皮耶 的 後驗 信念 ， 讓 他 的 信仰 變 得 太過 薄弱 ， 無法 提升 什 一 稅 的 繳納 ： μs < t/φ 。 而 如果 特定 期間 的 審判 在 結果 不 成功 時 會 削弱 後驗 信念 ， 成功 時 則 會 提升 後驗 信念 （ s = 離開 ） ， 那麼 在 s = 未 離開 的 情況 下 ， 讓 皮耶 的 後驗 信念 降至 零 的 最佳 的 長度 是 μ0 < t/φ 的 情況 。 第二 ， 注意 無論 皮耶 的 後驗 信念 是 剛好 等於 t/φ 或 更 高 ， 他 的 行為 都 會 維持 一致 。 如果 特定 長度 的 審判 在 成功 時 會 產生 較 高 的 後驗 期望 ， 但 成功 的 機率 卻 不 高 ， 在 μ0 < t/φ 時 最佳 的 審判 長度 就 是 讓 皮耶 的 後驗 信念 剛好 達到 t/φ ， 而 結果 是 s = 離開 。 這 兩 點 意味 著 法院 最佳 的 審判 期間 ， 是 能夠 讓 皮耶 的 後驗 預期 呈現 二 項 分布 ， 製造出 一定 μs = 0 的 機率 ， 其他 時候 則 是 μs = t/φ 。 若 要求出 這樣 ， 只要 想想 貝氏 定理 規定 皮耶 的 後驗 信念 期望值 和 先驗 相等 。 τ （ μs ） 表示 μs = t/φ 的 可能性 若要 解出 等式 求 τ值 ， 法院 最 理想 的 審判 長度 是 能 讓 μs = 0 ， 機率 是 1 – μ0 φ/t ， 和 μs = t/φ ， 機率 是 μ0  φ/t 。 接下來 ， 要 計算 法院 的 最佳 審判 長度 就 很 容易 了 ， 只要 用 貝氏 法則 ， 而 事實 上 τ （ μs ） = σ （ s|ω ） μ 0 __UNDEF__ （ ω ） + σ （ s|ω′ ） μ0 __UNDEF__ （ ω′ ） 造成 __UNDEF__ 求出 σ 得到 的 式子 是 __UNDEF__ 有 了 等式 以後 ， 我們 可以 用 上方 的 μs 、 τ 和 μ0 的 值 來 求出 法院 最佳 的 σ解 。 這麼 做 會 得到 二進位 信號 （ binary signal ） 。 __UNDEF__ 當 μ0 ≥ t/φ ， 法庭 不會 進行 審判 ， 而 教會 從 皮耶那 收到 的 什 一 稅 等於 ty 。 當 μ0 < t/φ ， 法庭 會 進行 審判 ， 而 教會 預期 從 皮耶處 收到 的 什一 稅收 等於 μ 0φ （ y – y ） + ty 。 這 會 比 不 進行 審判 時 收到 的 ty 還要 多 。 雖然 皮耶 是 理性 的 貝氏 主義 者 ， 也 知道 法庭 操縱 審判 的 長度 來 操縱 他 的 信仰 ， 法庭 還是 能 用 害蟲 審判 來 改善 皮耶 的 交稅 狀況 。 Tour Stop 8  打架 能 解決 一切 史巴克 希望 我 好好 解釋 ， 為什麼 決鬥 審判 的 暴力 競標 和 一般 的 競標 拍賣 相比 ， 對 收取 競標 價碼 的 人 比較 沒 那麼 慷慨 ， 而且 是 個 比較 好 （ 成本 較 低 ） 的 方法 ， 只要 比較 不 珍視 的 一 方 對 爭議 土地 價值 的 估量 超過 較 珍視 的 一 方 的 一半 ， 就 能 有效 地 分配 爭議 的 土地 。 史巴克 ， 為了 讓 我 的 說法 對 你 來說 夠 有 說服力 ， 我 刻意 使用 了 很多 非 必要 的 數學 。 想像 有 兩 位 風險 中立 的 當事人 ， 佃農 T （ 要 記得 ， 這 是 盎格魯 日耳曼 土地 糾紛 中 的 被告 ） 和 原告 D （ 這 類 糾紛 的 原告 ） ， 正在 爭奪 某 塊 地 的 所有權 。 T 對 爭議 土地 估量 的 價值 是 vT ， D 則 是 vD > vT > 0 ， 雙方 都 知道 自己 和 對方 的 估價 。 