的 偶數 。 有奇數 的 質數 （ 3 、 5 、 7 … ） 和 奇數 的 合數 （ 9 、 15 、 21 … ） 。 每 一 個 合數 都 是 獨特 的 一 組 質數 的 乘積 ： 12 =2 ×2 × 3363 = 3 × 11 × 11 ， 以 此 類推 。 質數 是 所有 數字 的 基礎 ， 其他 數字 都 可以 從 質數 的 乘積 產出 。 因此 也 不 難 想像 為什麼 數學家 對 質數 有 這麼 大 的 興趣 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 。 ） 353 .
 
__UNDEF__ 埃拉托斯特尼 篩法 要 如何 找到 質數 ？ 數字 愈 大 就 愈 難 判定 是否 是 質數 。 要 從 混合物 中 篩出 穀粒 ， 這時 就 需要 孔徑 跟 穀粒 一樣 的 篩子 來 過濾出 穀粒 。 而 我們 也 可以 用 類似 的 方法 篩選出 質數 。 假設 我們 想要 找到 2 到 N 之間 的 質數 ， 首先 把 它們 依序 列出 ， 第一 個 質數 是 2 ， 先 畫 底線 ， 然後 把 2 的 倍數 都 刪掉 。 第一 個 留下來 的 數字 3一定 是 質數 ， 同樣 畫 底線 ， 然後 把 3 的 倍數 都 刪掉 。 對質數 5 也 這麼 做 （ 因為 4 已經 被 刪掉 了 ） 。 持續 這麼 做 ， 你 會 把 所有 2 到 N 之間 的 質數 都 刪掉 ， 最後 有 底線 的 數字 就 是 2 到 N 之間 的 質數 ： 這 個 算法 是 由 2000多 年 前 希臘 數學家 埃拉托斯特尼 （ 276 - 196 B .
 
C .
 
） 所 提出 的 ， 雖然 繁瑣 但是 有效 ， 所以 截至 今日 ， 我們 仍 沿用 他 的 名字 和 算法 。 數 個 世紀 以來 ， 1 至 10,000,000 的 質數 都 已經 被 找出來 。 美國 數學家 萊默 （ D .
 
H Lehmer ） 經過 縝密 的 計算 與 驗證 後 ， 最後 終於 在 1914年 出版 了 一 個 質數表 。 比萊默 還 早 20 年 ， 有 個 俄國 的 自學 數學家 普維新 （ Ivan Mikheyevich Pervushin ） 製作 了 一 個 1 至 10,000,000 的 質數表 ， 並 獻給 了 當時 的 俄國 科學院 。 目前 他 的 手稿 還 保存 在 科學院 ， 一直 都 沒有 出版 。 布拉格 大學 的 庫利克 教授 （ J . P .
 
Kulik ） 一直 算到 了 100,000,000 （ 總共 有 6 卷 記載 了 質數 與 合數 的 除數 ） ， 並且 保存 在 維也納 科學院 的 圖書館 。 不過 記載 13,000,000 到 23,000,000 的 一 卷 不幸 亡佚 ， 要 找到 這些 質數 ， 或者 是 檢查 在 遺留 的 卷宗 裏 的 數字 ， 並 不 是 容易 的 事情 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 。 ） （ 時至今日 ， 透過 電腦 的 輔助 ， 已經 可以 找到 許多 超過 現有 記載 的 大 質數 ， 美國 數學家 布萊恩特‧塔克曼 〔 Bryant Tuckerman 〕 在 1971年 找到 了 219,937 -1 ， 有 6,002 位數 ！ ） 354 .
 
