 一 個 有 意義 的 理解 。 如果 某人 將 62 想成 有 5 個 十 和 12 個 一 ， 則 代表 他 ／ 她 具有 數字 觀念 ， 而 能夠 用 此 概念 在 腦 中 做 62 減 38 的 運算 。 對於 一些 無法 應用 這 種 數字 重組 方式 的 人 ， 則 可能 必須 要 寫下 「 62 -- 38 」 的 減法 問題 ， 並用 借數 的 方法 來 完成 。 根據 「 美國 國家 數學 教師 委員會 」 （ National Council of Teachers of Mathematic's standards ） （1989） 的 標準 ， 「 那些 具有 良好 數字 觀念 的 學童 ： （1） 已 充分 了 解 數字 意義 ， （2） 已 發展出 數字 間 的 多重 關係 ， （3） 可以 辨識 數字 的 相對 大小 ， （4） 知道 數字 運算 的 相關 效果 （ effect ） ， 以及 （5） 開展 測量 他們 周圍 環境 中 常見 的 物體 和 情境 之 指示物 （ referent ） 。 」 很 顯然 地 ， 數字 觀念 不 只 是 一 個 單一 基模 或 概念 ， 而是 由 個人 本身 多 年 處理 數字 經驗 所 發展出 的 一 整 套 基模 或 概念 。 數字 觀念 被 認為 是 極度 重要 的 ， 因為 它 會 形成 用來 推理 數量 中 大部分 的 概念性 基礎 。 在 之後 談到 策略 __UNDEF__ （ strategies ） 的 那 一 節 中 我們 將 看到 ， 數字 觀念 對 彈性 的 估算 策略 （ flexible estimation strategies ） 乃是 相當 重要 的 。 目前 在 美國 數學 教師 之間 ， 普遍 存在 對 數字 觀念 的 一些 關注點 是 ， 儘管 這 個 觀念 對 數學 學門 中 的 概念性 理解 是 如此 重要 ， 但是 在 標準 數學 課程 中 所 教 的 卻 很 有限 __UNDEF__ （ J .
 
Sowder , 1992 ） 。 除此之外 ， 有關 數字 觀念 的 進一步 研究 顯示 ， 有 很 大 比例 的 學生 其實 並 不 太 有 數字 觀念 。 舉例 來 說 ， Sowder 問 小學 四年級 和 六年級 學生 一 個 問題 ： __UNDEF__ 「 __UNDEF__ 由 $ 378.00 元 當中 可以 提出 多少 張 十 元 鈔票 ？ 」 結果 發現 只有 26 % 的 四年級 學生 和 53 % 的 六年級 學生 能夠 正確 回答 這 個 問題 。 當 她 再 問 他們 ： 「 假設 現在 有 48,638 個 糖果條 ， 若要 以 每 100 個 糖果 條裝 一 箱 的 方式 來 裝箱 ， 那麼 總共 可以 裝成 多少 箱 ？ 」 結果 只有 2 % 的 四年級 學生 和 9 % 的 六年級 學生 回答出 正確 的 答案 ！ 此外 ， Sowder 和 Wheeler （1987） 要 學生 們 去 指出 5/6 和 5/9 兩數 那 一 個 比較 大 時 ， 結果 發現 四 、 五 、 六年級 的 小朋友 們 ， 其 答對率 分別 為 10 % 、 19 % 和 37 % 。 在 同 一 個 研究 中 ， 研究 者 另外 又 嘗試 先 告訴 學生 一 個 新聞 標題 ： 「 麥可傑克遜 演唱會 票券 銷售 一 空 ！ 」 然後 問 他們 以下 哪 一 個 數字 是 較 有 意義 的 可能 聽眾 人數 — — 65,300 、 40,000 或 5,000,000 ； 結果 只有 38 % 的 四年級 學生 選擇 40,000 這 個 最 有 意義 的 答案 。 Sowder （1992） 還 提供 了 許多 有關 學生 們 明顯 缺乏 數字 理解 的 其它 例子 。 總之 ， 數字 觀念 是 可以 提供 數學 推理 之 重要 概念性 基礎 的 一 組 基模 ， 然而 很 顯然 地 ， 在 小學 高年級 和 中學 學生 當中 卻 普遍 缺乏 這些 概念 。 也許 當 我們 對 數字 觀念 的 本質 有 更多 了解 的 時候 ， 我們 將 較 能夠 把 這些 觀念 放入 我們 的 課程 當中 。 在 此 同時 ， 教師 們 也許 可以 試 著 在 他們 目前 的 課程 內 加入 一些 強調 數字 之 各 類 意義 的 問題 或 活動 。 □ 計量 概念 當 「 數字 觀念 」 暗示 了 學童 發展 對 數字 有 意義 的 理解 是 很 重要 的 同時 ， Thompson （1990） 則 提出 發展 計量 概念 （ quantitative concepts ） 對 孩童 而言 也 是 相當 重要 的 。 計量 概念 可 讓 個體 以 「 量 」 （ quantities ） 以及 量 與 量 之間 的 關係 等 觀點 來 找出 情境 中 的 意義 。 計量 觀念 有 一 個 重要 的 看法 即 是 ， 它們 與 通常 用來 代表 它們 的 數字 並 「 不 」 相同 ； 而 量化 關係 （ quantitative relationships ） 和 用來 推算出 一 個 量數 的 算術 運算 也 不 等同 。 以下 乃是 一 個 由 Thompson （1990） 用來 說明 量化 關係 和 算術 運算 之間 差別 的 例子 ： Jim 比 Sarah 高 了 15 公分 。 這 個 差距 是 Abe 和 Sam 兩 人 高度 差距 的 五 倍 。 那麼 Abe 和 Sam 兩 人 高度差 應 為 是 多少 ？ 即使 這 個 問題 問 的 是 差 ， 但 其 答案 乃 必須 由 除法 得來 （ 15/5 ） ， 而 非 減法 。 差 所 代表 的 是 一 個 實體 比 另 一 個 實體 超過 多少 的 一 個 「 量 」 ； 而 不 是 指 一 個 用 在 數字 上 的 操作 運算 （ 例如 ： 減法 ） 。 然而 ， 對 一 個 不了 解量 與 算術 運算 是 各自 獨立 的 小朋友 來 說 ， 他 ／ 她 很 可能 便會 嘗試 用 15 減 5 的 方法 來 解 上述 這 個 問題 。 Thompson （1990） 應用 下面 的 這 個 問題 ， 提供 了 有關 計量 概念 之 使用 的 一 個 更為 複雜 的 例子 ： 我 從 家 裡 走到 學校 花 了 30 分鐘 ， 而 我 弟弟 則 用 了 40 分鐘 。 當 我 弟弟 比 我 早 6 分鐘 出門 時 ， 請問 我 要 花 幾 分鐘 才 能 追過 他 ？ 在 看 表 14.9 所 示 的 兩 個 可行 之 解答 途徑 前 ， 讀者 不妨 試 著 自己 來 嘗試 解決