而 不 是 在 強調 函數 與 座標圖 之間 概念性 關係 的 重要性 。 相反地 ， 那 位 數學 教育 者 則 強調 ， 座標圖 乃是 在 代數 函數 中 所 用來 表達 訊息 的 「 另類 替代性 表徵 」 （ alternate representations ） 。 換句話說 ， 她 強調 圖形 與 函數 二 者 都 能 呈現 變數 之間 相同 的 關係 ； 只 是 它們 是 以 不同 的 方式 來 表現 這樣 的 關係 。 函數 乃是 該 關係 的 敘述式 （ statement ） ， 而 座標圖 則 是 該 關係 的 一 個 圖像 （ picture ） 。 Gene 先生 與 那 位 數學 教育 者 分別 用來 分類 那些 概念 卡片 的 方式 ， 也 揭露 了 他們 本身 知識 組織 的 差異性 。 當 Gene 先生 分類 卡片 時 ， 他 將 所有 的 圖形 （ 圖像 ） 都 放 在一起 ， 而 另 將 所有 的 方程式 （ 敘述式 ） 分成 一 類 （ 見 圖 17.3 ） 。 他 似乎 是 根據 這些 卡片 的 表象 或是 表面 相似性 來 進行 分類 的 — — 也 就 是 根據 訊息 被 呈現 的 方式 來 分類 卡片 。 相反地 ， 這 位 數學 教育 者 則 將 函數 與 非 函數 （ nonfunctions ） 給 分開來 （ 見 圖 17.4 ） ， 並且 在 這 兩 組 中 繼續 分類 這些 卡片 ， 將 那些 代表 相同 功能性 關係 的 方程式 與 圖形 的 卡片 內容 分類 在一起 。 因此 ， 比方說 「 y = x 」 這 個 方程式 與 該 函數 的 圖形 表徵 、 以及 呈現 此 函數 的 序列式 配對 （ ordered pairs ） （ 如 ：[ 5, 5 ] ， [ -53 , - 53 ] 與 [ 0, 0 ] ） 等 ， 都 同樣 被 分類 在一起 （ 參見 圖 17.4 中 左邊 那 個 群組 的 中間列 ） 。 這 一 類 的 安排 指出 了 根據 卡片 內容 之 功能 方面 的 相似性 （ functional similarities ） 、 而 非 只 根據 其 表面 相似性 （ surface similarities ） 所 分類出 的 一 種 組織性 體系 （ organizational scheme ） — — 也就是說 ， 這 位 數學 教育 者 是 根據 那些 卡片 的 意義 、 而 非 它們 看起來 的 樣子 來 分類 卡片 的 。 根據 這 個 分類 作業 所 得到 的 結果 ， 顯示 了 這 位 數學 教育 者 對於 某 一 特定 函數 的 基模 中 包括 了 命題式 訊息 （ y = x ） 、 空間 訊息 （ 該 函數 的 心像圖 或 座標圖 ） 及 序列 訊息 （ 序列式 配對 ） ， 而 都 相互 關聯 且 保留 了 構成 該 訊息 之 基礎 的 功能性 關係 。 另一方面 ， Gene 先生 則 並 未 顯示出 在 他 的 組織性 基模 中 有 相同 階層 的 概念性 理解 。 那麼 這 位 Gene 先生 的 基模 組織 是否 影響 了 他 的 教學 行為 呢 ？ 當 這 位 Gene 先生 在 教授 某 一 課程 時 ， 他 對 該 學科 的 概念性 理解 是否 會 明顯 「 導引 」 他 在 課堂 中 的 決定 與 行動 呢 ？ 為 了 嘗試 回答 這 個 問題 ， Stein 等 人 錄下 了 Gene 先生 教授 函數 與 座標圖 的 一 個 包含 25 單元 的 課程 ， 並 企圖 找出 他 的 知識 如何 影響 他 教學 之 證據 。 