上 金融 商品 這麼多 ， 全部 把 它 畫 在 圖形 上 ， 只 會 把 我們 搞 得 更 糊塗 而已 。 那麼 ， 何不 量化 這些 圖形 的 穩定性 ， 讓 我們 可以 用 一 個 數字 來 表達 風險 ， 還 可 拿 它 來 比 大小 呢 ？ 這樣 的話 ， 我們 就 必須 先 知道 風險 如何 量化 。 用 「 標準差 」 把 風險 量化 在 投資界 ， 量化 的 風險值 確實 很多 ， 學界 更多 ； 但是 我 可以 說 ， 這 多數 的 風險值 對 一般人 都 是 沒用 的 。 其實 以前 我 也 花 了 許多 時間 在 這 上面 ， 現在 回想 就 覺得 非常 不 值得 。 量化 的 風險 最 常見 的 當然 就 是 基礎 統計學 中 的 「 標準 差 」 。 假設 現在 有 2 組 數字 ， A組 為 8 、 12 、 7 、 13 ， B 組 為 14 、 6 、 15 、 5 。 這 兩 組 數 列 我們 可 非常 容易 地 知道 它們 的 平均數 都 是 10 ； 但是 平均數 都 相等 時 的 數 列 要 比較 其實 是 沒有 意義 的 ， 因為 根本 無法 知道 它們 的 分布 情況 。 這 就 跟上 個 單元 所 講 的 池 中 深淺 平均數 與 中位數 是 雷同 的 比喻 ， 除非 你 逐一 去 看 這些 數字 ， 但 這 明顯 是 浪費 時間 ， 比 看 圖 還 沒 價值 。 如果 你 透過 圖 2-3A ， 在 數字 10 的 地方 畫 個 水平線 ， 再 將 其他 格線 去除 ， 即可 獲得 圖 2-3B 。 只要 觀察 圖 2-3B ， 就 能 更 清楚 哪 一 組 的 數列 較 不 平穩 。 為何 要 在 數字 10 的 地方 畫上 水平線 ？ 因為 這樣 我們 才 可以 去 量 一下 每 個 數據 離 平均數 的 距離 到底 有 多 遠 。 其實 我們 可 從 水平線 的 右側 往 左側 看 （ 圖形 右側 有 眼睛 的 地方 ） ， 即可 看到 每 個 數據 距離 平均數 10 有 多 遠 了 。 愈 遠 ， 表示 愈 不 穩定 ； 所以 我們 將 每 個 數據 去 跟 平均 相 減 ， 即可 得到 「 線 的 距離 」 ； 例如 A 組 ， 分別 是 -2 、 2 、 -3 、 3 。 但 這 是 數 列 ， 不 是 單一 數據 ， 所以 將 這些 每 個 數據 的 「 線 的 距離 」 加 總 ， 即可 鑑別 每 組 數 列 中 每 個 數據 離 平均數 的 「 總距離 」 大小 了 。 但 這時 會 出現 一 個 問題 ， 因為 有 正 的 與 負 的 數據 ， 且 加總 後 的 數據 會 等於 零 。 為 了 消除 正負值 的 影響 ， 改以 「 距離 的 面積 」 來 加 總會 是 比較 妥當 的 ， 也 可 放大 比較 的 效果 。 因此 ， 將 「 線 的 距離 」 平方 就 是 「 距離 的 面積 」 了 ， 這 方式 如 圖 2-4 ， 將 每 個 方塊 面積 予以 加總 即可 ： 例如 A組 ， 就 會 等於 ( -2) 2+ (2) 2+ ( -3) 2+ (3) 2=26；B 組 則 為 (4) 2 + ( -4 ) 2 + (5) 2 + ( -5 ) 2 =82 。 透過 上述 兩 個 數據 ， 我們 就 可 輕鬆 地 比較 ， B 組 的 數據 大 ， 所以 較 不 平穩 ， 風險 則 較 高 。 一般來說 ， 數 列 不會 是 只有 4 筆 ， 所以 加總 這些 數值 似乎 會 太 大 了 些 ， 也 無法 平均 每 個 數據 的 面積 ， 這時 加總 「 距離 的 面積 」 的 平均值 是 較 公平 的 做法 。 