有 個 最 大 的 數字 x ， 因為 跟 x 相減 的 數字 不會 小於 0 ， 所以 任何 差值 都 不會 超過 x 。 假設 大於 x 的 第一 個 2 的 乘冪 數字 是 2 y ， 所以 A4y 由 2y 的 倍數 所 組成 ， 但是 因為 在 任何 列 的 差值 中 沒有 像 2y 那麼 大 的 數字 ， 因此 A4y= （ 0, 0, 0 , 0 ） 。 （ B ） 在 表 的 第一 行 選 個 數字 ， 然後 減掉 第二 行 同 一 位置 的 數字 。 選 第一 行 中 同 一 個 或 另 一 個 數字 ， 然後 減掉 第三 行 同 一 位置 的 數字 。 重複 此 動作 ， 這 次 用 第一 行 和 第四 行 的 數字 。 選擇性 地 重複 這 個 步驟 ， 用 第一 行 和 越 多 行 的 數字 越 好 ， 最後 一 組 不能 選 第一 列 的 數字 （ 或者 是 選到 的 數字 不可是 0 ） 。 在 我們 要 找出 這些 減法 結果 的 最 大 總和 。 明顯 地 我們 應該 選 最後 一 列 的 （ 81-9 ） 。 而 最後 一 組 配對 的 數字 應該 是 來自 第二 列 ， 因為 這樣子 所 得到 的 損失 最 小 。 在 這 步驟 中 的 數字 應該 都 是 0 ， 如果 是 差值 是 0 （ 其他 的 差值 都 是 負數 ） 。 接著 所 選 的 整數 應該 具有 1Z9 的 形式 ， 其中 Z 代表 一 或 更多 個 0 ， 以 這樣 的 數字 來 說 ， 我們 應該 選 109 ， 因為 1-100 的 損失 小於 （ 1 - 1,000 ） 、 （ 1 - 10,000 ） ， 以 此 類推 。 不過 ： 12+02 + 92 = 82 這 個 數 小於 109 ， 所以 三 位數 或 更多 位數 的 任何 數字 之 每 位數 平方 的 總和 也 會 小於 這 個 數字 ， 如果 我們 重複 足夠 多 的 次數 ， 我們 會 得到 小於 三 位數 的 數字 。 346 .
 
__UNDEF__ 數字 的 圖案 347 .
 
__UNDEF__ 找 一 個 數字 來 代替 348 .
 
__UNDEF__ 奇妙 的 巧合 （ J ） 讓 n 是 一 個 三 位數 ， 其中 （ n2-n ） 的 數字 結尾 有 3 個 0 。 考慮 以下 的 算式 （ nk-n ） ， 其中 k 是 任何 正 整數 ：nk-n= n （ nk-1-1 ） 所以 這 個 等式 可 被 n 與 n-1 整除 。 因為 （ nk-n ） 可 被 n （ n-1 ） = （ n2-n ） 整除 ， 但是 （ n2-n ） __UNDEF__ 的 結尾 有 3 個 0 ， 所以 （ nk-n ） 的 結尾 也 有 3 個 0 ， 而且 nk 與 n 的 結尾 3 個 數字 都 會 一樣 。 所以 我們 只要 證明 ， 只有 376 與 625 的 平方 具有 相同 的 結尾 。 此 種 數字 必定 是 n 或 n-1 的 形式 ， 其中 n （ n-1 ） 是 1,000 的 倍數 。 由於 n 和 n-1 是 相鄰 的 數字 ， 因此 不會 有 相同 的 質因數 ， 那麼 其中 一 個 應該 可 被 2 × 2 × 2=8 整除 ， 而 另 一 個 被 5 × 5 × 5 =125 整除 （ 不會 被 2 整除 ） 。 在 125 之後 還 有 125 、 375 、 625 ， 以及 875 ， 以及 相鄰 的 數字 124 與 126 、 374 與 376 、 624 與 626 ， 以及 874 與 876 。 在 這些 相鄰 數字 中 ， 只有 376 和 624 會 被 8 整除 。 所以 可能 的 候選 三 位數 是 375 、 376 、 624 ， 以及 625 。 但是 3752 = 140,625 ， 而 6242 = 389,376 ， 由 此 可 證。 349 .
 
