可能 是 標記 系統 的 發明 。 我們 最 常 使用 的 ＝7 就 是 一 個 例子 。 許多 早期 人類 擁有 這樣 的 標記 系統 ， 和 我們 的 標記 方式 一樣 ， 通常 以 五 為 單位 ， 這 可能 是 因為 人類 的 手指 與 腳趾 都 是 五 隻 為 一 組 的 關係 。 標記 系統 也 有 以 二 為 單位 的 ， 或許 他們 是 以 雙眼 、 雙手 或 雙足 作為 訂立 計算 單元 的 基準 。 有 一 個 加州 印第安 部落 的 標記 單位 是 四 ， 那 是 因為 他們 以 五 隻 手指 的 間隔 數目 而 非 手指數 為 參考 基準 的 緣故 。 　　 日本人 直到 西元 十一世紀 時 才 採用 一 套 仿 自 中國 的 標記 符號 。 其 形式 如 下 ： 二 、 數 　 字 　　 標記 系統 的 重要性 是 在 它 建立 了 數字 與 數量 之間 一 對 一 的 對應 關係 ， 換言之 ， 六 件 貨品 或 六 個 人 可以 用 六 的 標記 來 代表 ， 因而 得以 與 Kramer , p.13 . Also see  From Numbers to Numerals and from Numerals to Computation by D .
 
E . Smith and J .
 
Ginsburg , in Newman , World of Mathematics , vol. 1, pp .
 
__UNDEF__ 442 464. Newman , pp .
 
__UNDEF__ 442464 .
 
五 件 貨物 以及 八 個 人 相 比較 。 一旦 人們 有 了 標記 系統 ， 加法 、 減法 與 數字 符號 便 隨之 發展出來 。 早期 的 算術 與 幾何 要 處理 的 是 非常 實用 的 問題 ， 譬如 計算 家畜 的 數量 、 土地 的 大小 ， 或是 距離 下 次 播種 還 有 多久 等等 。 古 埃及人 因為 需要 在 一 年 一 度 的 尼羅河 泛濫 後 重新 計算 釐定 土地 標界 ， 就 創造 了 許多 的 數量詞 。  他們 並 將 數量詞 與 象形 相 結合 ， 例如 ：　　 一 是 一 條 直線 　　 十 是 一 彎弓 　　 一百 是 一 個 繩圈 　　 一千 是 一 朵 忘憂 花 　　 一萬 是 一 隻 手指 指向 天空 　　 十萬 是 一 隻 蝌蚪 　　 一百萬 是 一 個 男子 伸開 他 的 雙臂 （ 或許 是 對 如此 大 的 數目 感到 吃驚 ！ ） 　　 以下 是 古 埃及人 書寫 三萬兩千五百三十六 的 方法 ：　　 某些 地區 的 人類 從 他們 的 文字 或 字母 系統 中 借用 符號 來 創造 數字 。 我們 都 很 熟悉 羅馬人 用 I 代表 一 、 V 代表 五 、 X 代表 十，L 代表 五十 、 C 代表 一百 和 M 代表 一千 。 希臘人 也 利用 部分 字母 來 表示 數量 。 今  Kramer , Main Stream of Mathematics , p .
 
