時分 星辰 的 神祕 居所 ， 沒有 圓圈 的 星辰 則 只 單純 地 代表 了 夜晚 出沒 的 星星 。 我們 在 這 一 章 中 要 回答 的 主要 問題 ， 不 是 在 這些 早期 文化 中 ， 五角星形 或 五邊形 是否 具有 任何 象徵 或 神祕 意義 ， 而是 這些 文化 是否 也 瞭解 這些 圖形 的 幾何 意義 ， 尤其 是 黃金 比例 的 意義 。 在 巴比倫 淪為 塵土 之前 一九三六年 ， 一 塊 年代 可 追溯 至 西元 前 兩千年 的 楔形 文字 泥板 ， 從 伊朗 的 蘇沙 （ Susa ） 出土 ， 根據 研究 顯示 ， 幾乎 沒有 人 懷疑 這些 第一 王朝 治下 的 巴比倫人 至少 知道 一 個 計算 五邊形 面積 的 大概 公式 。 巴比倫人 對 五邊形 的 興趣 可能 來自 這 個 簡單 的 事實 ， 即 如果 把 五 根 手指 按 在 黏土板 上 ， 得到 的 就 是 這 個 圖形 。 蘇沙 的 泥板 上 有 一 行 是 這麼 寫 的 ： 「 1 40 是 五邊形 圖形 的 常數 。 」 因為 巴比倫人 用 六十 進位 ， 這些 數字 1 40 應當 解釋為 1 ＋ 40/60 ， 或 1 .666 … … 也 就 是 五邊形 的 面積 。 邊長 為 一 個 單位 長 的 五邊形 的 實際 面積 等於 1.720 ， 和 這 個 數字 相距 不遠 。 巴比倫人 也 用 類似 方法 得到 π （ 即 圓周 和 直徑比 ） 的 近似值 。 事實 上 ， 圓周 率π 和 五邊形 的 面積 的 近似值 都 根據 同 一 個 幾何 關係 而 來 。 巴比倫人 假定 任何 正 多邊形 （ 每 一 邊 邊 長 和 任意 兩 邊 張成 的 夾角 都 相等 的 圖形 ） 的 周長 是 此 多邊形 外接 圓 的 半徑 的 六 倍 （ 見 圖 3 -1 ） 。 對於 一 個 正 六邊形 而言 ， 這 關係 是 恰當 的 ， 因為 如 圖 3-1 所 示 ， 所有圖 中 三角形 的 邊長 都 相等 。 巴比倫人 得到 的 π= 31 ∕ 8 = 3.125 ； 還 挺 不 賴 的 ， 因為 精確值 為 3 .14159 … … 。 對 五邊形 而言 ， 「 周長 等於 半徑 的 六 倍 」 這 個 （ 並 不 正確 的 ） 假設 給出 的 近似值 （ 1.666 … … ） 就 是 蘇沙 泥板 上 出現 的 五邊形 面積 。 儘管 有 這些 數學 上 的 早期 發現 ， 以及 五角 星形 - 正 五邊形 和 黃金 比例 之間 的 密切 關係 ， 卻 沒有 絲毫 證據 顯示 ， 巴比倫人 知道 黃金 比例 。 即使 如此 ， 還是 有 些 書 的 作者 大肆 宣稱 ， 他們 在 巴比倫 及 亞述 的 紀念 石柱 和 淺 浮雕 上 發現 了 黃金 比例 。 例如 許乃德 （ Michael Schneider ） 在 《 建構 宇宙 的 新手 指南 》 （ A Beginner 掇 Guide to Constructing the Universe ） 這 本 有趣 的 書 中 指出 ， 在 某 個 繪有 幾 名 僧侶 引領 一 位 新 入教 者 進入 和 太陽神 「 見面 」 儀式 的 巴比倫 石柱碑 上 （ 見 圖 3-2 ） ， 含有 「 許多 黃金 比例 關係 」 。 同樣 的 ， 藝術 分析家 希蒂安 （ Helene Hedian ） 在 她 一 篇 刊載 於 一九七六年 的 《 費波納奇 季刊 》 （ Fibonacci Quarterly ） 的 文章 中 ， 也 描述 了 一 尊 西元 前 九世紀 的 亞述 有 翅 半神 浮雕 （ 現 收藏 於 紐約 大都會 博物館 ） 可以 完美 無缺 地 安放 在 一 個 長寬 具有 黃金 比例 的 長方形 上 。 