的 問題 。 」 你 最最 最 不 想 做 的 事 就 是 讓 學生 覺得 自己 很 笨 而 你 很 聰明 。 我 在 上 「 電 與 磁 」 時 有 一 個 時刻 對 我 而言 非常 寶貴 。 學期 中 ， 我 一直 一點 一點 地 把 馬克士威 方程式 （ 那 幾 個 異常 優雅 地 描述出 電 與 磁 之間 的 關係 的 式子 ） ， 偷偷地 介紹給 學生 ， 讓 他們 知道 電 與 磁 其實 是 同 一 個 現象 — — 電磁 — — 的 不同 面向 。 這 幾 個 方程式 的 互動 方式 有 一 種 令 人 難以置信 的 純粹 的 美 。 你 無法 將 它們 分開 ； 它們 一起 形成 一 個 統一 的 理論 。 所以 最後 我 把 這 四 個 美妙 的 方程式 投影 在 演講廳 各 面 牆 的 不同 螢幕 上 。 「 看 著 它們 ， 」 我 說 ， 「 將 它們 吸進 你 的 身體 裡 。 讓 它們 穿過 你 的 頭腦 。 你 一生 只 會 有 一 次 機會 第一 次 看到 全部 四 個 馬克士威 方程式 ， 並且 能 欣賞 它們 — — 完備 、 美麗 而且 彼此 對話 。 這 之後 將 不會 再 發生 。 你 不會 再 是 今天 的 你 。 你 已經 不再 是 處子 之身 了 。 」 為了 記念 學生 們 一生 中 的 這 個 重要 時刻 ， 慶祝 他們 攀登上 智識 的 高峰 ， 我 會 帶 六百 朵 水仙花 到 課堂 上 送 學生 ， 每 個 人 一 朵 。 學生 們 多 年 後 會 寫信 給 我 ， 那時 他們 早 就 忘 了 馬克士威 方程式 的 細節 了 ， 但 他們 會 跟 我 說 他們 記得 水仙花 的 日子 ， 那 個 我 用 鮮花 來 標誌 他們 用 新 方式 看待 事情 的 日子 。 對 我 而言 ， 這 是 最 高 境界 的 教學 。 在 我 看來 ， 學生 們 能 記得 他們 所 看過 的 事物 的 美 ， 比起 他們 能否 把 你 寫 在 黑板 上 的 式子 重新 寫出來 重要 得多 。 重點 不 是 你 「 cover 」 （ 涵蓋 ） 了 些 什麼 ， 而是 你 「 uncover 」 （ 揭開 ） 了 什麼 呀 ！ 我 的 目標 是 讓 他們 愛上 物理 ， 並且 讓 他們 用 不同 的 方式 看待 這 個 世界 ， 而 這樣 的 觀點 可以 維持 一生 之 久 ！ 你 拓展 、 擴大 他們 的 地平線 ， 讓 他們 能 問 一些 以前 從 沒 問 過 的 問題 。 重點 是 打開 物理 世界 之 鎖 ， 讓 它 與 學生 們 在 這 個 世界 裡 的 真正 興趣 有所 關連 。 這 就 是 為什麼 我 總是 嘗試 讓 我 的 學生 看 森林 ， 而 不 是 帶 著 他們 在 一 棵 樹 上 忙著 爬上 爬下 。 這 也 是 我 嘗試 在 這 本 書 中 為 你 做 的 事 。 希望 你 喜歡 這 趟 旅行 ！ 〈 附錄 1 〉 哺乳類 動物 的 大腿骨 很 合理 的 一 項 假設 是 ： 哺乳類 動物 大腿骨 的 質量 與 它 的 體積 成 正比 。 且 讓 我們 找 一 隻 小 狗 ， 拿 牠 與 一 隻 身材 是 牠 四 倍 大 的 成 犬 比較 。 我 假設 那 隻 較 大 的 狗 在 所有 線性 維度 上 都 是 那 隻 小 狗 的 四 倍 大 — — 牠 的 高度 、 長度 、 腿 的 厚度 、 頭 的 寬度 等 ， 每 一 方面 。 