數字 教導 計算 的 書 之 一 。 在 往後 的 200 年 間 這 本 書 是 數值 計算 的 聖經 。 費布那西 在 當時 也 不 免 俗 參加 數學 錦標賽 （ 看看 誰 能 最 快 找出 困難 問題 的 最佳 解答 ） 。 他 解題 的 技巧 廣受 讚譽 。 355 .
 
__UNDEF__ 公開 測試 在 1225年 ， 神聖 羅馬 帝國 皇帝 腓特烈二世 帶 著 一 群 數學家 來到 比薩 ， 打算 公開 測試 列奧納多 ， 當時 費布那西 遠近馳名 。 在 錦標賽 上 有 個 問題 是 ： 找到 一 個 平方數 在 減少 5 或 增加 5 之後 仍 為 平方數 。 顯然 答案 並非 整數 ， 在 想 了 一陣子 後 ， 費布那西 找到 了 這 個 數字 ： __UNDEF__ 在 減去 5 的 時候 仍 為 平方數 ： 在 加上 5 的 時候 仍 為 平方數 ： 在 波波夫 （ G.N. Popov ） 於 1932年 出版 的 《 歷史 上 的 問題 》 （ Historical Problems ） 中 有 提供 一 個 解答 方法 ：x2+5=u2 以及 x2-5= v2 因此 u2- v2=10 但是 所以 ： （ u+v ） （ u-v ） = 若u+v= 而 u-v= 如此一來 我們 就 會 得到 費布那西 的 答案 。 或許 這 是 費布那西 在 錦標賽 時 解決 問題 的 方法 。 如果 是 這樣 的話 ， 他 的 想像力 是 多麼 豐富 ， 才 有 辦法 想到 用 分數 來 表示 10 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 ） 356 .
 
__UNDEF__ 費布那西 序列 1, __UNDEF__ 1, __UNDEF__ 2, __UNDEF__ 3, __UNDEF__ 5, __UNDEF__ 8, __UNDEF__ 13, __UNDEF__ 21, __UNDEF__ 34 , __UNDEF__ 55 , … 每 個 數字 等於 前 2 個 數字 的 和 ：1 +1 = 2，1 +2 =3 ， 以 此 類推 。 如果 在 序列 中 的 2 個 連續 數字 為 y 和 x ， 那麼 ：x2-xy-y2=1 ， 或 x2-xy-y2=-1 舉例 來 說 ：x=2， y=1；X=5 ， y=3；X=13 ， y=8 ； 是 第一 個等式 的 解 ， 以及 ：x=3 ， y=2；X=8 ， y=5；X=21 ， y= 13 ； 是 第二 個 等式 的 解 。 費布那西 序列 不僅 對 數學家 很 重要 ， 對 植物學家 也 同樣 重要 。 在 樹枝 上 的 樹葉 常常 是 沿著 莖 螺旋狀 排列 ， 也就是說 每 一 片 葉子 會 比 前 一 片 高 一些 而且 會 錯開 。 不同 的 植物 有 不同 的 發散 角度 。 而 角度 大小 通常 以 360 度 的 幾分之幾 表示 。 椴科 植物 和 榆樹 來 說 是 ； 山毛櫸 是 ； 橡樹 與 櫻桃樹 是 ； 白楊 與 洋梨樹 是 ； 柳樹 是 ， 其他 不一一 列舉 。 每 棵 樹 的 樹枝 、 花苞 ， 還 有 花朵 都 保有 同樣 的 排列 角度 。 而 這些 分數 是 由 費布那西 序列 組成 。 （ 本 題 在 書 後 無 解答 ） 357 .
 
__UNDEF__ 面積 詭論 將 一 個 圖形 切割 後 重新 組合 ， 這 個 圖形 的 形狀 或許 變 得 不同 ， 但 面積 顯然 不會 改變 。 不過 如 上 圖 所 示 ， 將 正方形 裁成 2 個 全 等 三角形 和 2 個 全等 梯形 ， 我們 是否 能 找到 適當 的 x 和 y ， 將 正方形 拼成 長方形 ？ 有 位 年輕 友人 寫信 給 我 提到 ： 「 我 用 圖畫紙 試 著 裁成 幾 組 不同 的 x 和 y值 ， 但 都 拼 不 出 長方形 。 例如 x=5， y=3 時 ， 長方形 的 面積 是 5 x 13 = 65 」 （ 參見 下 圖 ） 但 正方形 的 面積 卻 是 64 ！ 「 正方形 邊 長為 13 （ x=8 ， y=5 ） 時 ， 我 拼出來 的 長方形 面積 只有 168 ， 而 非 169; 正方形 邊 長為 21 （ x=13 ， y=8 ） 時 ， 長方形 面積 則 是 442 而 非 441 ， 怎麼 會 這樣 ？ 」 費布那西數 在 面積 詭論 中 到底 耍 了 什麼 把戲 ？ 358 .
 
