如 下 ： 從 某 方面 來 看 ， 從 一 邊 長 為 （ a＋b ） 正方形 中 減去 四 個 全 等 直角 三角形 ， 得到 的 是 一 個 以 三角形 斜邊 構成 的 正方形 （ 參圖 2 -2 中間 圖例 ） 。 從 另一方面 來 看 ， 從 同樣 的 正方形 中 減去 四 個 相同 的 全等 三角形 （ 參圖 2-2 左方 圖例 ） ， 得到 的 是 兩 個 以 短 邊 構成 的 較 小 正方形 。 因此 ， 得到 斜邊 形成 的 正方形 面積 等於 兩 個 較 小 正方形 的 面積 和 。 數學家 魯米斯 （ Elisha Scott Loomis ） 在 其 大作 《 畢氏 命題 》 （ The Pythagorean Proposition ， 一九四○年 出版 ） 中 ， 總計 列出 了 三百六十七 個 關於 畢氏 定理 的 證明 ， 包括 了 達文西 （ Leonardo da Vinci , 1452 - 1519 ） 以及 美國 第二十 任 總統 嘉菲爾 （ James Garfield , 1831 - 1881 ） 的 證明 。 圖 2-2 雖然 在 畢達哥拉斯 之前 ， 人們 還 不 知道 畢氏 定理為 一 「 真理 」 ， 體現 了 所有 直角 三角形 的 共同 特徵 ， 但 早 在 畢達哥拉斯 之前 人們 就 已經 認識 了 畢氏 三 元數 （ 即 構成 直角 三角形 的 三 個 邊 ） 了 。 一 個 古巴比倫 時期 （ 約 西元 前 一六○○年 ） 的 巴比倫 土板 ， 就 包含 了 十五 組 這 類 三 元數 。 巴比倫人 發現 ， 可以 用 下面 這 個 簡單 的 步驟 或 演算法 算出 畢氏 三 元數 。 任選 兩 個 整數 p 及 q ， 且 p 大於 q 。 你 就 可以 求出 畢氏 三 元數 ， 分別 為 p2－q2；2pq；p2＋q2 。 例如 ， 假設 q 為 1， p 為 4 。 那麼 p2－q2 = 42－12 = 16－1 = 5；2pq = 2×4×1 = 8；p2＋q2 = 42＋12=16＋1 = 17 。 這 個 數字 集合 15 、 8 、 17 就 是 畢氏 三 元數 ， 因為 152 ＋82 = 172 （ 225 ＋ 64 = 289 ） 。 你 可以 很 容易 證明出 ， 這 個 算法 可以 應用 在 任何 整數 p 及 q 上 （ 有 興趣 的 讀者 ， 附錄 1 裡 有 一 個 簡短 證明 ） 。 因此 ， 有 無窮 多 的 畢氏 三 元數 （ 已 為 歐幾里德 證明 ） 。 可是 ， 在 畢達哥拉斯 學派 的 世界 中 ， 有 規則 可 循 的 模式 不僅 限於 三角形 和 幾何 之中 。 和諧 之 音 傳說 ， 畢達哥拉斯 因為 發現 音階 的 音程 以及 音調 和 振動 中 的 弦 的 長度 相應 ， 而 發現 了 音樂 中 的 和諧 進行 （ harmonic progression ） 。 他 觀察到 ， 只要 把 一 根 弦 以 一 組 連續性 整數 的 比例 來 分段 （ 到 某 一 點 為止 ） 就 可以 發出 悅耳 的 和諧 音程 。 當 兩 個 任意 選出 的 音符 一起 發音 時 ， 發出 的 聲音 通常 都 很 刺耳 ， 只 有 幾 種 組合 可以 發出 悅耳 的 樂音 。 畢達哥拉斯 發現 ， 當 發出 音符 的 弦 的 長度比 是 依 頭 幾 個 簡單 整數 比 來 分割 時 ， 才 能 得到 這些 人間 難得 幾 回聞 的 和諧 樂音 。 當 弦 的 長度 比相 等 （ 比例 為 1：1 ） 時 ， 發出 的 是 同 一 個 音 ； 弦 的 長度比 為 1：2 時 ， 得到 八 度 音 ； 當 長度比 為 2：3 時 ， 得到 的 是 五 度 音 ； 3：4 時 ， 為 四 度 音 。 換句話說 ， 你 可以 撥 弦 發出 一 個 音符 。 