逐步 修改 方法 ， 還是 有 不少 國小 老師 以 不會 教 來 搪塞 ； 不少 幼兒 的 數概 教材 ， 更 是 只 改 封面 不 改 內容 ， 便 開始 掛羊頭賣 狗肉 了 。 難怪 有 小學生 要 質疑 教育部長 ， 不 勝任 的 老師 是 不 是 該 下 十九 層 地獄 。 其實 ， 建構 數學 便是 在 瞭解 宇宙 結構 中 的 各 種 建構 關係 ， 以 應用 在 日常 生活 上 ； 理解 和 推論 各 種 人 事 物 的 真相 ， 以 落實 數學 思考 的 正確性 。 例如數 來自於 量 ， 先 瞭解 量 的 建構 ， 才 會 有 數目 和 數字 的 概念 。 量 有 整體量 和 分開量 的 結構 ， 整體量 是 無法 分割 的 ， 例如 大小 、 高低 、 長短 、 厚薄 ； 分開量 則 可以 分割 ， 例如 多少 。 但 分開量 也 可 組成 整體量 ， 整體量 建立 衡量 標準 時 ， 也 可 做 分開量 之 比較 。 分開量 才 能 做 比較 和 計算 ， 這 也 是 量 和 數 的 建構 關係 。 幼兒 大腦 的 發展 ， 屬 具體 思考期 ， 所以 要 由 容易 辨識 的 整體量 先學 ， 高低 、 大小 、 長短 是 最 基礎 的 數量 建構 關係 。 蒙特梭利 的 教具 中 ， 便有 數概 前置期 （ pre-mathematics ） 的 感覺 教具 ： 長棒 、 粉紅塔 、 棕色梯 、 圓筒 組合 ， 以及 數概 基礎 的 教具 ── 數棒 和 數 塔 。 但 學習 不要 只 在 室 內 ， 只 依賴 視 、 聽 和 手 的 操作 ， 很 難 落實 數概 生活化 。 最好 能 利用 戶外 遊戲 ， 讓 孩子 的 身體 整個 動 起來 ， 六感齊發 ， 不但 學習 效果 會 特別 好 ， 而且 可以 激發 孩子 對 數學 的 興趣 。 跳 橡皮筋 、 跳高 打 水球 、 比 身高 、 比 誰 跳 得 高 ， 都 可 用來 教 高 低量 ； 射紙 飛機 、 丟 球 、 跳遠 、 打 彈珠 ， 可以 比較 長短量 ； 踢 鐵罐 ， 可 學習 距離 的 遠近 、 用力 大小 、 時間 長短 間 的 關係 ； 挖 地洞 、 堆 沙土 ， 大小 、 高低 、 寬窄 、 深淺 都 出現 了 。 整體量 理解 後 ， 便 可 進一步 教導 其中 分開量 的 結構 。 先 設定 最 小 的 固定 單位 ， 再 用 積木 、 石塊 、 雪花片 去 衡量 高低 、 長短 ， 便 可 得出 多少 個 的 分開量 。 蒙特梭利 教具 中 的 串珠鍊 ， 便是 為 此 而 設計 的 。 分開量 後 才 有數 的 出現 ，數 的 組合 和 分解 便是 計算 ， 這 方面 的 建構 數學 和 傳統 以 計算 為主 的 數學 有 很 大 的 不同 。 建構 數學 最 反對 背誦 或 死記 公式 ， 不用 背 九九 乘法表 ， 而是 要 瞭解 乘法 的 真正 結構 。 乘法 是 倍數 的 關係 ， 也 是 交叉 的 關係 ， 加法 是 放 在一起 的 關係 ， 減法 是 分開 和 比較 的 關係 ， 除法 則 是 分配 的 關係 。 教 數學 重 在 理解 而 非 背誦 。 數學 離 不 開 生活 ， 所以 建構 數學 一定 要 落實 在 生活 中 ， 由 應用 問題 開始 著手 瞭解 生活 中 的 各 種 邏輯 結構 。 10 是 宇宙 中 的 完成數 ， 也 稱作 圓滿 數 ， 5 是 中數 ， 理解 1 到 10 ， 必 先 理解 1 到 5 。 