希蒂安 也 指出 ， 它 的 翅膀 、 腿 、 喙 等 的 強烈 線條 都 遵守 黃金 比例 分割 。 希蒂安 對 出土 自 尼尼微 的 巴比倫 作品 《 死亡 中 的 母 獅子 》 （ Dying Lioness ， 可 追溯 至 西元 前 六百年 左右 ， 現 收藏 於 倫敦 大英 博物館 ） 也 做 了 同樣 的 斷言 。 黃金 比例 是否 真的 都 在 這些 美索不達米亞 的 古物 中 出現 ， 抑或 只是 誤會 一 場 ？ 要 回答 這 個 問題 ， 我們 一定 要 找出 某 種 標準 ， 可以 讓 我們 判斷 那些 關於 黃金 比例 出現 的 主張 是否 正確 。 顯然 ， 如果 有 任何 文獻 （ 不論 其 型式 為 何 ） 指出 確 有 藝術家 或 建築師 有意識 地 應用 此 一 比例 在 其 作品 中 ， 就 可以 確定 黃金 比例 確實 已經 出現 。 很 不幸 的 是 ， 已 出土 的 巴比倫 黏土板 及 淺 浮雕 上 ， 都 沒有 發現 這 類 文獻 。 當然 ， 一 位 熱衷 的 「 黃金 數字家 」 仍舊 可以 繼續 辯說 ， 「 缺乏 證據 並 不 代表 沒有 證據 」 ， 因為 量度 出來 的 尺寸 （ 如 長 、 寬 或 高 ） 本身 就 可以 提供 充份 的 證據 ， 證明 確實 用到 了 黃金 比例 。 但是 ， 我們 立即 會 看到 ， 這 種 只 憑 物件 中 尺寸 的 比例 去 找出 黃金 比例 的 把戲 ， 容易 誤導 人 產生 錯覺 。 讓 我 用 下面 這 個 簡單 的 例子 來 闡明 這 一 點 。 圖 3-3 顯示 的 是 我 放 在 廚房 櫃台 上 的 一 部 小 電視機 。 我 在 上面 標示出 了 某些 我 親自 量出 的 尺寸 。 你 注意到 電視機 後面 突出 部分 的 高度 和 寬度比 是 10.6/6.5 = 1.63 ， 正面 的 長度 和 螢光幕 高度比 則 是 14/8.75 = 1.6 ， 都 和 黃金 比例值 1 .618 … … 相當 吻合 。 這 是否 意謂 著 電視機 的 製造商 當初 在 設計 時 ， 即 決定 根據 黃金 比例 ？ 顯然 不 是 。 這 個 例子 全然 暴露出 在 建築 或 藝術品 中 ， 只 基於 物件 的 尺寸 就 聲稱 黃金 比例 存在 的 兩 大 缺陷 ： （一） 它們 牽涉到 玩弄 數字 的 把戲 ； （二） 它們 忽視 了 量度 的 不 準確度 。 任何 時候 你 想 量度 某 個 相對 複雜 的 結構 （ 如 石碑 上 的 圖形 ， 或者 一 台 電視機 ） 時 ， 總 有 一 整 套 長度 任 你 挑選 。 只要 你 能 恣意 得 不顧 量度 物件 的 某些 部分 ， 而且 有 這 個 耐心 以 不同 的 方法 來 玩弄 及 操縱 這些 數字 ， 總 能夠 找到 一些 有趣 的 數字 。 因此 ， 我 能 從 電視機 「 發現 」 某些 尺寸 以 得出 接近 黃金 比例 的 數值 來 。 第二 點 經常 為 黃金 比例迷 所 忽略 ， 即 任何 長度 量度 多少 總會 有些 誤差 或 不 精確性 。 有 一 件 很 重要 的 事情 ， 我們 必須 瞭解 ： 任何 長度 量度 中 的 不 精確性 在 計算 比例 時 都 會 導出 一 個 更 大 的 不 精確性 。 舉 個 例 來 說 ， 想像 有 兩 個 長度 ， 每 個 都 是 10 英寸 長 ， 而且 量度 的 誤差 範圍 皆 為 百分之一 。 也就是說 ， 每 個 長度 量度 的 結果 可能 落在 9.9 英寸 和 10.1 英寸 之間 。 換言之 ， 這 兩 個 量度 的 長度 比 因此 可以 壞到 9.9/10.1 = 0.98 ， 代表 2%