__UNDEF__ 13 .
 
日 通用 的 「 阿拉伯 數字 」 乃 因 採 自 阿拉伯人 的 數字 符號 而 得名 ， 雖然 印度人 也 對 這 套 符號 的 發明 有所 貢獻 。 　　 下面 這 張 表 列舉 了 一些 著名 的 數字 符號 系統 。 你 也許 注意到 零 這 個 數字 首見 於 梵語 ， 它 是 在 亞利安人 入侵 時 傳入 印度 ， 並 為 印度人 廣泛 使用 。 三 、 最 長 的 一 步 　　 數字 符號 系統 的 重要性 無庸 贅言 ， 但 擁有 一 套 便捷 的 數字 符號 ， 並 不 是 科學 與 數學 語言 的 發展 過程 中 最 重要 的 一 步 。 真正 影響 深遠 的 是 認識到 數字 的 抽象性 ， 將 數字 與 其 指涉物 分離開來 — — 只 看 「 二 」 與 「 三 」 ， 而 非 兩 條 魚 或 兩 塊 石頭 ， 三 隻 野牛 或 三 根矛 。 　　 克蕾默 在 她 名為 《 數學 的 主流 》 （ The Main Stream of Mathematics ） 的 著作 中 說 ：　　 不少 哲學家 相信 原始 部落 必定 要 花上 一 段 很 長 的 時間 才 能 學到 一 對 雙胞胎 、 一 雙 眼睛 和 兩 天 同樣 是 屬於 「 二 」 這 個 概念 。 通常 原始 部落 會 創造 一 個 代表 「 二 」 的 字 來 稱呼 兩 個 人 ， 另 一 個 「 二 」 用來 稱呼 兩 隻 動物 ， 並用 第三 個 「 二 」 來 指稱 兩 個 物品 。 英屬 哥倫比亞 某 個 部落 使用 的 錫辛語 （ Thimsian language ） 便 證明 了 這 一 點 … … 他們 一共 有 七 個 不同 的 「 二 」 和 相同 數目 的 「 三 」 。 一 組 數字 用 在 動物 及 扁平 物體 上 ， 一 組 在 計算 時間 和 圓形 物品 時 使用 ， 一 組 用來 算人 ， 一 組 用於 樹木 及 長型物 ， 一 組 專用 於 計算 獨木舟 ， 一 組 用來 測量 ， 另 一 組 則 用以 計算 無法 歸入 上述 六 個 類目 的 事物 。 Kramer , p.13 .
 
　　 懷海德 （ Alfred North Whitehead ） 在 討論 同 一 主題 時 是 這麼 說 的 ：　　 讓 我們 運用 想像力 回到 數千 年 前 ， 並 盡力 揣摩 當時 人類 （ 包括 當時 社會 最 偉大 的 智者 ） 思想 的 單純性 。 對 我們 而言 再 簡單 不過 的 抽象 概念 ， 對 他們 而言 卻 是 最 晦澀 難懂 的 事物 之 一 。 比方說 數字 ， 我們 認為 「 五 」 可以 應用 在 任何 事物 上 ， 只要 它 具備 「 五 」 的 屬性 — — 例如 五 條 魚 、 五 個 孩子 、 五 個 蘋果 、 五 天 。 因此 ， 在 思考 「 五 」 和 「 三 」 這 兩 個 數字 的 關係 時 ， 我們 想到 的 是 兩 組 事物 ， 一 組 有 五 個 而 另 一 組 有 三 個 成員 ， 至於 其 代表 何 種 實體 或 哪 一 類 的 實體 已經 完全 被 我們 抽離 了 。 我們 對 「 五 」 和 「 三 」 這 兩 組 數目 的 思考 ， 完全 獨立 於 其 所 代表 之 成員 的 種類 。 人類 必定 花費 了 一 段 長遠 歲月 才 獲致 此 種 抽象 思維 的 能力 。 　　 人類 的確 走過 了 漫漫 長 路 才 到達 抽象 思考 的 階段 。 現存 最早 的 數學 教材 是 所謂 的 賴因德 古本 （ Rhind papyrus ） ， 據說 是 由 埃及 一 位 名叫 阿梅斯 （ Adhmes ） 的 祭師 於 西元 前 十七世紀 時 寫成 。 這 本 書 事實 上 只 是 一 本 算術 課本 ， 它 半數 以上 的 內容 都 在 討論 分數 換算 的 問題 。 當 我們 對 古代 數學 及 數學家 的 了解 愈來愈 多 時 ， 也 就 更加 對 巴比倫 和 蘇美 學者 在 天文 以及 幾何 數學 上 的 長足進步 感到 訝異 。 他們 的 發現 被 認為 對 埃及 、 希臘 與 後來 的 印度 及 西班牙 穆斯林 數學家 有 相當 的 幫助 。 舉例 來 說 ， 第一 位 發現 零 的 概念 對 數學 之 重要性 的 學者 據信 為 巴比倫 的 納伯里恩 （ Naburianu ） ， 比 印度人 要 早上 了 一千 年 。 埃及人 是 偉大 的 實用 幾何學家 ， 長於 觀測 ， 但 對 科學