所以 ， A組 加總 「 距離 的 面積 」 的 平均數 就 會 等於 26/4 = 6.5， B 組 則 為 82/4 = 20.5 。 如此 所得 的 數據 ， 統計學家 稱 它 為 「 變異數 」 （ variance ） ， 公式化 為 ： 其中 x 為 觀察 的 數據 ， n 為 個數 ， σ2 即為 變異數 。 然而 變異數 是 一 種 面積 的 概念 ， 轉成 線 的 距離 時 ， 就 得 對 它 開 根號 而 得 σ ， 統計學家 則 稱 σ 為 標準差 （ standard deviation ） ， 也 是 我們 在 投資 時常 聽到 的 「 波動性 」 （ volatility ） 了 。 下 次 聽到 波動性 時 ， 記得 它 呈現 的 就 是 一 種 平均 距離 的 面積 數字 。 你 的 投資 是 要 關心 股價 還是 報酬率 ？ 瞭解 波動性 的 計算 概念 後 ， 那 我們 平常 聽到 股票 波動率 就 是 利用 股價 計算 而 得 的 嗎 ？ 這 是 錯 的 。 我們 先 來 看 一下 真實 的 二 檔 股價 資料 （ 表 2 -1 ） 。 表 2-1： 兩 檔 股票 之 真實 股價 與 波動率 No A 257.00 257. 50 264.00 261.00 264.00 B 17.10 17.20 17.00 16.90 16.30 No 6 10 A 264.50 260.00 260.50 255.00 261.00 B 15.55 15.65 15.40 15.60 15.70 No 11 A 258.00 254.50 258.00 260.00 261.50 B 15.60 15.30 15.60 15.45 15.85 No 16 263.50 263.50 265.00 262.50 3.1173 B 15.65 15.90 15.95 16.15 這 兩 檔 股價 ， 分別 各 有 19 筆 （ 共 四 週 資料 ） ， 我們 現在 應該 很 容易 可以 透過 上述 的 公式 計算 波動性 ， 分別 是 σA= 3.1173 ， σB= 0.5972 。 這 數值 明顯 的 是 A 大於 B ， 因此 A 的 風險 就 是 高於 B 嗎 ？ 數值 呈現 的 當然 是 沒 錯 ， 但是 標準差 要 運用 在 投資 時 卻 是 大有 學問 。 我 想 問 一下 大家 ： 投資 雖然 須 考慮到 自己 的 口袋 有 多 深 （ 本金 ） ， 但 我們 都 知道 「 大錢 賺 大錢 ， 小錢 賺 小錢 」 的 道理 。 當下 的 投資 ， 你 會 考慮 它 的 價格 還是 報酬率 ？ 當 有 一 檔 股價 是 200 元 ， 另 一 檔 為 50 元 ， 若 對 兩 檔 未來 的 預期 是 相同 的 ， __UNDEF__ 4 張 50 元 的 股票 不 也 等同 一 張 200 元 的 股票 （ 有 些 投資人 會 將 低價股 視為 價值股 ， 這 是 價值股 與 成長股 之 爭 ， 但 在 此 不 討論 此 因素 ） ； 但是 若 一 檔 股票 報酬率 是 10％ ， 另 一 檔 為 5％ ， 你 會 毫不 考慮 選 10％ 那 支 股票 投資 吧 ？ 這 就 是 重點 了 ！ 投資 看贏家 ， 贏家 首重 報酬率 。 因此 ， 上面 以 「 股價 」 來 估計 波動性 ， 當然 就 不 是 贏家 所 要 看 的 ， 這時 就 得 先 將 價格 轉成 報酬率 後 ， 以 「 報酬 」 波動性 來 比較 投資 風險 ， 才 是 我們 投資人 所 需要 關心 的 。 因此 ， 將 價格 轉成 報酬率 後 ， 再 利用 報酬率 來 計算 標準 差 ， 結果 如 表 2-2 。 比較 報酬率 計算 的 標準