章 蛛網 的 幾何學 我 現在 著手 寫 的 這 一 章 很 有意思 ， 可是 寫起來 卻 困難重重 ， 並 不 是 因為 這 個 題材 難懂 ， 而是 因為 它 要求 讀者 具備 一些 幾何學 知識 。 這 種 知識 是 非常 有用 的 糧食 ， 卻 完全 為 人 所 忽視 。 我 不 是 寫給 幾何學家 看 的 ， 一般 說來 他們 不 太 關心 生命 本能 之 事 ； 也 不 是 寫給 昆蟲學家 看 的 ， 他們 對於 數學 定理 漠不關心 。 我 是 為 那些 對 昆蟲 有 興趣 的 聰明 人 而 寫 的 。 怎麼辦 呢 ？ 把 這 一 章 取消掉 ， 那 會 略過 了 蜘蛛 技巧 中 最 引人矚目 的 特點 ； 如果 用 學術 公式 給予 應有 的 說明 ， 那麼 這 寥寥 幾 頁 紙 根本 不 夠 。 因此 我們 採取 折衷 的 辦法 ： 既 不 令 人 望而生畏 地 描述 事實 ， 也 不 完全 隻字不提 。 我們 就 來 端詳 圓網蛛 的 網 吧 。 在 圓網絲蛛 和 彩帶 圓網蛛 的 網 上 ， 首先 可以 看到 等距離 的 輻射絲 ， 以及 從 一 根 絲 到 另 一 根 絲 所 產生 的 角 ， 儘管 數目 眾多 ， 在 圓網絲蛛 的 網 中 多達 四十多 個 ， 但 所有角 的 角度 明顯 相等 。 我們 還 看到 蜘蛛 以 甚為 奇特 的 方式 達到 其 目的 ： 把 要 織網 的 空間 劃分成 許多 開度 相同 的 扇形面 ， 扇形面 的 數目 各 家 蜘蛛 幾乎 都 一樣 。 一 種 可 說 是 無 秩序 、 狂熱 而 隨意 的 操作 ， 卻 產生 了 類似 圓規量 出來 的 圓網 。 我們 也 看到 ， 在 每 個 扇形面 內 構成 螺旋圈 的 橫線 ， 彼此 是 平行 的 ， 而且 越 靠近 中心 ， 彼此 間 的 距離 越 縮小 。 這些 橫線 和 連結 橫線 的 輻射絲 所 構成 的 角 ， 一 邊 是 鈍角 ， 一 邊 是 銳角 ； 由於 橫線 平行 的 緣故 ， 這些 角 的 角度 在 同 一 扇 形面 內 是 恆定 的 。 根據 此 特點 ， 可以 看出 這 是 對數 螺線 。 把 從 稱為 「 極點 」 的 中心 所 輻射出 的 一切 直線 或 扇形面 輻射線 ， 以 常數 的 輻射角值 斜切 ， 所得 出來 的 曲線 ， 幾何學家 將 之 稱為 「 對數 螺線 」 。 所以 圓網蛛 所 走 的 路程 ， 是 一 條 內切於 對數 螺線 的 多邊 形線 。 如果 輻射絲 的 數目 無限 ， 就 會 與 這 種 對數 螺線 混淆 在一起 ， 如此 便 可能 使 直線 部分 變 得 非常 短 ， 且 把 多邊 形線 變成 曲線 。 雖然 我們 很 想 揭示 ， 為什麼 這 種 螺線 會 引起 科學界 的 諸多 思考 ， 但 我們 現在 只 著重 於 做 某些 陳述 ， 讀者 可以 在 進階 幾何 的 論文 中 找到 對 此 問題 的 說明 。 對數 螺線 環繞 其 極點 而 畫出 數目 無限 的 圈 ， 它 越來越 接近 這 個 極點 ， 卻 總是 到達不了 。 每 繞完 一 圈 就 更 接近 這 個 中心 ， 但 卻 永遠 無法 到達 。 當然 ， 這 種 特性 超出 了 人類 感官 的 感覺 範圍 。 即使 借助 於 最 精密 的 儀器 — — 視覺 ， 也 無法 持續 注視 著 那些 沒完沒了 的 圈圈 ， 結果 很 快 就 會 放棄 繼續 去 注意 這 種 看 不 見 的 分割 了 。 這 是 一 種 無法 想像 會 有 極限 的 繞圈 。 