學生 ） 之 熟練 與 不 熟練 的 心算 者 。 接著 他們 讓 每 一 個 學生 都 去 解 一些 新 的 心算 乘法 題目 ， 比方 像 下面 幾 道 題目 ： 25 × 4825 × 12032 × 328 × 99949 × 51 讀者 不妨 試 著 去 算算 其中 的 一些 題目 ， 並且 想想 看 你 是 如何 來 解答 這些 問題 的 。 參與 Hope 和 Sherrill 研究 的 學生 們 試 著 不用 紙筆 去 解題 ， 然後 他們 必須 向 研究 者 解釋 自己 是 如何 解題 的 。 之後 Hope 和 Sherrill 再 分析 這些 解釋 ， 以 決定 學生 們 於 解題 過程 中 採用 了 什麼 策略 。 表 14.13 顯示 Hope 和 Sherrill 所 發現 的 四 個 主要 策略 ， 他們 並 根據 每 一 種 策略 各 提出 一 個 例子 。 第一 個 策略 是 — — 類紙 筆 心算 （ pencil and paper mental analog ） — — 這 乃是 一 套 類似 於 直接 使用 紙 筆 的 演算法 ， 其中 的 程序 可以 和 用 紙筆 程序 完全 一樣 ， 或者 它 也 可能 牽涉到 某些 捷徑 的 使用 ， 比方說 直接 提取 部分 乘積 的 值 ， 而 不 是 去 計算 它 （ 如 例子 中 得到 96 這 個 值 的 方法 ） 。 這 個 策略 所有 例子 的 一 個 共同點 就 是 ， 題目 被 安排 的 方式 與 用 紙 筆 計算 的 乘法 題目 的 安排 方式 相似 。 第二 個 策略 — — 分配律 （ distribution ） — — 包含 使用 分配性 的 計算 方法 。 其中 第一 步 是 將 某 個 因子 （ factor ） 轉換成 一 系列 的 和 與 差 。 然後 再 用 加法 的 、 減法 的 、 分數 的 、 或是 二 次方 的 分配律 來 計算 答案 。 相關 例子 請 參見表 14.13 。 第三 個 策略 — — 因 數律 （ factoring ） — — 乃 類似 於 分配律 的 策略 ， 於 中 二 者 皆 由 轉換 一 個 或 多 個 因子 開始 進行 。然而 ， 在 因 數律 策略 中 ， 那些 因子 乃是 被 轉換 成積 或 商 ， 而 不 是 被 轉換成 和 與 差 。 最後 ， 第四 個 策略 是 由 長期 記憶 中 提取 （ retrieval ） 等 值數值 。 這些 策略 的 相關 例子 都 列於 表 14.13 。 試問 讀者 ， 你 認為 哪 一 個 策略 會 比較 有效 ？ 哪 一 個 策略 比較 不會 導致 犯錯 呢 ？ 試 著 想像 每 一 個 策略 加 在 個人 工作 記憶 上 的 負擔 。 事實 上 ， 類紙 筆心算 對 工作 記憶 造成 的 負擔 最 大 ， 因為 個人 必須 記得 許多 部分 乘積值 （ products ） 以及 各 數 之間 彼此 的 關係 。 相反地 ， 提取 記憶 對 工作 記憶 的 負擔 最 小 ； 分配律 與 因 數律 對 工作 記憶 而言 則 屬 中等 程度 的 負擔 ， 但 卻 也 遠 低於 類紙 筆心 算法 造成 的 負荷 ， 這 是 因為 個人 在 演算 過程 中 可以 隨時 保持 一 個 持續 的 累積 總和 ， 只 需要 記住 一 個 中間 結果 即可 。 在 了 解 了 這些 策略 的 效用 差別 之後 ， Hope 和 Sherrill 所 得到 的 結果 ， 如 表 14.14 所 示 ， 也 就 不 令 人 感到 驚訝 了 。 他們 發現 不 熟練 的 心算 者 幾乎 完全 （ 86 % 的 時間 ） 依賴 類紙 筆心算 的 運算法 ； 相反地 ， 熟練 的 學生 只有 22 % 的 時間 會 用到 這 個 策略 。 