如果 你 撥弄 一 個 緊繃度 相同 而 長度 卻 只有 一半 的 弦 ， 你 會 聽到 一 個 高 八 度 的 和諧音 。 同樣 的 ， 一 根 C 弦 的 6/5 會 發出 一 個 A音 ， 4/3 發出 G音 ， 3/2 發出 F音 等等 。 這些 驚人 的 早期 發現成 了 十六世紀 人們 更 精進 理解 音樂 音程 的 基礎 （ 老伽利略 〔 Vincenzo Galileo 〕 ， 名 物理學家 伽利略 之 父 ， 也 涉及 這些 發展 ） 。 一 本 在 一四九二年 出版 ， 由 加富里斯 （ Franchinus Gafurius , __UNDEF__ 1451 - 1552 ） 撰寫 的 音樂 樂理 書 中 有 一 幅 美妙 的 插圖 ， 顯示 畢達哥拉斯 正在 做 實驗 ， 測試 鎚 、 弦 、 鐘 和 笛子 等 不同 器具 發出 的 聲音 （ 圖 2 -3 左上方 所 示 為 聖經 人物 約伯 或 土巴 ， 亦即 「 豎琴 及 風琴 之 父 」 ） 。 可是 ， 畢派 份子 心 裡 卻 納悶 著 ， 如果 音樂 的 和諧音 可以 用 數字 來 表達 ， 為什麼 整 個 宇宙 就 不能 ？ 他們 因此 下結論 說 ， 宇宙 中 所有 物件 的 特性 都 來自 數字 的 屬性 。 例如 ， 天文 觀測 提示 天體 的 運動 極 具 規則性 ， 是 受 了 某 種 具體 秩序 的 管轄 。 這 就 導出 了 這 個 美麗 的 「 球體 之 和諧 」 的 觀念 — — 天體 的 規則性 運動 ， 使得 它們 得以 創作出 和諧 悅耳 的 音樂 。 著作等身 （ 寫 了 七十餘 部 關於 歷史 、 形而上學 及 文學 作品 ） 的 哲學家 波非雷 （ Porphyry , 232 - 304 ） 寫 了 本 畢達哥拉斯 小傳 ， 題名 《 畢達哥拉斯 的 生平 》 （ Life of Pythagoras ） ， 收錄 在 他 的 四 大 卷 《 哲學 歷史 》 （ History of Philosophy ） 套書 中 。 波非雷 如此 描述 畢達哥拉斯 ： 「 他 可以 聽到 宇宙 的 和諧音 ， 瞭解 天球 以及 那些 與 它們 保持 和諧 運動 的 星辰 譜出 的 音樂 ， 然而 吾等 平凡 之 輩 因為 個性 軟弱 無法 聞聽 。 」 在 羅列出 畢達哥拉斯 的 許多 非凡 氣質 後 ， 波非雷 繼續 寫道 ： 「 畢達哥拉斯 斷言 說 ， 九 位 繆斯 7 為 七 顆 行星 、 恆星 天球 以及 與 地球 唱反調 的 『 反 地球 』 （ counter-earth ） 所 發出 的 聲音 共同 組成 。 」 （ 按照 畢達哥拉斯 的 宇宙 理論 ， 反 地球 剛好 和 地球 相反 ， 繞 著 中心 之 火旋轉 ） 。 在 二十多 個 世紀 之後 ， 著名 的 天文學家 克卜勒 再次 精心 鑽研 這 個 「 球體 和諧 」 的 觀念 。 克卜勒 在 有生之年 裡 ， 目睹 戰爭 帶來 的 殘酷 及 痛苦 ， 他 因此 得出 結論 說 ： 地球 其實 是 由 兩 個 音符 所 組成 ， mi 代表 悲慘 （ 拉丁文 是 miseria ） ， fa （ 拉丁文 是 fames ） 代表 飢荒 。 用 克卜勒 自己 的 話 來 說 就 是 ： 「 地球 唱出 MI FA MI ， 因此 你 可以 從 這 隻 字 片語 中 猜想出 ， 在 我們 居住 的 這 個 家 中 ， 遍野 皆 是 悲慘 和 飢荒 。 」 圖 2 -3 畢氏 學派 對 數學 的 狂愛 也 招來 了 偉大 的 古希臘 哲學家 亞里士多德 的 小小 嘲弄 。 他 在 《 形而上學 》 （ Metaphysics ， 西元 前 四世紀 ） 一 書 中 寫道 ： 「 所謂 的 畢氏 學派 致力 於 數學 ， 也 是 第一 批 建立 這 門 科學 的 人 ； 深入 之後 ， 他們 妄想 這 （ 數學 ） 原理 就 是 所有 萬物 的 原理 。