+23 = 9 個 矩形 ， 而 有 32 = 9 個 方格 的 正方形 具有 13+23 + 33 = 36 個 矩形 ， 那 有 n2 個 方格 的 正方形 有 幾 個 矩形 ？ （ G ） 在 立方 和 的 古老 公式 中 ， 數字 是 由 1 、 2 、 3 … 一直 排下去 。 法國 的 數學家 約瑟夫‧ 劉維爾 （ Joseph Liouville ） 想要 找出 不 連續 的 數字 （ 可 允許 重複 ） ， 讓 它們 的 立方 總和 等於 它們 總和 的 平方 ： 以下 透過 一些 範例 來 了 解 他 巧妙 的 方法 ： 數字 6 可以 被 1 、 2 、 3 ， 以及 6 整除 ； 而 1 只 有 一 個 除數 ， 2 有 2 個 （ 1 和 2 ） ， 3 有 2 個 （ 1 和 3 ） ， 6 有 4 個 （ 1 、 2 、 3 、 6 ） 。 然後 ： 數字 30 可以 被 1 、 2 、 3 、 5 、 6 、 10 、 15 ， 以及 30 整除 ； 而 這些 數字 分別 有 1 、 2 、 2 、 2 、 4 、 4 、 4 ， 以及 8 個 除數 。 所以 ： 現在 換 你 來 試試 看 其他 數字 。 350 .
 
__UNDEF__ 殊途同 歸 選擇 一 個 4 位數 ， 其中 的 數字 不能 完全 相同 ， 然後 從 這 幾 個 數字 中 排列出 最 大 的 數字 M 和 最 小 的 數字 m ， 取 其 差 （ M-m ） 。 繼續 重複 這 個 過程 （ 如果 兩 者 的 差為 三 位數 ， 比如說 397 ， 就 寫成 0397 ） 。 到 最後 你 會 發現 都 會 變成 6,174 ， 永遠 是 這樣 ， 因為 ： 7,641 - 1,467 = 6,174 舉例 來 說 ， 從 4,818 開始 算 ：8,841 - 1,488 = 7,353；7,533 - 3,357 = 4,176；7,641 - 1,467 = 6,174 ； 以 此 類推 。 你 能夠 證明 為什麼 都 會 變成 6,174 嗎 ？ 一 開始 這 個 問題 似乎 無法 破解 。 許多 讀者 也 嘗試 過 不得其解 。 後來 有 人 發現 試 30 個 4 位數 就 夠 了 。 這 30 個 數字 是 哪些 ？ 如果 對 二 位數 、 三 位數 、 五 位數 重複 同樣 的 步驟 ， 會 得到 哪 個 數字 ？ 351 .
 
__UNDEF__ 對稱 的 總和 這 個 問題 目前 還 沒有 人 找到 解答 。 取 一 個 整數 然後 加上 它 的 相反數 ， 然後 把 總和 的 相反數 再 加到 總和 ， 持續 此 一 過程 到 總和 變成 左右 對稱 為止 （ 從 右 讀 到 左 和 從 右 讀到 左 一樣 ， 稱為 迴文 〔 palindromic 〕 ） 。 可能 要 經過 很多 步驟 才 能夠 得到 這 個 結果 。 （ 從 89 到 8,813,200,023,188 要 24 個 步驟 ） 根據 推測 每 個 整數 應該 都 會 得到 迴文 結果 。 來自 拉脫維亞里加 的 工人 莫爾斯 （ P.R Mols ） 發現 ， 196 在 經過 75 步 以後 還 沒有 產生 迴文 結果 。 請 你 推理 一下 到底 我們 的 推測 是 不 是 正確 的 ， 請 不要 真的 從 第75 步 產生 的 36 位數 開始 加下去 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 。 ） （ 加州 的 查爾斯‧ 瓦特特里格 〔 Charles W . Trigg 〕 也 曾 提到 過 196 這 個 數字 。 目前 在 電腦 的 輔助 下 ， 經過 了 數千 步 運算 後 還 沒 產生 迴文 結果 。 針對 迴文 推測 的 課題 ， 目前 只有 證明 在 二進位 系統 中 不 成立 。 ） 14 歷久彌新 的 數字 質數 （ Prime Numbers ） 352 .
 