這些 熟練 的 學生 通常 較 喜歡 使用 分配律 策略 （ 54% ） ， 但 也 有 一 部分 顯著 的 時間 會 使用到 因 數律 （ 14% ） 的 策略 。 最後 ， 熟練 的 學生 比 不 熟練 的 學生 而言 ， 前者 大大 偏好 直接 提取 某 個 乘積值 ； 舉例 來 說 ， 大部分 熟練 的 學生 都 可以 從 長期 記憶 中 提取 「 25 × 25 是 625 」 這 個 事實 ， 但 許多 不 熟練 的 學生 卻 無法 提取 這 個 數字性 事實 。 分配律 和 因 數律 這 兩 種 策略 強調 了 本 書 中 的 一 個 重要 主題 ： 基本 技能 、 概念性 理解 和 策略 三 者 乃是 相互 依存 的 。 舉例 來 說 ， 某 位 學生 以 下列 方法 來 計算 「 15 × 48 」 ， 即 ： 「 10 乘以 48 是 480 ， 然後 480 的 一半 是 240 ， 所以 答案 是 720 」 。 換言之 ， 這 個 學生 使用 了 分配律 的 策略 ， 而 將 題目 改成 ： （ 10 × 48 ） + （ 5 × 48 ） 要 做 這 個 改變 的話 ， 學生 必須 了解 15 可以 被 分為 10 和 5 ， 且 分配律 可以 被 應用 於 此 ， 且 不會 影響 結果 。 這 種 類型 的 理解 同時 包含 了 在 概念性 理解 那 個 單元 中 所 討論到 的 數字 觀念 和 計量 概念 。 同時 證據 也 顯示 該 學生 明顯 地 是 自動化 地 執行 這些 基本 演算法 ， 好比 自動化 地 將 某數 乘以 10 。 然後 ， 很 顯然 地 ， 要 執行 分配律 策略 乃 需要 具備 適當 的 概念性 知識 以及 自動化 的 基本 技能 。 上述 這 個 例子 只 是 此 三 種 知識 類型 之 交互作用 的 許多 例子 當中 的 一 個 而已 。 三 、 廣泛性 問題 解決 策略 當 某 個 學生 面對 一 個 新 的 數學 問題 ， 且 她 並 不 具備 可 幫助 自己 詮釋 該 題目 的 問題 基模 時 ， 那麼 她 應該 要 怎麼辦 呢 ？ 比較 純熟 的 問題 解決 者 是否 會 採用 和 較 不 熟練 的 問題 解決 者 所 用 不同 的 策略 ？ 我們 找 不 到 任何 實徵 研究 來 回答 這 個 問題 ， 但 的確 發現 了 一些 大家 普遍 同意 、 認為 是 較 有效 的 問題 解決 策略 。 圖 14.9 顯示 在 實驗 中 用來 呈現給 五年級 和 七年級 （ 譯註 ： 國一 ） 學童 的 一些 策略 （ Charles & Lester , 1984 ） 。 由 圖 中 我們 可以 看到 ， 其中 某些 策略 可以 幫助 學生 形成 一 個 較 適當 的 問題 表徵 __UNDEF__ （ 即 ： 「 了解 該 問題 」 ） 。 舉例 來 說 ， 實驗 中 鼓勵 學生 用 自己 的 話 來 敘述 問題 ， 而 這 應該 可以 保證 個人 能夠 活化 一些 可能 會 幫助 解決 該 問題 的 先前 知識 。 其它 一些 策略 則 是 被 設計 用來 幫助 學生 解決 （ solve ） 問題 的 ； 比方說 ， 鼓勵 學生 進行 「 反向 運作 」 __UNDEF__ （ work backwards ） 。 讀者 在 第十 章 （ 問題 解決 ） 曾 學 過 ， 反向 運作 ， 或 稱 「 手段 — 目的 分析 」 （ means-ends analysis ） 方法 ， 乃是 用來 限定 搜尋 解決 方法 朝 所 陳述 目標 相關 的 領域 中 進行 之 一 項 很 有效 的 方法 。 最後 ， 研究 者