地球 上 ， 5 是 重要 的 數 ， 例如 東西 南北 中 五 個 方位 ， 五行 、 五 味 、 五色 、 五 聲 都 以 五 基礎 ， 人 有 五官 ， 每 隻 手 有 五 根 手指頭 ， 雙手 合十 便是 圓滿 。數 的 計算 在 所有 數學 領域 中 ， 是 比較 不 容易 理解 的 。 像 公文 數學 一樣 背誦式 計算 ， 雖 有 效果 ， 但 若 無法 理解 ， 便 難以 落實 生活化 ， 那麼 建構 的 概念 必 會 有 問題 。 例如 2 加 3 等於 5 ， 必 先 讓 孩子 瞭解 2 是 兩 個 1，3 是 三 個 1 ， 放 在一起 便是 五 個 1。5 是 中數 ， 理解 5 的 結構 後 ， 碰到 8+7 =15 時 ， 便 可 分解 5+3+5+2 =15 ， 兩 個 5 便是 10，10 要 進位 ， 而 三 個 1 和 兩 個 1 放 在一起 是 5 ， 故 等於 十五 。 但 進位 後 不要 先 教 11 ， 這 會 造成 數字 關係 建構 上 的 困難 。 進位 在 一 個 10 以後 ， 接著 是 兩 個 10 、 三 個 10 … … 到 十 個 10 ， 是 一百 ； 再 一 個 百 、 兩 個 百 ， 三 個 百 … … 到 十 個 百 ， 是 一千 。 個 、 十 、 百 、 千 的 進位 關係 ， 也 可 做為 點 、 線 、 面 、 體 的 觀察 ， 這 是 進位 的 建構 ， 也 是 一般 所謂 的 十進位法 。 11 屬於 連續數 ， 一 個 10 到 兩 個 10 之間 ， 有 九 個數 為 11 、 12 、 13 、 14 、 15 、 16 、 17 、 18 、 19 ， 之後 才 是 20 。 依 此 類推 ， 三 個 10 、 四 個 10 到 一百 ， 一 個 100 ， 兩 個 100 … … 到 一千 ， 連續數 的 概念 ， 便 可以 建構 起來 了 ， 這 一切 不 是 用 死背 的 ， 而是 要 理解 的 。 3 × 3 =9 ， 不用 背 九九 乘法表 ， 而是 要 理解 3+3 = 6，6 + 3 = 9，9 是 三 個 3 放 在一起 ， 所以 是 3 的 倍數 關係 ， 但 也 可以 作 三 個 3 的 方陣 交叉 關係 來 理解 。 由 此 可以 發展出 九九八十一 的 各 種 交叉 方陣 ， 這 便是 乘法 以 「 × 」 作 符號 的 主因 。 除法 「 ÷ 」 便是 一邊 一 個 的 分配 關係 了 。 6 ÷ 3 =2，六 個 小朋友 分站到 三 個 圈圈 內 ， 每 個 圈圈 有 二 個 人 。 20 顆 糖果 分給 5 個 小朋友 ， 每 人 2 個 ， 這 便是 除法 的 結構 。 有 些 人 質疑 ， 這樣 的 計算 效率 太 慢 了 ， 如果 碰到 大 數目 的 題目 怎麼辦 ？ 但 數學 不 是 計算 ， 計算 可 由 電腦 來 做 ， 快 又 正確 。 數學 的 計算 ， 是 數學 的 衡量 標準 ， 數學 既是 宇宙 的 建構 ， 必須 完全 瞭解 計算 的 基礎 意義 ， 以後 碰到 各 種 方程式 ， 才 會 重 在 理解 其中 結構 ， 而 非 死記 硬 背 了 。 除了 量 和 數 外 ， 「 形 」 也 是 數學 的 重要 結構 。 大 宇宙 中 的 形 都 是 球形 ， 而 動線 也 都 是 曲狀 的 圓形 ， 直線 、 方形 、 三角形 則 是 地球 上 人類 局部 感官 形成