__UNDEF__ 質數 與 合數 如果 正 整數 N 除以 正 整數 a 的 結果 是 一 個 正 整數 ， 那麼 a 就 是 N 的 一 個 除數 ：1 有 一 個 除數 （1） ； 2 有 2 個 除數 （ 1, 2 ） ； 3 有 2 個 除數 （ 1, 3 ） ； 4 有 3 個 除數 （ 1, __UNDEF__ 2 , 4 ） ； 質數 有 2 個 除數 ； 合數 有 3 個 或 以上 的 除數 （ 1 不 算 質數 與 合數 ） 。 2 是 最 小 的 質數 ， 也 是 質數 中 唯一 的 偶數 。 有奇數 的 質數 （ 3 、 5 、 7 … ） 和 奇數 的 合數 （ 9 、 15 、 21 … ） 。 每 一 個 合數 都 是 獨特 的 一 組 質數 的 乘積 ： 12 =2 ×2 × 3363 = 3 × 11 × 11 ， 以 此 類推 。 質數 是 所有 數字 的 基礎 ， 其他 數字 都 可以 從 質數 的 乘積 產出 。 因此 也 不 難 想像 為什麼 數學家 對 質數 有 這麼 大 的 興趣 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 。 ） 353 .
 
__UNDEF__ 埃拉托斯特尼 篩法 要 如何 找到 質數 ？ 數字 愈 大 就 愈 難 判定 是否 是 質數 。 要 從 混合物 中 篩出 穀粒 ， 這時 就 需要 孔徑 跟 穀粒 一樣 的 篩子 來 過濾出 穀粒 。 而 我們 也 可以 用 類似 的 方法 篩選出 質數 。 假設 我們 想要 找到 2 到 N 之間 的 質數 ， 首先 把 它們 依序 列出 ， 第一 個 質數 是 2 ， 先 畫 底線 ， 然後 把 2 的 倍數 都 刪掉 。 第一 個 留下來 的 數字 3一定 是 質數 ， 同樣 畫 底線 ， 然後 把 3 的 倍數 都 刪掉 。 對質數 5 也 這麼 做 （ 因為 4 已經 被 刪掉 了 ） 。 持續 這麼 做 ， 你 會 把 所有 2 到 N 之間 的 質數 都 刪掉 ， 最後 有 底線 的 數字 就 是 2 到 N 之間 的 質數 ： 這 個 算法 是 由 2000多 年 前 希臘 數學家 埃拉托斯特尼 （ 276 - 196 B .
 
C .
 
） 所 提出 的 ， 雖然 繁瑣 但是 有效 ， 所以 截至 今日 ， 我們 仍 沿用 他 的 名字 和 算法 。 數 個 世紀 以來 ， 1 至 10,000,000 的 質數 都 已經 被 找出來 。 美國 數學家 萊默 （ D .
 
H Lehmer ） 經過 縝密 的 計算 與 驗證 後 ， 最後 終於 在 1914年 出版 了 一 個 質數表 。 比萊默 還 早 20 年 ， 有 個 俄國 的 自學 數學家 普維新 （ Ivan Mikheyevich Pervushin ） 製作 了 一 個 1 至 10,000,000 的 質數表 ， 並 獻給 了 當時 的 俄國 科學院 。 目前 他 的 手稿 還 保存 在 科學院 ， 一直 都 沒有 出版 。 布拉格 大學 的 庫利克 教授 （ J . P .
 
Kulik ） 一直 算到 了 100,000,000 （ 總共 有 6 卷 記載 了 質數 與 合數 的 除數 ） ， 並且 保存 在 維也納 科學院 的 圖書館 。 不過 記載 13,000,000 到 23,000,000 的 一 卷 不幸 亡佚 ， 要 找到 這些 質數 ， 或者 是 檢查 在 遺留 的 卷宗 裏 的 數字 ， 並 不 是 容易 的 事情 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 。 ） （ 時至今日 ， 透過 電腦 的 輔助 ， 已經 可以