整除 時 ， 你 的 朋友 一定 很 驚訝 ！ 假設 朋友 寫下 的 數字 是 412 ， 你 在 左邊 或 右邊 加上 143 ， 使得 數字 變為 143412 或 412143 ， 則 此 兩 個 數字 皆 可 被 37 整除 。 此 處 的 說明 並 不 是 要 展現 數字 除以 37 的 記憶 能力 ， 或許 我們 擁有 一 個 非常 平凡 的 記憶 能力 ， 但 你 將 會 知道 37 倍數 的 判斷法 ： 將 數字 從 右 到 左 以 三 個 位數 分成 一 組 （ 最 左邊 一 組 可能 沒有 三 位數 ） ， 把 每 一 組 都 是 為 獨立 的 數字 ， 將 他們 全 加起來 ， 如果 總和 可 被 37 整除 ， 則 原數 也 可 被 37 整除 。 例如 153217 可 被 37 整除 ， 因為 153 + 217 = 370 ， 且 370 可 被 37 整除 。 請 自行 證明 此 判斷法 可 成立 。 （ 提示 ：37 是 999 = 103 -1 的 因數 。 ） 為 了 速算 ， 請 注意 111 、 222 、 333 ,… 999 全 可 被 37 整除 。 你 之所以 會 將 143 加 在 412 左右 ， 那 是 因為 這 兩 個 數字 加起來 等於 555 。 如果 他 選擇 341 ， 你 可以 加上 103 、 214 、 325 等等 。 如果 要 九 位數 ， 就 假裝 你 正在 製造 一 個 六 位數 的 數字 ， 並 分成 兩 個 三 位數 。 此時 不 把 325 加入 341 ， 但 把 203 和 122 （ 總和 為 325 ） 加入 ， 變成 203341122 ， 此 數字 可 被 37 整除 。 請 證明 數字 為 九 位數 ， 且 分成 三 個 一 組 共 三 組 時 ， 此 三 組和 的 形式 為 AAA （ 三 個 相同 位數 ） 時 ， 可 被 37 整除 。 318. 3 、 7 、 19 公倍數 的 判斷法 質數 3 、 7 、 19 的 乘積 是 399 ， 如果 數字 100 a+b （ 其中 b 是 兩 位數 的 數字 ， a 是 任意 正 整數 ） 可 被 399 或 399 的 因數 整除 ， 則 a+4 b 也 可 被 相同 除數 整除 。 你 能 自行 證明 此 法 為 真 嗎 ？ （ 提示 ： 用 400 a+4 b 作為 連結 ） ， 你 能 將 此 法 公式化 嗎 ？ 或 證明 反例 ？ 設計 一 個 簡單 判斷 3 、 7 和 19 公倍 數 的 檢測法 。 319. __UNDEF__ 7 倍數 的 過去 與 未來 俄羅斯人 喜歡 7 ， 在 民歌 和 諺語 中 ， 經常 可 見 7 的 蹤影 ： 剪布 一 次 ， 測量 七 次 。 七 次 不幸 ， 一 次 精打細算 。 一 次 犁田 ， 七 次 張口 。 （ 懶惰 者 喜歡 佔 人 便宜 。 ） 嬰兒 有 七 個 護士 ， 但 失去 眼睛 。 你 已 知道 除數 7 整除性 的 兩 種 判斷法 （ 結合 其他 的 數字 ） ， 此外 還 有 許多 其他 判斷法 ， 這裡 是 其中 一 種 ： 將 左邊 第一 位數 乘以 3 ， 並 加上 第二 位數 ， 再 將 結果 乘以 3， 然後 再 加上 第三 位數 ， 以 相同 的 程序 ， 處理到 最後 一 位數 。 為 了 簡化 計算 ， 當 每 次 的 結果 ≥7 時 ， 先 減去 7 的 最 高 倍數 ， 使得 最後 結果 等於 0 或是 一 個 正 整數 ， 再 依 上方 的 程序 處理 數字 ， 只有 最後 的 結果 可 被 7 整除 ， 則 原數 才 可 被 7 整除 。 以 48,916 為 例 ： __UNDEF__ , __UNDEF__ __UNDEF__ ×3=18, __UNDEF__ __UNDEF__ ×3=18, __UNDEF__ ×3=15 , __UNDEF__ + 6 =7 。 因此 ， 48,916 可 被 7 整除 。 請 自行 證明 此 方法 有效 。 （ 提示 ：a+10 b+ 102 c+ …- （ a+3 b+ 32 c+ … ） 可 被 7 整除 嗎 ？ ） （ 此 題 沒有 附 解答 。 ） 320 .
 