__UNDEF__ 究竟 有 多少 質數 ？ 歐基里德 （ Euclid ） 證明 沒有 最 大 的 質數 ， 如果 你 把 2 到 N 的 質數 乘起來 然後 加上 1 ， 結果 可能 是 一 個 質數 或者 是 一 個 除數 大於 N 的 合數 。 質數 分布 不 規則 ， 隨著 數字 增加 ， 出現 頻率 會 越來越 少 。 在 1 到 10 的 數字 中 有 5 個 質數 （ 50% ） ， 前 100 個 數字 有 26 個 （ 26% ） ， 到 了 前 100萬 個 數字 只有 8% ， 有 個 公式 可以 估計出 在 一 大 範圍 的 整數 中 有 多少 比例 是 質數 。 費布那西數 （ Fibonacci Number ） 列奧納多 （ Leonardo ） ， 又 稱 比薩 的 列奧納多 ， 是 12世紀 義大利 出色 的 數學家 ， 他 有時 也 被 稱為 費布那西 ， 因為 他 的 父親 外號 叫 Bonacci 。 他 在 1202年 出版 一 本 拉丁文 的 數學書 Liber Abaci （ 有關 Abaci 的 書 ） ， 納入 當時 所 知 的 算術 與 代數 方法 。 這 本 書 是 歐洲 首先 以 阿拉伯 數字 教導 計算 的 書 之 一 。 在 往後 的 200 年 間 這 本 書 是 數值 計算 的 聖經 。 費布那西 在 當時 也 不 免 俗 參加 數學 錦標賽 （ 看看 誰 能 最 快 找出 困難 問題 的 最佳 解答 ） 。 他 解題 的 技巧 廣受 讚譽 。 355 .
 
__UNDEF__ 公開 測試 在 1225年 ， 神聖 羅馬 帝國 皇帝 腓特烈二世 帶 著 一 群 數學家 來到 比薩 ， 打算 公開 測試 列奧納多 ， 當時 費布那西 遠近馳名 。 在 錦標賽 上 有 個 問題 是 ： 找到 一 個 平方數 在 減少 5 或 增加 5 之後 仍 為 平方數 。 顯然 答案 並非 整數 ， 在 想 了 一陣子 後 ， 費布那西 找到 了 這 個 數字 ： __UNDEF__ 在 減去 5 的 時候 仍 為 平方數 ： 在 加上 5 的 時候 仍 為 平方數 ： 在 波波夫 （ G.N. Popov ） 於 1932年 出版 的 《 歷史 上 的 問題 》 （ Historical Problems ） 中 有 提供 一 個 解答 方法 ：x2+5=u2 以及 x2-5= v2 因此 u2- v2=10 但是 所以 ： （ u+v ） （ u-v ） = 若u+v= 而 u-v= 如此一來 我們 就 會 得到 費布那西 的 答案 。 或許 這 是 費布那西 在 錦標賽 時 解決 問題 的 方法 。 如果 是 這樣 的話 ， 他 的 想像力 是 多麼 豐富 ， 才 有 辦法 想到 用 分數 來 表示 10 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 ） 356 .
 
__UNDEF__ 費布那西 序列 1, __UNDEF__ 1, __UNDEF__ 2, __UNDEF__ 3, __UNDEF__ 5, __UNDEF__ 8, __UNDEF__ 13, __UNDEF__ 21, __UNDEF__ 34 , __UNDEF__ 55 , … 每 個 數字 等於 前 2 個 數字 的 和 ：1 +1 = 2，1 +2 =3 ， 以 此 類推 。 如果 在 序列 中 的 2 個 連續 數字 為 y 和 x ， 那麼 ：x2-xy-y2=1 ， 或 x2-xy-y2=-1 舉例 來 說 ：x=2， y=1；X=5 ， y=3；X=13 ， y=8 ； 是 第一 個等式 的 解 ， 以及 ：x=3 ， y=2；X=8 ， y=5；X=21 ， y= 13 ； 是 第二 個 等式 的 解 。 費布那西 序列 不僅 對 數學家 很 重要 ， 對 植物學家 也 同樣 重要 。 在 樹枝 上 的 樹葉 常常 是 沿著 莖 螺旋狀 排列 ， 也就是說 每 一 片 葉子 會 比 前 一 片 高 一些 而且 會 錯開 。 不同 的 植物 有 不同 的 發散 角度 。 而 角度 大小 通常 以 360 度 的 幾分之幾 表示 。 椴科 植物 和 榆樹 來 說 是 ； 山毛櫸 是 ； 橡樹 與 櫻桃樹 是 ； 白楊 與 洋梨樹 是 ； 柳樹 是 ， 其他 不一一 列舉 。 每 棵 樹 的 樹枝 、 花苞 ， 還 有 花朵 都 保有 同樣 的 排列 角度 。 而 這些 分數 是 由 費布那西 序列 組成 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 ） 357 .
 
__UNDEF__ 面積 詭論 將 一 個 圖形 切割 後 重新 組合 ， 這 個 圖形 的 形狀 或許 變 得 不同 ， 但 面積 顯然 不會 改變 。 不過 如 上 圖 所 示 ， 將 正方形 裁成 2 個 全 等