線索 」 ， 就 像 拼圖 一樣 ， 以 保證 過程 中 必定 遵守 這些 配對 規則 （ 圖 8-9 ） 。 潘洛斯 及 康威 更 進一步 證明 ， 鏢形 和 鳶形 可以 用 無窮 多 種 非 週期性 方式 鋪滿 整 個 平面 ， 每 一 種 模式 的 四周 都 是 另 一 種 模式 ， 因而 可以 清楚 辨認出來 。 在 任何 一 種 潘洛斯 設計 的 鏢形 - 鳶形 鋪設 方法 中 ， 最 令 人 驚奇 的 特性 是 ， 鳶形 的 數目 約為 鏢形 的 1.618 倍 ， 也就是說 ， 如果 我們 把 鳶形 的 數目 以 Nkites 表示 ， 鏢形 的 數目 以 Ndarts 表式 ， 那麼 當 面積 愈 大 時 ， Nkites / Ndarts 的 比值 愈 接近 φ 。 另 一 種 能夠 以 非 週期 方式 鋪滿 平面 的 潘洛斯 地磚 組合 是 兩 種 鑽石形 （ 即 菱形 ） ， 一 個 是 胖 的 （ 鈍角 ） ， 另 一 個 是 瘦 的 （ 銳角 ） ， 見 圖 8 - 10 。 和 鳶形 與 鏢形 組合 一樣 ， 這些 菱形 全 都 由 兩 個 黃金 三角形 及 黃金磬 折形 組成 （ 圖 8 - 11 ） ， 而且 若要 把 平面 鋪滿 （ 圖 8 - 12 ） ， 一定 要 遵守 特別 的 配對 規則 才 行 （ 圖 8-13 ） ； 我們 在 菱形 特定 的 邊 與 角 塗上 花紋 ， 以 呈現 配對 規則 。 再者 ， 當 面積 很 大 時 ， 胖菱形 的 數目 為 瘦菱形 的 1.618 倍 ， Nfat / Nthin =φ 。 胖菱形 、 瘦菱形 與 鏢形 、 鳶形 之間 有 密切 的 關係 ， 而 透過 黃金 比例 ， 它們 又 與 五邊形 - 五角星形 系統 相 關連 。 回想 一下 ， 畢氏 學派 對 黃金 比例 的 興趣 始於 圖 8-14 那 個 無窮盡 、 一 個 套 一 個 的 五邊形 及 五角星形 ， 而 四 種 潘洛斯 地磚 也 都 隱藏 在 這 個 圖 中 。 點 B 及 點 D 標示出 鳶形 DCBA 的 長 對角線 ， 而 點 A 及 點 C 標示出 鏢形 EABC 的 「 兩翼 」 。 同樣 的 ， 你 也 可以 找到 胖 菱形 AECD 及 瘦菱形 ABCF （ 不同 比例 ） 。 潘洛斯 的 地磚 研究 已經 延伸到 三維 空間 了 。 就 如 二維 地磚 可以 用來 鋪滿 平面 ， 三維 的 「 積木 」 也 能 用來 填滿 空間 。 一九七六年 ， 數學家 安曼 （ Robert Ammann ） 發現 ， 把 立方體 略為 「 壓扁 」 或 「 拉長 」 所 形成 的 兩 種 「 菱面體 」 （ 圖 8- 15 ） ， 可以 把 空間 完全 填滿 。 安曼 更 進一步 證明 ， 如果 給定 一 套 斜面 的 配對 規則 ， 便 可 看出 填塞 的 模式 為 非 週期性 ， 而且 具有 二十 面體 的 對稱性 ； 這 等於 是 三維 空間 的 五 重 對稱性 ， 因為 每 一 個 頂點 有 五 條 對稱 的 斜 邊 相交 。 理所當然 ， 這 兩 個 菱面體 都 是 「 黃金 菱面體 」 ， 它們 的 斜面 和 潘洛斯 地磚 的 菱形 其實 是 一模一樣 的 （ 圖 8 - 10 ） 。 如果 不 是 一九八四年 出現 一 項 極為 驚人 的 發現 ， 潘洛斯 的 鋪磚法 可能 只 是 個 數學 遊戲 而 乏 人聞問 。 以色列 的 材料 工程師 雪特曼 （ Dany Schectman ） 和 同事 發現 ， 一 種 鋁鎂 合金 的 晶體 同時 顯現出 長 程序 及 五重 對稱性 ； 對 結晶學家 來 說 ， 他們 震驚 的 程度 有如 動物學家 發現 一 群 五 條 腿 的 牛 。 