__UNDEF__ 正 整數 的 分列式 （ D ） 沒有 、 沒有 、 有 。 n2+ （ n+1 ） 2 = （ n+2 ） 2 的 唯一 正 整數 解答 為 n=3 ， 而 n2+ （ n+1 ） 2+ （ n+2 ） 2 = （ n+3 ） 2+ （ n+4 ） 2 的 唯一 解答 是 n= 10 ， 但是 等 式 左邊 有 4 、 5 、 … 等 多 項 是 有 解答 的 ：212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272；362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442 。 請 自行 證明 ， 如果 n 是 右邊 的 整數 ， 那等式 的 第一 項 是 n （ 2n+1 ） 。 350 .
 
__UNDEF__ 殊途同歸讓 a 、 b 、 c 、 d 是 一 數字 的 每 個 數字 ， 其中 a 大於 等於 b ， c 大於 等於 d ， 而 a 大於 等 d 。 M=abcd ， 而 m=dcba 。 要 找出 （ M-m ） ：1 .
 
__UNDEF__ 如果 b>c：2 .
 
__UNDEF__ 如果 b=c ： 在 第一 個 條件 下 ， 所有 差值 的 數字 總和 為 10 ， 而 中間 數字 的 總和 為 8 。 在 第二 個 條件 下 ， 總和 為 9 和 18 ， 而 中間 數字 都 是 9 。 對於 後續 的 減法 步驟 來 說 ， 上述 的 等式 依然 成立 ， 所以 我們 只 須 測試 25 個 滿足 條件 （1） 的 數字 ， 還 有 5 個 滿足 條件 （2） 的 數字 （ 圖 中 忽略 數字 的 次序 ） ： 9,801 __UNDEF__ 8,802 __UNDEF__ 7,803 __UNDEF__ 6,804 __UNDEF__ 5,805 __UNDEF__ __UNDEF__ 7,713 __UNDEF__ __UNDEF__ __UNDEF__ __UNDEF__ 7,623 __UNDEF__ 6,624 __UNDEF__ __UNDEF__ 8,532 __UNDEF__ 7,533 __UNDEF__ 6,534 __UNDEF__ 5,535 441 __UNDEF__ 8,442 __UNDEF__ 7,443 __UNDEF__ 6,444 __UNDEF__ 5,445 以及 9,990, __UNDEF__ 8,991, __UNDEF__ 6,993, __UNDEF__ 5,994 。 在 下 圖 中 ， 方格 中 有 30 個 數字 （ 數字 本身 都 是 從 大 到 小 ） 順著 箭頭 （ 通常 是 透過 其他 數字 ） 到達 6,174 。 任意 一 個 4 位數 都 只要 在 7 個 步驟 以內 就 可以 完成 。 我們 可以 把 最後 的 差值 稱為 頂點 （ pole ） 。 三 位數 的 頂點 是 495 。 二 位數 沒有 頂點 ； 它們 會 不斷 地 循環 。 對 5 位數 來 說 ， 每 個 差值 的 中心 位數 為 9 ， 其他 4 個 位數 具有 和 4 位數 運算 時 相同 的 結構 （ 自己 看看 ） 。 所以 對 5 位數 的 檢查 就 用 測試 4 位數 的 同樣 30 個 數字 即可 ， 而 這些 數字 會 產生 3 個 不同 的 循環 。 莫斯科 的 工程師 奧爾洛夫 （ V. A. Orlov ） 有 找到 一 個 有關 頂點 的 有趣 特性 。 以 三 位數 的 頂點 495 為 例 ， 把 它 的 數字 分開 並且 分別 插入 5 、 9 、 4 ： 從 新 產生 的 數字 549,945 開始 算 ， 我們 會 得到 995,551 - 445,599 = 549,945 ， 這 是 6 位數 的 一 個 頂點 。 讓 我們 繼續 做下去 ： 由於 999,555,444 - 444,555,999 = 554,999,445 ， 如此一來 我們 又 得到 9 位數 的 頂點 。 接著 讓 我們 拿 4 位數 的 頂點 6,174 來 試試 ， 把 它 分成 3 組