2,438,195,760；4,753,869,120；3,785,942,160；4,876,391,520 __UNDEF__ 每 個 數字 都 可 被 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、 15 、 16 、 17 和 18 整除 。 （ 此 題 沒有 附 解答 。 ） 12 交叉 和 與 魔方陣 交叉 和 （ Cross Sum ） 讓 我們 把 數字 1 到 9 排 在 2 列 中 ， 讓 2 列 具有 相同 的 總和 。 這 2 列 不能 平行 ， 因為 1 加到 9 之後 的 總和 （45） 除 以 2 不 是 整數 ， 不過 可以 讓 這 2 列 交叉 ： 593 7 1 8 462 而 每 一 列 的 總和 是 23 。 這 種 具有 相同 總和 的 交叉 列稱為 「 交叉 和 」 ， 跟 填 字謎 遊戲 有些 類似 。 在 看完 上述 交叉 和 的 示範 後 ， 來 看看 你 是否 可以 自己 發明 一些 交叉 和 ， 最好 能夠 對稱 。 大多數 的 交叉 和 問題 都 不會 只 有 一 種 解法 。 324 .
 
__UNDEF__ 星星 你 可以 把 數字 1 到 12 放 在 六芒星 的 圈圈 內 ， 讓 每 列 （ 總共 六 列 ） 的 總和 都 是 26 嗎 ？ 現在 讓 每 列 加起來 都 是 23。325 .
 
晶體 有 一 個 晶體 的 晶格 ， 其中 的 原子 排成 10 列 ， 每 列 有 3 個 原子 。 選出 13 個 整數 ， 其中 要 有 12 個 是 不同 的 數字 ， 然後 把 每 一 個 數字 放 在 原子 內 ， 讓 每 列 加起來 都 是 20 （ 你 所 需要 的 最 小 數字 為 1， 最 大 為 15 ） 。 326 .
 
__UNDEF__ 櫥窗 的 裝飾 有 家 珠寶 飾品 公司 用 圓圈 加上 線 串 起 五角星 的 形狀 。 15 個 圓圈 可以 容納 1 至 15 顆 寶石 ， 每 一 個 數字 只 會 出現 一 次 。 由 圓圈 組成 的 5 個 大 圈 之中 的 每 一 個 大 圈 容納 40 顆 寶石 ， 然後 五角星 的 5 個 頂點 加起來 也 可以 容納 40 顆 寶石 。 要 如何 把 數字 填入 ？ 327 .
 
__UNDEF__ 六邊形 將 1 至 19 填入 六邊形 的 圓圈 內 ， 使得 任 3 個 圓圈 所 組成 的 列 （ 包括 邊 、 還 有 從 中心 往 外 的 線段 ） ， 數字 總和 均 為 22 。328 .
 
__UNDEF__ 小行 星系 在 小行 星系 （ 左 圖 ） 中 ， 每 個 軌道 上 有 4 個 行星 ， 半徑 方向 上 也 有 4 個 行星 。 在 大行 星系 （ 右 圖 ） 中 ， 每 個 軌道 上 有 5 個 行星 ， 半徑 方向 上 也 有 5 個 行星 。 在 小行 星系 中 的 行星 重量 以 整數 1 至 16 表示 。 在 大行 星系 中 的 行星 重量 以 整數 1 至 25 表示 。 請 安排 行星 重量 ， 讓行 星系 達到 平衡 ， 小行 星系 和 大行 星系 在 以下 情形 下 分別 要 符合 總和 34 和 65 的 要求 ： 1 .
 
__UNDEF__ 沿著 半徑 方向 的 重量 總和 。 2 .
 
__UNDEF__ 每 一 軌道 的 重量 總和 。 3 .
 
__UNDEF__ 從 最 外 層 軌道 如同 螺線 般 迴旋 至 最 內 層 軌道 ， 還 有 從 最 內 層 軌道 如同 螺線 般 迴旋 至 最 外層 軌道 的 行星 重量 總和 ， 請見 圖 中 虛線 所 示 。 而 （ 只有 在 小行 星系 中 ） 每 兩 個 鄰近 旋臂 上 兩兩 鄰近 的 軌道 上 ， 四 者 的 重量 總和 是 34 。 小行 星系 總共 可以 有 28 個 相同 總和 ， 而 大行 星系 可以 有 20 個 相同 總和 。 很 驚訝 吧 ， 竟然 有 這麼多 種 解答 。 329 .
 