還 記得 在 一般 的 競標 裡 ， 只有 獲勝 的 當事人 才 要 付下 標的 錢 給 收費者 ， 金額 的 數字 會 等於 較 不 珍視 的 那 方 所 估量 的 價格 ： vT 。 而 在 決鬥 審判 的 暴力 競標 裡 ， 當事人 雙方 都 必須 支付 出價 的 金額 。 T 和 D 對 爭議 的 土地 下標 ， 分別 花 了 t > 0 和 d > 0 ， 雇用 鬥士 代表 他們 在 競技場 中 決鬥 。 雙方 同時 支出 這 筆 花費 ， 並且 各自 獨立 ， 而 雇用 鬥士 的 花費 和 土地 的 價值 單位 相同 。 如果 想 求出 t 值 和 d值 ， 我們 可以 用 經濟學家 戈登 ‧ 圖洛克 （ Gordon Tullock ） 的 競賽 成功 函數 。 根據 自己 和 對方 在 鬥士 上 的 支出 ， 來 表示 雙方 在 暴力 競標 中 獲勝 的 個別 機率 5 。 D ’s 在 爭奪 土地 的 決鬥 審判 中 ， 獲勝 的 機率 如 下 ： __UNDEF__ （ 1.1 ） T ’s 的 獲勝 機率 則 是 ： （ 1.2 ） α > 0 是 值量 參數 （ 決定性 參數 ） 。 而 鬥士 支出 的 return 則 是 常數 α = 1 。 T ’s 在 決鬥 審判 中 獲利 的 期望值 是 ： （ 2.1 ） D 的 最大值 ： （ 2.2 ） T ’s 的 一 階 條件式 （ 表示 能 讓 他 獲利 最 高 的 鬥士 支出 ） 如 下 ： （ 3.1 ） D ’s 的 一 階 條件 則 是 ： （ 3.2 ） T ’s 的 二 階 充分 條件 （ 獲利 較 次 ） 是 ： （ 4.1 ） 由於 vT > 0 ， d > 0 而 t > 0 ， 故 能夠 成立 。 D ’s 的 二 階 充分 條件 是 ： （ 4.2 ） 而 vD > 0 ， d > 0 ， 且 t > 0 ， 所以 成立 。 計算 （ 3.1 ） 和 （ 3.2 ） 兩 條等式 的 比值 ， 得到 ： （ 5） 解出 d 值 ， 帶入 等式 （ 3.1 ） ， 就 能 得到 T ’s 雇用 鬥士 的 最佳 支出 ： （ 6.1 ） 解出 t值 ， 帶入 等式 （ 3.2 ） ， 就 能 求出 D 雇用 鬥士 的 最佳 支出 。 （ 6.2 ） 有 了 等式 （ 6.1 ） 和 （ 6.2 ） ， 我們 就 可以 計算 在 雇用 鬥士 方面 的 總支出 ， 也 就是 決鬥 審判 雙方 當事人 所 要 支付 的 競標 金額 ： （7） 由於 vD > vT > 0 而 ∀vT > 0 : < vT ， 因此 ， 在 暴力 競標 雙方 支付 的 出價 總額 ， 也 就 是 收費者 的 進帳 ， 會 低於 一般 競標 拍賣 中 得標 者 所 要 支付 的 （ 也 就 是 一般 競標 拍賣 中 收費者 的 進帳 ） 。 下 一 步 ， 為 了 要求 出 暴力 競標 在 甚麼 情況 下 ， 整體 來 說 會 優於 一般 競標 ； 換句話說 ， 也 就是 前者 的 總成本 在 計算 了 分配 無效 的 成本 之後 ， 仍然 較 低 的 情況 （ 你 應該 還 記得 ， 後者 不會 有 分配 無效 的 問題 ， 所以 這 項 成本 為 零 ） 。 因此 ， 我們 要 計算 暴力 拍賣 分配 無效 的 成本 。 這樣 的 成本 即 是 決鬥 審判 將 爭議 土地 判給 較 不 珍視 的 一 方 的 機率 ， ρT = ， 乘以 發生 問題 時 損失 的 社會 成本 vD – vT ， 帶入 雙方 對 鬥士 的 均衡 支出 ： （8） 現在 ， 我們 已經 得到 暴力 競標 的 總成本 了 。 從 等式 （7） ， 我們 可以 知道 暴力 競標 引發 詐騙 的 成本 是 ， 所以 總成本 是 ： （9） 一般 競標 的 分配 無效 成本 是 零 。 而 由