， 某些 鑰匙 對 特定 的 科學 或 意識 革命 來 說 是 缺乏 吸引力 的 ， 因為 鑰匙 涵蓋 不同 的 理解 層次 ， 而且 全 都 和 理解 『 光 』 、 也 就 是 無限 心靈 的 首要 頻率 有關 。 」 不過 ， 佛洛克斯菲爾德麥田圈 有 個 關鍵 缺陷 ： 中央圓 比 其他 圓小 ， 相差 大約 一 刈幅 ， 結果 正好 形成 「 九 比 三 」 這 個 全 音階 比例 。 難道 偽造 者 那 天 晚上 突然 受到 不 知名 外力 的 驅使 、 出現 神來之筆 ， 或者 草圖 根本 就 是 偽造 的 ？ 畢竟 在 紙 上 塗鴉 可 比 在 麥田圈 作圖 容易 多 了 。 霍金斯 的 研究 只 包含 早期 的 麥田圈 ， 因此 （ 在 我們 幾乎 什麼 都 沒 吃 的 午餐 時間 ） 當 我們倆 發現 ， 後來 更 精緻 的 麥田圈 圖樣 依然 包含 全 音階 比例 ， 並且 符合 歐式 幾何 定理 時 ， 心 裡 就 更加 篤定 了 。 到 這 個 階段 ， 霍金斯 的 研究 完全 以 精確 的 地面 調查 為 依據 ， 再 依 不同 角度 的 空照圖 ， 對照 幾何 架構 做 分析 。 然而 ， 這樣 的 方法 並 不 完美 ， 讓 懷疑 者 有 置喙 之 處 。 由於 我 擅長 電腦 影像 處理 ， 因此 這 個 問題 就 落到 我 頭 上 。 好 巧 不巧 ， 雖然 當時 我 不 知道 有 多 重要 ， 但 幾 個 最 重要 圖樣 的 重點 「 靶心 」 我 都 曾 拍照 存檔 。 不過 在 當時 看來 算是 巧合 … … 重點 是 ， 彩圖 10.34 - 40 終究 提供 幾 個 實例 ， 顯示 霍金斯 的 發現 確實 和 處理 過 的 麥田圈 影像 彼此 呼應 。 現在 ， 每當 一 年 的 麥田圈季 接近 尾聲 ， 我 都 會 接到 這 位 老友 來電 。 雖然 我 已經 習慣 了 ， 但 心 裡 還是 有點 怕怕 的 ： 要是 他 口氣 興奮 ， 就 表示 他 又 發現 新 比例 了 ， 換句話說 ， 我 又 得 在 電腦 前面 盯 著 螢幕 計算 像 素 好幾 天 。 不過 ， 這 項 任務 確實 成果 豐碩 。 霍金斯 的 做法 是 從 相片 裡 算出 圖形 的 直徑 ， 再 套用 （ 設定好 不能 更改 的 ） 已 知 定理 ， 之後 我 會 拿到 一 組 精確 數據 ， 再 和 實際 圖樣 比對 看符 不 符合 。 到 目前 為止 ， 他 給 我 的 數據 還 未曾 不 吻合 。 這 套 相片 幾何 比對法 非常 有用 ， 能夠 將 後來 出現 的 麥田圈 資料 整合 起來 ， 方便 尋找 更多 數學 證據 。 然而 隨著 圖樣 風格 越來越 多元 ， 光 從 地面 上 研究 ， 實在 很 難 知道 是 不 是 又 有 新 的 幾何 訊息 出現 在 麥田圈裡 。 唯有 透過 空照圖 ， 證據 才 會 顯露出來 ， 就 好比 秘魯 的 納斯卡 線條 （ Nazca line ） 。 一九九七年 麥田圈 大量 出現 就 是 很 好 的 例子 。 霍金斯 不但 發現 一 個 完全 吻合 第四 定理 的 圖樣 ， 以及 兩 個 誤差 只 有 千分之一 的 全 音階 比例 ， 還 發現 符合 托勒密 和聲 定理 （ 公元 一五○年 發現 ） 的 數據 。 托勒密 和聲 定理 是 歷史 上 的 經典 發現 ， 因為 它 是 三角 幾何 的 基礎 。 像 巴柏利堡 麥田圈 這樣 的 藝術 傑作 不僅 包含 數學 ， 而且 就 霍金斯 所 知 ， 過去 從來 沒有 任何 「 藝術家 」 以 數學 為 創作 主題 。 最近 似的 例子 就 只有 史前 遺址 如 石柱圈 。 