__UNDEF__ 重疊 的 三角形 這 個 矩形 由 16 個 小三角形 構成 ， 在 每 個 三角形 內 填入 1 至 16 的 整數 。 仔細 看 一下 ， 你 可以 看到 6 個 比較 大 的 三角形 重疊 在一起 ， 想 辦法 讓 這 6 個 三角形 的 每 一 個 總和 都 是 34。330 .
 
__UNDEF__ 有趣 的 分組 在 這 個 大三 角形 裡 ， 你 可以 找到 3 個 由 4 個 小三角形 組成 的 中三角形 ， 還 有 3 個 由 5 個 小三角形 組成 的 梯形 。 9 個 小三角形 內 分別 有 1 至 9 的 數字 ， 算算 看 ， 每 個 中三角形 的 總和 為 17 ， 而 每 個 梯形 的 總和 是 28 。 接下來 ， 請 你 找出 4 種 排列 方式 ， 讓 每 個 中三角形 的 總和 為 20 ， 而 每 個 梯形 的 總和 是 25 。 然後 再 找出 1 種 排列 方式 ， 讓 每 個 中三角形 的 總和 為 23 ， 而 每 個 梯形 的 總和 是 22 。 提示 ： 你 可以 剪 9 張 小三角形 紙片 來 排列 ， 省得 在 同 一 張 紙 上 擦來擦去 。 魔 方陣 （ Magic Squares ） 331 .
 
__UNDEF__ 古代 中國 與 印度 的 智慧 魔方陣 可 說 是 古老 而 優美 的 一 種 交叉 和 。 中國人 在 4 、 5千 年 前 的 洛書 中 就 提出 九數 圖 ， 可 說 是 最早 發明 了 魔方陣 。 在 圖 中 這 個 最早 出現 的 魔方陣 中 。 黑 點 代表 偶數 （ 或 陰 ） ， 白 點 代表 奇數 （ 或 陽 ） ， 把 它 換成 數字 表示 如 圖 ， 每 一 行 、 每 一 列 ， 還 有 對角線 的 和都 是 15 。 所以 15 是 魔方陣 的 魔術 和 。 另 一 個 4 × 4 的 魔方陣 則 是 來自 印度 ， 其中 有 1 至 16 的 數字 ， 行列 怎麼 相加 都 是 34 。 接下來 ， 這 個 魔方陣 還 有 6 種 特性 ： 1. 4 個 角落 相加為 34 。2 .
 
__UNDEF__ 在 角落 和 中間 的 5 個 2 × 2 方格 的 每 一 個 總和 都 是 34 。3 .
 
__UNDEF__ 在 同 一 列 中 的 2 對 相鄰 數字 ， 1 對 加起來 是 15 ， 另 一 對 加起來 是 19 。4 .
 
__UNDEF__ 把 同 一 列 的 數字 平方 後 相加 ， 會 發現 ：12+142+152+42=438 __UNDEF__ 以及 132+22+32+162=438122+72+62+92 =310 __UNDEF__ 以及 82+112+102+52 =310 也 就 是 外 2 列 的 總和 相同 ， 內 2 列 的 總和 也 相同 。 5 .
 
__UNDEF__ 用行 來 看 也 會 有 類似 的 結果 ， 外 2 列 的 總和 均 為 378 ， 內 2 列 的 總和 均 為 370 。 6 .
 
__UNDEF__ 如 圖 （ a ） 一樣 在 大 正方形 中 畫出 一 個 正方形 ， 對 邊 數字 相加 的 總和會 相等 ， 總和 也 是 34：12 + 14 +3 +5 = 15 + 9 +8 +2 。 而且 不論 是 數字 的 平方 和 立方 和 依然 相等 ： 122+ 142+ 32+ 52 = 152 + 92+ 82 + 22123 + 143