研究 者 發現 ， 這 位 Gene 先生 本身 的 知識 限制 （ limitations ） 以 三 種 方式 窄化 （ narrowed ） 了 他 的 教學 ： 首先 ， 他 有時 會 忽略 要 去 提供 未來 學習 的 背景 基礎 ； 其次 ， 他 有時 會 過分 強調 只有 有限 應用 功能 的 法則 之 重要性 與 效用 ； 以及 第三 ， 他 常 錯過 了 指出 關鍵 概念 間 有 意義 連結 關係 的 機會 。 以 上述 第二 項 限制 為 例 ， 也 就 是 「 過分 強調 有限 的 事實 」 ， Gene 先生 教給 兒童 的 一 個 法則 乃是 ， 一 個 函數 問題 包含 了 三 個 部分 — — 輸入 部分 （ input ） 、 函數 法則 __UNDEF__ （ function rule ） 以及 輸出 部分 （ output ） 。 因此 ， 假使 輸入 部分 是 「 3 」 ， 且 該 函數 法則 為 「 乘以 2 」 ， 那麼 輸出 部分 則 會 是 「 6 」 （ 即 ：3 × 2 = 6 ） 。 或者 假如 輸入 部分 是 __UNDEF__ 「 4 」 ， 且 我們 的 運作 函數 為 「 平方 之 」 （ to square ） ， 那麼 其 輸出 部分 則 會 是 「 16 」 。 他 使用 以 電腦 為 類比 的 方式 來 教授 此 法則 ， 也 就 是 輸入 、 程式 運作 及 輸出 ， 同時 他 還 告訴 孩童 們 ， 在 一 個 函數 問題 中 ， 他們 會 有 已 知 的 兩 部分 ， 而 孩童 們 必須 去 找出 其中 所 缺少 的 那 個 第三 部分 。 要 描述 這 個 教學 ， 我們 可 引用 Stein 等 人 的 說明 ： 在 他 做完 許多 要 找出 缺少 的 輸入 部分 、 缺少 的 功能 法則 、 或是 缺少 的 輸出 部分 等 例子 之後 ， Gene 先生 呈現 了 一 個 廣泛性 法則 （ generalized rule ） 給 學生 ： 假使 我們 知道 這 三 項 訊息 當中 的 兩 項 ， 那麼 我們 便 可 找出 這 缺少 的 第三 項 訊息 （ pp .
 
652 - 653 ） 。 Stein 等 人 指出 ， 這 個 三 項 具備 兩 項 的 法則 也許 真的 可以 有效 幫助 學生 學習 五年級 課程 中 其後 的 部分 ， 然而 由 數學 的 觀點 來 看 ， 這 個 法則 並 不 總是 為 真 。 換句話說 ， 假使 你 知道 輸入 部分 與 函數 部分 ， 你 可能 可以 找出 其 輸出 部分 ： 但是 假使 你 所 知道 的 是 輸入 部分 與 輸出 部分 ， 你 並 不一定 總是 能 找出 其 函數 關係 。 舉例 來 說 ， 設若 一 個 問題 的 輸入 部分 為 「 3 」 ， 而 輸出 部分 為 「 6 」 ， 那麼 其間 函數 關係 可能 是 「 加上 3 」 、 或是 「 乘以 2 」 二 者 。 同樣地 ， 倘若 你 知道 問題 的 函數 與 輸出 部分 ， 其 輸入 部分 也 可能 會 有 多於 一 種 的 可能性 。 也就是說 ， 設若 函數 關係 為 「 平方 之 」 ， 而 輸出 部分 為 25 ， 則 其 輸入 部分 可以 是 「 +5 」 、 或 「 -5 」 。 如此一來 ， 學生 們 若 採用 「 三 項 具備 兩 項 的 法則 」 ， 他們 也許 可以 解決 五年級 時 所 要 學習 的 數學 函數 問題 中 大部分 的 問題 ， 然而 若 就 最 深入 的 概念性 階層 而言 ， 則 此 法則 便 錯誤 地 呈現 了 「 函數 總 有 一 個 __UNDEF__ 『 __UNDEF__ 一 對 一 』 的 對應 關係 （ corres pondence ） 」 這樣 的 概念 ， 因為 事實 上 函數 有時 會 有 __UNDEF__ 「 數 對 一 」 （ several-to-one ） 、 或 甚至 是 「 多 對 一 」 （ many-to-one ） 的 對應 關係 。 這