週期 就 是 循環 數字 ， 和 的 完整 週期 142,857 一樣 ， 具有 相同 的 特性 。 舉例 來 說 ， 具有 完整 的 小數點 週期 0.588,235,294,117,647 ， 如果 乘以 1 到 16 的 任何 一 個 數字 ， 就 會 有 本身 循環 排列 的 現象 。 而 乘以 17 的話 就 會 得到 16 位數 的 9 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 。 ） 344 .
 
乘法 轉盤圖 中 的 轉盤 有 內外圈 ， 內圈 的 數字 為 （ 052,631,578,947,368,421 ） ， 而 外圈 則 有 1 至 18 的 數字 。 把 內圈 的 0 轉到 對 著 2 的 位置 ， 在 內圈 上 可 讀到 乘積 ： 105,263,157,894,736,842 。 這 個 乘法 轉盤 的 原理 在於 內圈 數字 為 的 完整 循環 小數 ， 而 它 乘上 1 至 18 的 積 就 是 自己 的 循環 排列 。 具有 完整 循環 小數 的 前 9 個 質數 是 7 、 17 、 19 、 23 、 29 、 47 、 59 、 61 以及 97 。 所以 可 為 每 個 質數 製作 一 個 轉盤 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 。 ） 345 .
 
__UNDEF__ 頭腦 體操 看過 上面 的 說明 ， 你 應該 不用 準備 一 台 計算機 就 可以 輕易 算出 142,857 乘上 1 至 7,000 任 一 個 數字 的 結果 。 在 第343 題 中 ， 我們 已經 提到 了 142,857 × 11 = 1,571,427 的 7 位數 乘積 可以 變成 142,857 的 循環 排列 ， 只要 把 第一 位數 加到 最後 一 位 ： 1+571,427 = 571,428 。 同理 ， 8 位數 的 乘積 等於 是 移動 2 位 數字 ， 9 位數 的 乘積 是 移動 3 位 數字 。 142,857 × 111 = 15,857,127；15 + 857,127 = 857,142；142,857 × 1111 = 158,714,127；158 + 714,127 = 714,285 。 這麼一來 要 心算 就 簡單 了 。 假設 你 要 算 142,857 × 493，493 除以 7 得到 70 又 ， 因此 你 的 前 2 位 數字 是 70 ， 而後 6 位 數字 是 142,857 的 循環 排列 然後 再 少 70 。 由於 是 ， 所以 循環 排列 是 428,571 。 這 時候 答案 是 ： 142,857 × 493 = 70,428,501 。 再 來 試試 乘以 378。378 除以 7 為 54 ， 所以 要 把 它 改成 53 又 。 此時 前 2 位 數字 為 53 ， 而後 6 位 數字 是 142,857 的 循環 排列 （ 這時 你 知道 是 999,999 ） 然後 再 少 53 ， 所以 答案 是 53,999,946 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 。 ） 346 .
 
__UNDEF__ 數字 的 圖案 數字 可以 組成 許多 複雜 像是 雪花 般 的 圖案 ， 如 圖 所 示 。 （ A ） 平凡 的 乘法 運算 可以 得到 不 平凡 的 結果 。 （ B ） 在 底下 的 等式 中 ， 1 至 9 的 數字 都 會 出現 ， 而且 只 會 出現 一 次 ： __UNDEF__ ×12=5,796； × 18=5,346； × 27=5,346； × 28=4,396； × 42 =5,796； 186 × 39 = 7,254 。 （ C ） 以下等式 的 2 邊 具有 相同 的 數字 ： （ D ） 在 這些 等式 中 ， 每 個 數字 會 乘上 數字 分成 兩 部分 後 加起來 的 總和 ， 結果 等於 兩 部分 立方 的 總和 ：37 × （ 3+7 ） =33+73；48 × （ 4+8 ） =43+83；111 × （ 11+1 ） =113+ 13；147 × （ 14+7 ） =143+ 73；148 × （ 14+8 ） = 143 + 83 ； （ E ） 像 晶體 一般 成長 的 數字 ： 除了 16 以外 只有 另外 一 個 二 位數 平方 （ 10 a+b ） ， 不管 我們 在 中間 置入 幾 次 （ 10 a+b-1 ） ， 新 數字 還 是 個 平方數 ， 你 能 找到 嗎 ？ （ F ） 9 也 會 形成 另 一 種 不同 的 晶體 平方 ， 把 它 寫成 09， 然後 不停 在 最 左邊 加上 1 ， 右邊 數過來 第2 個 位置 填入 8： 你 會 發現 我們 填進去 的 數字 1 大於 0 而 8 小於 9 ， 同樣地 ， 我們 在 36 中 填入 大於 3 的 4 與 小於 6 的 5 ： 請試 著 找出 另 一 個 第二 類型 的 平方 。 347 .
 
