── 那麼 ， 只要 用 一 個 數 就 能 確定 一 個 位置 。 既然 在 確定 一 條 線 上 的 一 個 點 只 需要 用 一 個 數字 ， 所以 ， 這 條 線 或 這 條 線 上 的 任意 一 段 就 是 「 一 維 的 」 ── 「 用 一 個 數字 就 能 完全 加以 量度 的 」 。 再 假定 有 一 大 張 紙 ， 現在 打算 確定 這 張 紙 上 某 個 點 X 的 位置 。 你 也 從 零點 開始 測量 ， 發現 它 在 離 零點5 公分 遠 的 地方 。 但是 ， 它 是 在 哪 個 方向 上 呢 ？ 可以 把 它 分成 兩 個 方向 ： 向 北 3 公分 ， 向 東 4 公分 。 如果 規定 朝 北 為 正 ， 朝 南 為 負 ， 朝 東 為 正 ， 朝 西 為 負 ， 那麼 ， 你 就 能 用 兩 個 數字 來 確定 這 個 點 了 ：＋3 和 ＋4 。 或許 ， 你 可以 這樣 說 ： 這 個 點 離開 零點 有 5 公分 遠 ， 並且 與 東西 方向 成 36.87 ° 的 夾角 。 這時 還是 需要 兩 個 數字 ： 5 和 36.87 ° 。 無論 你 怎麼 做 ， 總得 有 兩 個 數字 ， 才 能 在 平面 上 確定 一 個 點 。 因此 ， 平面 或 平面 的 任意 一 部分 都 是 二維 的 。 現在 ， 假設 有 一 個 像 房間 內部 那樣 的 空間 。 一 個 固定點 X 可以 這樣 確定 ： 它 在 某 個 零點 以北 5 公分 ， 以東 2 公分 ， 以上 15 公分 。 你 也 可以 用 一 個 長度 數字 和 兩 個 角度 數字 來 確定 這 個 位置 。 不過 ， 無論 用 什麼 方法 ， 都 需要 有 3 個 的 故事 發現 第二 個 愛因斯坦 * 100 * 【 第二 章 】 數字 ， 才 能 確定 房間 裏 （ 或者 是 宇宙 裏 ） 一 個 點 的 位置 。 因此 ， 房間 也好 ， 宇宙 也好 ， 都 是 三維 的 。 假設 有 這樣 一 種 空間 ， 要 想 確定 其中 的 某 個 確定 的 點 ， 必須 用 4 個 （ 或是 5 個 ， 或是 18 個 ） 數字 才 行 ， 那麼 ， 它 就 是 一 個 四維 的 （ 或 五維 的 ， 或 十八 維 的 ） 空間 。 在 我們 這 個 普通 的 宇宙 裏 ， 並 不一定 存在 這樣 的 空間 ， 但是 ， 數學家 卻 能夠 想像出 這 種 「 超 空間 」 ， 並且 還 能 推斷出 這 種 空間 裏 的 數學 圖形 會 具有 什麼 性質 。 他們 甚至 還 研究出 在 任意 維 空間 中 的 數學 圖形 所 具有 的 性質 ， 這 就 是 「 n 維 幾何學 」 。 大家 大概 都 知道 莫比烏斯 帶 。 你 可以 把 一 條 紙帶 的 一 段 扭 180 ° ， 再 和 另 一 端 粘 起來 ， 得到 一 條 莫比烏斯帶 的 模型 。 通常 人們 把 一 張 紙條 的 兩 端 直接 粘接 起來 ， 紙 的 一 面 成為 帶 的 內側 ， 而 紙 的 另 一 面 則 成為 帶 的 外側 。 如果 一 隻 蜘蛛 想 沿著 紙帶 從 外側 爬到 內側 ， 那麼 它 非得 設法 跨越帶 的 邊緣 不可 。 而 莫比烏斯 帶 與 一般 的 紙帶 很 是 不同 。 它 不再 具有 兩 面 ， 而 只有 單面 。 設想 一 隻 蜘蛛 開始 沿著 莫比烏斯 帶爬 ， 那麼 ， 它 能夠 爬遍 整 條 帶子 而 無須 跨越帶 的 邊緣 。 