但是 霍金斯 已經 證實 ， 石柱圈 其實 是 非常 複雜 的 天文曆 （ Hawkins 1965 ） 。 雖然 霍金斯 沒有 如 他 最初 預期 ， 發現 麥田圈 和 石柱圈 之間 有 關聯 ， 然而 「 曼德布洛 集合 」 麥田圈埌 的 出現 ， 卻 再度 暗示 麥田圈 可能 和 古代 巨石 文化 建築 有關 。 「 曼德布洛 集合 」 的 心型 圖樣 是 一六九一年 由 歐薩南 （ Jacques Ozanam ） 所 發現 ， 許多 重要 的 新 石器 遺址 ， 例如 英國 坎布里亞 （ Cumbria ） 的 卡斯里格 石柱圈 ， 以及 愛爾蘭 的 紐格蘭治 土丘 ， 都 非常 吻合 心型 。 至於 心型 麥田圈 ， 霍金斯 根據 歐式 幾何 苦心 計算 ， 得出 五 比 二 、 二 比 一 、 三 比 一 和 四 比 一 等 四 組 比例 。 然而 ， 電腦 模擬出來 的 曼德布洛 集合 並 不 包含 五 比 二 的 比例 。 因此 ， 無論 在 麥田圈 裡 藏入 密碼 的 人 是 誰 ， 肯定 是 刻意 將 訊息 隱藏 在 可以 辨識 的 符號 裡 ， 但 又 修剪 圖樣 ， 去掉 一 部分 和 電腦 模擬 相同 的 設計 （ 如 麥子 的 渦漩 所 示 ） ， 放入 五 比 二 的 比例 。 另外 ， 麥田圈 製造 者 還 漏掉 「 第五 芽體 」 ， 說不定 是 因為 它 不 符合 全 音階 比例 ！ 有時 我 真 好奇 霍金斯 知不知道 十七世紀 植物 生理學家 格魯 （ Nehemiah Grew , 1641 - 1712 ） 曾 說 過 一 句 話 ： 沉思 植物 ， 可能 因此 踏入 數學 探索 的 領域 。 下 回 如果 有 機會 坐 在 湖 畔 ， 不妨 找 根 棍子 伸進 水 裡 ， 你 會 發現 棍子 似乎 折彎 了 ， 但是 你 知道 棍子 絕對 是 直 的 。 你 所 觀察到 的 現象 ， 就 是 光 從 薄介質 （ 空氣 ） 進入 厚介質 （ 水 ） 時 產生 的 折射 現象 。 能量 從 稀薄 狀態 移動到 濃稠 狀態 ， 也 會 有 類似 現象 。 雖然 公元 二○○○年 之前 就 陸續 出現 過 幾 個 麥田圈 ， 暗示 圖樣 開始 偏離 線性 的 歐式 幾何 、 引入 四維 空間 的 概念 ， 但 確實 的 證據 卻 是 來自 二○○○年 出現 的 一 組 麥田圈 。 四維 物理 非常 艱深 ， 超過 本 書 所 能 處理 的 範圍 ， 但 我 認為 將 自己 現有 的 理解 寫成 白紙 黑字 ， 或許 能 吸引 其他 人 做 進一步 研究 ， 所以 還是 借用 篇幅 介紹 一下 。 就 我們 所 知 ， 四維 沒有 透視圖 ， 物體 同時 從 「 所有 角度 」 被 看見 。 然而 ， 人腦 的 理解力 顯然 有限 ， 要 想像 四維 空間 就 得 先 接受 訓練 。 一八九○年代 ， 辛頓 （ Charles H .
 
Hinton , 1853 - 1907 ） 撰寫 過 幾 本 著作 ， 提供 了 幾 項 訓練 。 其中 一 項 是 要求 讀者 記住 放 在 不同 位置 的 不同 顏色 立方體 ， 再 想像 這些 立方體 的 不同 組合 方式 。 這 項 訓練 的 目的 是 讓 心靈 習慣 以 「 全 觀 」 角度 觀察 宇宙 ， 而 非 以 「 自我 」 為 出發點 。 曼荼羅 也 有 同樣 的 功能 ： 訓練 心智 如實 觀看 事物 ， 而 非 拘泥 於 表象 。 如此一來 ， 許多 物理 限制 和 既存 定見 （ 如 上下 左右 和 前後 ） 就 會 消失 。 另外 ， 這麼 做 也 會 加強 佛教 「 萬物 皆 空 」 的 觀念 ， 發現 物質 世界 僅 投射到 物質 平面 的 表象 。