__UNDEF__ 費布那西 序列 的 性質 以下 是 費布那西 序列 的 前 20 個 數字 ： __UNDEF__ 6,7651 .
 
__UNDEF__ 後續 的 數字 以 底下 的 公式 形成 ：Sn-2+Sn-1=Sn2 .
 
在 這 個 序列 中 ， 我們 希望 能夠 從 數字 n 直接 推導出 任何 數字 Sn ， 我們 很 自然 會 期待 公式 中 只有 包含 整數 ， 或許 再 加上 分數 ， 不過 事實 並非 如此 。 我們 發現 需要 2 個 無理數 ， 也 就 是 ：a1 是 黃金 比例 ， 與 前 一 個 問題 相關 ； a2 是 a1 的 負倒數 。 以下 為 Sn 的 公式 ： 當 n=1： 當 n=2 ： 我們 可以 證明 當 S 如同 公式 所 定義 時 ， Sn+1 = Sn-1+Sn 滿足 費布那西 序列 的 關係 。 在 表示式 中 ，方 括號 內 的 數值 = 1 （ 這 個 不 難 證明 ） ， 所以 整 個 表示式 為 Sn+1 。 這 也 證明 了 公式 可以 從 2 個 正確 的 數字 產生 出費 布那西 序列 ， 既然 已經 證明 對 前 2 個 數字 是 正確 的 ， 對 所有 的 數字 也 會 是 正確 的 。 3 .
 
費布那西 序列 前 n 個 數字 的 總和 是 個 有趣 的 結果 ：S1+S2+…+Sn=Sn+2-1 所 以前 6 個 數字 的 和 1+1+2+3+5+8=20 ， 等於 第8 個 數字 21 - 1 。4 .
 
費布那西 序列 前 n 個 數字 平方 的 總和 為 2 個 相鄰 數字 的 乘積 ： S2+S2+ … +S2 =Sn×Sn+1 舉例 來 說 ：12+12=1×2；12+12+22=2 ×3；12 + 12+ 22 + 32 =3 × 5 。5 .
 
__UNDEF__ 每 一 個 費布那西 數字 的 平方 減去 前後 2 個 數字 的 乘積 ， 結果 會 是 +1 和 -1 輪流 出現 ：22-1×3=+1；32-2×5=-1；52-3×8=+1 。 6. S1+S3+…+S2n-1=S2n7. S2+S4+… +S2n=S2n+1-18. Sn2+ Sn2+1= S2n+19 .
 
__UNDEF__ 數 列 中 每逢 第3 個 數字 為 偶數 ， 第4 個 數字 會 被 3 整除 ， 第5 個 數字 會 被 5 整除 ， 而 第15 個 數字 會 被 10 整除 ， 一直 持續 下去 就 是 如此 。 10 .
 
三角形 的 邊 不能 用 3 個 不同 的 費布那西 數字 ， 你 知道 是 為什麼 嗎 ？ （ 本 題 在 書 後 無 解答 。 ） 359 .
 
__UNDEF__ 垜積數 的 性質 1 .
 
__UNDEF__ 古希臘人 很 喜歡 研究 可 排成 數 列 而且 有 幾何 意義 的 數字 ， 比如說 算術級數 ， 其中 2 個 相連 整數 的 差 （ d ） 是 固定 的 ：1, 2 , __UNDEF__ 3 , __UNDEF__ 4 , __UNDEF__ 5 , … （ d=1 ） ； 1, __UNDEF__ 3 , __UNDEF__ 5 , __UNDEF__ 7 , __UNDEF__ 9 , … （ d=2 ） ； 1, __UNDEF__ 4, __UNDEF__ 7, __UNDEF__ 10 , __UNDEF__ 13 , … （ d=3 ） 。 或者 可以 用 以下 通式 ： 1, 1+d , 1+2d , 1+3d , 1+4 d , … 在 一 列 中 每 個 數字 都 有 它 的 位置 n ， 為 了 要 知道 第 n 個 數字 （ 稱為 an ） 為 何 ， 我們 將 第一 個 數字 加上 n 到 1 之間 的 位置數 （ n-1 ） 和 差 （ d ） 的 乘積 ：an=1+d （ n-1 ） ； 在 此 種 數 列 中 的 每 一 個 數字 稱為 線性 垜積數 或 形數 （ figurate number ） ， 或者 是 第一 階 的 垜積數 。 2 .
 
__UNDEF__ 讓 我們