__UNDEF__ 找 一 個 數字 來 代替 （ A ） __UNDEF__ 除了 一般 從 1 寫到 10 的 方法 ， 我們 還可以 用 同 一 個 數字 來 表示 所有 數字 ： 接著 請 用 2 來 寫出 11 到 16 ， 除了 上面 的 加減 乘除 外 ， 你 還可以 用 乘冪 和 括號 。 （ B ） 請 用 4 來 寫出 1 到 10 。 （ C ） 數字 2 和 9 可以 用 分數 表示 ， 其中 1 到 9 每 個 數字 只 會 出現 一 次 。 舉例 來 說 ： 請 幫 3 、 5 、 6 、 7 、 8 以及 9 找出 類似 的 分數 。 （ D ） 用 0 到 9 這 10 個 數字 ， 可以 將 9 表示成 6 種 不同 的 分數 。 以下 有 3 種 ： 你 還可以 找出 其他 3 種 嗎 ？ （ 提示 ： 分子 和 分母 的 數字 保持 不變 ， 只要 互換 位置 即可 。 ） 348 .
 
__UNDEF__ 奇妙 的 巧合 （ A ） 乘積 剛好 是 總和 的 相反數 ： （ B ） 2 個 二 位數 的 乘積 剛好 等於 每 個 數字 本身 對調 後 的 乘積 ： 你 還可以 找出 另外 4 組 數字 嗎 ？ （ C ） 連續 數字 的 平方 使用 相同 的 數字 ： （ D ） 找出 具有 以下 性質 的 整數 ： 1 .
 
等於 組成 數字 總和 的 4 次 方 2 .
 
__UNDEF__ 如果 把 它 分成 3 組 二 位數 ， 這 3 組 二 位 數字 的 總和 為 一 平方數 。 3 .
 
__UNDEF__ 如果 把 它 反過來 ， 然後 再 分成 3 組 二 位數 ， 這 3 組 二 位數 的 總和 為 同 一 平方數 。 答案 ： 234,256 。 （ E ） 6 個 數字 2 、 3 、 7 、 1 、 5 、 6 的 群聚 具有 以下 有趣 的 性質 ： 許多 群聚 都 有 這樣 的 性質 ： 請 自行 找出 一 組 。 這 類 的 群聚 可 包含 8 或 10 個 數字 ， 而且 可以 延伸到 立方 ： 200多 年 前 2 位 聖彼得堡 的 學者 ， 克里斯蒂安 ‧ 哥德巴赫 （ Christian Goldbach ） 和 瑞士 的 天才 李昂哈德‧ 歐拉 （ Leonhard Euler ） 發展出 許多 可以 產生 類似 群聚 的 等式 。 以 6 個 數字 的 群聚 來 說 ： （ 在 所有 的 等式 中 ， a 、 b … 都 可以 是 正 整數 。 ） 在 上述 的 等式 中 ， a=1 ， b=2 ， 以及 c=1 。 另 一 組 可 產生 6 個 數字 的 等式 為 ： 如果 要 產生 8 個 數字 的 話 ： （ F ） 以下 這 組 群聚 更 厲害 ： 以下 是 等 式 ： 其中 a 、 b 、 c 是 正 整數 ， 而 n 可以 是 1 、 2 、 3 、 4