如果 事情 是 這樣 ， 那麼 那 隻 大 狗 的 體積 （ 以及 質量 ） 就 大約 會 是 那 隻 小 狗 的 六十四 倍 。 要 看出 這 點 的 一 個 方法 是 ， 考慮 一 個 邊長 分別 為 a 、 b 、 c 的 立方體 。 這 個 立方體 的 體積 是 a×b×c 。 當 你 把 邊長 都 放大成 四 倍 時 ， 體積 就 變成 了 4a×4 b×4 c ， 也 就 是 64 abc 。 如果 我們 用 比較 數學 一點 的 方式 來 表示 它 ， 那麼 我們 可以 說 ， 哺乳類 動物 的 體積 （ 以及 牠 的 質量 ） 正 比於 牠 的 長度 的 三 次方 。 如果 那 隻 比較 大 的 狗 是 那 隻 小 狗 的 四 倍 大 ， 那 牠 的 體積 就 大約 是 後者 的 四 的 立方 （43） 倍 ， 也 就 是 六十四 倍 。 所以 如果 我們 稱 大腿骨 的 長度 l ， 那麼 比較 一些 不同 大小 的 哺乳類 ， 它們 的 質量 應該 大約 正 比 於 l 的 三 次方 （ l3 ） 。 好 吧 ， 那 是 質量 。 現在 ， 支撐 哺乳類 動物 全身 重量 的 大腿骨 的 強度 正 比於 它 的 粗細 ， 不 是 嗎 ？ 愈 粗 的 骨頭 可以 支撐 更多 的 重量 — — 這 是 直覺 。 如果 我們 把 這 個 想法 「 翻譯 」 成 數學 ， 那麼 大腿骨 的 強度 應該 會 正比 於 骨頭 的 截面積 。 這 截 面積 大略 是 圓形 的 ， 而 我們 知道 圓 的 面積 是 πr² 。 因此 ， 面積 正 比 於 d2 ， 其中 d 是 圓 的 直徑 。 接下來 ， 讓 我們 稱 大腿骨 的 粗細 為 d （ 表示 diameter ， 直徑 ） 。 那麼 ， 根據 伽利略 的 想法 ， 哺乳類 動物 的 質量 會 正比 於 d2 （ 這樣一來 ， 骨頭 才 能 支撐 那 隻 哺乳類 動物 的 質量 ） ， 但是 它 也 必須 正比 於 l3 （ 這 向來 就 是 如此 ， 和 伽利略 的 想法 沒有 任何 關係 ） 。 因此 ， 如果 伽利略 的 想法 正確 ， 那麼 d2 與 l3 就 必須 成 正比 ， 這 相當於 說 ：d 正比 於 l3/2 。 如果 我 比較 兩 隻 哺乳類 動物 ， 其中 一 隻 是 另 一 隻 的 五 倍 大 （ 因此 牠 的 大腿骨 的 長度 大約 是 較 小 的 哺乳類 動物 的 五 倍 ） ， 那麼 我 可以 預期 牠 大腿骨 的 粗細 d 大約 是 那 隻 比較 小 的 動物 腿骨 粗細 的 53/2 = 11 。 在 課堂 上 我 證實 了 一 隻 大象 大腿骨 的 長度 大約 是 老鼠 大腿骨 長度 的 一百 倍 ； 我們 因此 可以 預期 ， 如果 伽利略 的 想法 正確 的話 ， 那麼 大象 大腿骨 的 粗細 d 就 大約 是 老鼠 大腿骨 的 1003 / 2 = 1,000 倍 。 因此 ， 到 了 某 個 階段 ， 對 那些 非常 重 的 哺乳類 來 說 ， 骨頭 的 粗細 會 和 牠們 的 長度 一樣 ， 甚至 更 大 ； 這 將 製造出 一些 非常 不切實際 的 哺乳類 ， 而 那 就 是 哺乳類 動物 的 大小 會 有 個 上限 的 原因 。 〈 附錄 2 〉 牛頓 定律 的 運用 牛頓 的 萬有引力 可以 寫成 ： [1] 在 這裡 ， Fgrav 是 一 個 質量 為 m1 的 物體 與 另 一 個 質量 為 m2 的