多 年 來 ， 固態 物理學家 及 結晶學家 深信 ， 固體 就 只 有 兩 種 基本 型態 ， 要不是 高度 有 序 及 完全 週期性 排列 的 晶體 ， 就 是 非 晶態 （ amorphous ） C 。 在 有 序 的 晶體 中 ， 如 普通 的 食鹽 ， 原子 或 原子群 排列成 精確 且 不斷 重現 的 圖式 ， 稱為 「 單位 晶胞 」 （ unit cell ） ， 形成 週期性 的 結構 。 舉例 來 說 ， 食鹽 的 單位 晶胞 是 立方體 ， 每 一 個 氯原子 被 鈉 原子 包圍 ， 反之亦然 （ 圖 8 - 16 ） 。 就 和 地磚 排列 完美 的 地板 一樣 ， 每 一 個 單位 晶胞 的 位置 及 方向 也 決定 了 獨一無二 的 整體 結晶 樣式 ； 至於 非 晶態 ， 例如 玻璃 ， 其 原子 排列 方式 完全 沒有 秩序 可 言 。 當 我們 鋪磚 時 ， 只有 像 是 正方形 （ 四重 對稱性 ） 、 三角形 （ 三重 對稱性 ） 及 六邊形 （ 六重 對稱性 ） 的 地磚 ， 才 能 以 週期性 的 方式 把 整 個 平面 鋪滿 ， 而 在 晶體 之中 ， 一般 認為 同樣 也 只 存在 兩 重 、 三重 、 四重 及 六重 對稱性 ， 因而 雪特曼 發現 的 晶體 令 人 大驚失色 ， 它們 似乎 既是 高度 有 序 （ 如同 具有 週期性 的 晶體 ） ， 也 呈現 五 重 對稱性 （ 即 二十 面體 ） 。 如果 沒有 這 項 發現 ， 很少 人 會 懷疑 物質 還 能 以 其他 型態 存在 ， 即 同時 擁有 結晶 及 非 晶態 物質 的 重要 特性 。 這 種 新型 結晶 目前 稱為 「 準結晶 」 （ quasi-crystal ） ， 既 非 玻璃 那樣 的 非 晶態 ， 也 沒有 像 食鹽 那樣 具有 精確 的 週期性 。 換句話說 ， 這些 不尋常 的 物質 似乎 恰好 擁有 潘洛斯 鋪磚法 所 需 的 性質 ！ 可是 了 解 它 具有 這樣 的 性質 ， 對 物理學家 來 說 並 無 大用 ， 因為 他們 更 想 了 解準 結晶 為什麼 會 形成 以及 如何 形成 ； 潘洛斯 及 安曼 的 配對 規則 僅 是 些 巧妙 的 數學 演練 ， 並 不能 解釋 真實 原子 或 原子團 的 行為 ， 而且 若是 真 有 兩 種 原子團 組成 類似 安曼 所 說 的 兩 種 菱面體 ， 還 恰好 以 所 需 的 比例 形成 正確 的 密度 ， 物理學家 認為 ， 其中 的 能量 關係 根本 很 難 推導出來 。 一九九一年 出現 了 一 條 線索 ， 很 可能 指向 上述 問題 的 答案 。 那時 莫斯科蘭道 理論 物理 研究院 （ Landau Institute of Theoretical Physics ） 的 數學家 伯可夫 （ Sergei E .
 
Burkov ） 發現 ， 不必 用到 兩 種 形狀 的 地磚 ， 也 可以 在 平面 上 以 類似 週期性 的 方法 鋪磚 。 伯可夫 證明 ， 這 種 「 準 週期 」 （ quasi-periodicity ） 甚至 可以 只 用 單一 種 十邊形 即可 達成 ， 只要 能 讓 這些 地磚 彼此 重疊 就 行 了 ； 以往 鋪磚 時 不 允許 地磚 彼此 重疊 。 五 年 後 ， 德國 格賴夫斯瓦爾德 大學 （ Ernst Moritz Arndt University in Greifswald ） 的 德國 數學家 古美爾特 （ Petra Gummelt ） 以 嚴謹 的 方法 證明 ， 只 需 用 一 種 繪有 花紋 的 十邊形 ， 再 加上 一 種 特定 的 重疊 規則 ， 就 可以 達成 潘洛斯 鋪磚法 ； 兩 個 十邊形 只 能 以 暗色 部分 彼此 重疊 （ 圖 8 - 17 ） 。 十邊形 也 和 黃金 比例 密切 相關 ，邊 長 為 一 單位