要 證實 這 一 點 ， 只要 拿 一 枝 鉛筆 ， 筆 不 離 紙 連續 地 畫線 。 那麼 ， 【 科普 ｅ 世代 】 10 __UNDEF__ Story of Light 千奇百怪 * 101 * 你 將 會 經過 整 條 的 帶子 ， 並 返回 你 原先 的 起點 。 如果 你 試 著 沿 紙帶 的 中線 剪開 ， 你 會 得到 不 是 兩 條 紙帶 而是 一 條 更加 扭曲 的 紙帶 ！ 再 沿 新 紙帶 的 中線 剪開 ， 這下 你 會 陷入 什麼 樣 的 境地 ？ 如此 做下去 你 將 會 越發 感到 不可思議 了 。 有 一 種 設想 ： 如果 紙帶 的 寬度 可 變 ， 那麼 我們 讓 一 條 周長 一定 的 莫比烏斯 帶 不斷 加寬 ， 會 有 什麼 結果 呢 ？ 再者 ， 如果 不 是 一 條 紙帶 ， 而是 一 條 柔軟 的 三棱柱 或 其他 正 多邊形 棱柱 ， 我們 也 將 其 扭過 一定 角度 再 將 兩 頭 結合 起來 ， 那麼 棱柱 的 各 個 側面 將 會 連成 一 個 面 ！ 在 莫比烏斯帶 和 克萊 因瓶 之間 有 著 密切 的 聯繫 。 如果 把 克萊 因瓶 沿著 它 縱長 的 方向 切成 兩 半 ， 那麼 ， 它 將 形成 兩 條 莫比烏斯帶 。 反過來 也 一樣 ， 如果 我們 把 兩 條 莫比烏斯 帶沿 著 它們 惟一 的 邊 黏合 起來 ， 你 就 得到 了 一 個 克萊因瓶 。 當然 不要 忘 了 ， 我們 必須 在 四維 空間 中 才 能 真正 有 可能 完成 這 個 黏合 ， 否則 的話 就 不得不 把 紙 撕破 一點 。 現在 我們 可以 更 明白 的 來 觀察 克萊因瓶 。 有 一點 似乎 令 人 困惑 ── 克萊因瓶 的 瓶頸 和 瓶身 是 相交 的 ， 換句話說 ， 瓶頸 上 的 某些 點 和 瓶壁 上 的 某些 點 佔據 了 三維 空間 中 的 同 一 個 位置 。 但是 事實 卻 非 如此 。 事實 是 ： 克萊因瓶 是 一 個 在 四維 空間 中 才 可能 真正 表現出來 的 曲面 ， 如果 我們 一 的 故事 發現 第二 個 愛因斯坦 * 102 * 【 第二 章 】 定 要 把 它 表現 在 我們 生活 的 三維 空間 中 ， 我們 只好 將 就 點 ， 只好 把 它 表現 得 似乎 是 自己 和 自己 相交 一樣 。 事實 上 ， 克萊因瓶 的 瓶頸 是 穿過 了 第四 維 空間 再 和 瓶 底圈 連起來 的 ， 並 不 穿過 瓶壁 。 這 是 怎麼 回 事 呢 ？ 用 扭節 來 打 比方 。 如果 我們 把 它 看做 平面 上 的 曲線 的話 ， 那麼 它 似乎 自身 相交 ， 再 一 看 似乎 又 斷成 了 三 截 。 但 其實 很 容易 明白 ， 這 個 圖形 其實 是 三維 空間 中 的 曲線 ， 它 並 不 和 自己 相交 ， 而且 是 連續不斷 的 一 條 曲線 。 在 平面 上 一 條 曲線 自然 做 不 到 這樣 ， 但是 如果 有 第三 維 的話 ， 它 就 可以 穿過 第三 維 來 避開 和 自己 相交 。 只是 因為 我們 要 把 它 畫 在 二維 平面 上 時 ， 只好 將 就 一點 ， 把 它 畫成 相交 或者 斷裂 了 的 樣子 。 我們 可以 說 這 條 曲線 在 平面 上 畫 得 出來 ， 因為 看到 這 個 圖 的 人 很 容易 以 此