__UNDEF__ 判斷 7 倍數 的 第二 種 方法 同 第319 題 ， 但 操作 方式 改成 由 右 到 左 ， 乘數 改成 5 。 以 37,184 為 例 ： __UNDEF__ __UNDEF__ , __UNDEF__ ×5=5； =12 , __UNDEF__ ×5=25 , __UNDEF__ +3=7 。 因此 ， 37,184 可 被 7 整除 。 你 能 證明 此 方法 有效 嗎 ？ （ 此 題 沒有 附 解答 。 ） 321 .
 
__UNDEF__ 兩 個 除數 7 的 獨特 定理 定理 一 ： 如果 一 個 兩 位數 的 數字 ， 以 AB 表示 ， 可 被 7 整除 ， 則 BA+A 可 被 7 整除 。 例如 14 可 被 7 整除 ，則 41 +1 也 可 被 7 整除 。 （ 注意 ： 比較 10 a+b 和 10 b+2 a ， 試 著 將 第一 個 乘以 2， 第一 個 乘以 3 。 ） 定理 二 ： 如果 一 個 三 位數 的 數字 ， 以 ABC 表示 ， 可 被 7 整除 ， 則 CBA- （ C-A ） 可 被 7 整除 。 例如 126 可 被 7 整除 ，則 621 - （ 6-1 ） = 616 也 可 被 7 整除 。 或 693 可 被 7 整除 ， 且 396 - （ 3 -6 ） = 399 可 被 7 整除 。 （ 此 題 沒有 附 解答 。 ） 322 .
 
__UNDEF__ 整除 的 通則 判斷 除數 11 =10 + 1 （ 第314 題 ） 的 整除性 時 ， 我們 把 相間 的 位數 進行 加 和 減 的 動作 （ 每 個 都 可 稱為 一 位數 的 群組 ） 。 判斷 除數 1001 = 103+1 的 整除性 ， 也 就 是 質因數 7 、 11 和 13 （ 第315 題 ） 的 整除性 時 ， 我們 把 相間 三 位數 的 群組 進行 加 和 減 的 動作 。 同樣 的 ， 判斷 除數 101 = 102+1 的 整除性 時 ， 我們 把 相間 二 位數 的 群組 做 加減 。 判斷 除數 10,001 = 104+1 的 整除性 ， 也 就 是 質因數 73 和 137 的 整除性 時 ， 我們 把 相間 四 位數 的 群組 做 加減 。 舉 837,362,172,504,831 為 判斷 的 例子 ， 先 將 837,3621,7250,4831 以 每 四 個 位數 分為 一 個 群組 ， 則 奇數 群組 的 和為 837+ 7,250 = 8,087 ； 偶數 群組 的 和為 3,621 + 4,831 = 8,452 ， 兩 群 組和 的 差值 為 365 = 73 × 5 ， 所以 此 15 位數 的 數字 可 被 73 整除 ， 但 不能 被 137 整除 。 一般而言 ， 要 判斷 除數 10 n+1 或 其 較 小 質 因數 的 整除性 時 ， 我們 可以 從 右 到 左 把 相間 n 位數 的 群組 進行 加 和 減 。 判斷 除數 9 =10-1 的 整除性 ， 基本 上 也 很 相似 （ 請 參閱 第七 章 ） 。 我們 把 所有 位數 （ 每 個 都 可 稱為 一 位數 的 群組 ） 相加 。 如果 總和 可 被 3 （ 9 的 質 因數 ） 整除 ， 其 原數 也 可 被 3 整除 ， 那 就