只有 經過 精心 培育 、 比 人類 視網膜 更加 敏銳 的 理智 ， 才 能 清晰 看出 肉眼 所 不能 見 的 東西 。 圓網蛛 盡其所能 地 遵循 這 種 無限 繞圈 的 規則 ， 牠 的 螺旋圈 越 靠近 極點 彼此 越加 緊密 。 到 了 一定 的 距離 ， 螺旋圈 突然 停止 ； 但 這時 接著 這 根 絲 的 ， 是 還 存在 於 中心區 的 輔助 螺旋絲 ， 而且 人們 還 會 驚奇 地 看到 ， 這 輔助 螺旋絲 向著 極點 所 繞 的 圈 越來越 密 ， 幾乎 難以 察覺 。 當然 這 不 是 高度 的 精確 ， 只 是 近似 這 種 精確性 而已 。 圓網蛛 盡 其 工具 所 能 ， 愈形 接近 繞向 牠 的 極點 ， 可以 說 牠 是 精通 螺線 規則 的 行家 。 再 來 描述 一下 這 種 奇怪 曲線 的 某些 特性 ， 但 不 做 解釋 。 讓 我們 設想 一 根 可 彎曲 的 線 繞 在 對數 螺線 上 。 如果 把 它 拉開來 ， 一直 拉緊 ， 那麼 它 自由 的 一 端 就 會 捲成 跟 原先 完全 一樣 的 螺旋狀 ， 只 是 曲線 改變 了 方向 而已 。 傑出 的 幾何學 定理 發現 者 — — 雅各布 ． 白 努力 1 ， 其 墳墓 上 便 刻有 這 種 發生性 螺線 和 由 此 線 延展 產生 的 類似物 ， 做為 他 的 榮譽 頭銜 。 並 有 一 段 銘文 ： 「 我 依 原樣 復活 自身 」 。 對於 這 個 飛躍 向 來生 的 大 問題 ， 幾何學 很 難 找到 更加 貼切 的 表達 了 。 我們 還 知道 另 一 個 有關 幾何學 的 著名 墓誌銘 。 西塞羅 2 於 西西里 擔任 財政 大臣 時 ， 在 湮沒 一切 的 荊棘 和 亂草堆 中 尋找 阿基米德 的 墳墓 。 藉由 廢墟 中 一 個 刻 在 石頭 上 的 幾何 圖形 ， 他 找到 了 這 位 學者 的 墓 。 該 圖形 是 畫成 球形 的 圓柱體 。 因為 阿基米德 是 第一 個 理解 圓周 與 直徑 的 近似 比率 的 人 ， 他 由 此 求出 了 圓周 和 圓面積 ， 以及 球面積 和 球體積 。 他 揭示出 ， 球 的 面積 和 體積 是 圓柱體 面積 和 體積 的 三分之二 。 這 位 古 學者 討厭 浮誇 的 銘文 ， 以 其 定理 做為 墓誌銘 而 自豪 。 幾何 圖形 跟 字母 一樣 ， 清楚 標示出 了 人物 的 姓名 。 最後 ， 對數 螺線 還 有 一 個 特性 。 讓 曲線 在 一 條 不 確定 的 直線 上 繞圈 ， 它 的 極點 不斷 移動 位置 ， 卻 總是 保持 在 同 一 條 直線 上 。 無 休止 繞圈 的 結果 卻 是 一 條 直線 ， 持續 變化 產生出來 的 卻 是 無 所 變化 。 然而 ， 這 種 特性 出奇 的 對數 螺線 ， 是否 僅 是 幾何學家 任意 把 數值 和 面積 相 結合 而 形成 的 想法 ， 從而 想像出 一 個 神秘 的 深淵 ， 再 將 他們 的 測試 方法 運用 其 上 呢 ？ 這 是否 是 在 遇到 重重 困難 的 夜裡 ， 所 產生 的 一 個 純粹 夢想 ， 一 個 讓 人類 智力 有 用武之地 的 荒謬 之 謎 呢 ？ 不 是 的 。 這 是 一 個 為 生命 服務 的 真理 ， 是 動物 建築師 經常 使用 的 一 種 草圖 。 尤其 是 軟體 動物 ， 總是 按照 這 條 深 具 學術 價值 的 曲線 ， 在 貝殼 上 繞 螺旋 斜線 。 這 種 動物 的 初生 者 都