。 在 這 項 發現 之前 ， 數學家 總是 假設 ， 如果 有 兩 條 線段 ， 其中 一 個 比 另 一 個 長 ， 一定 可以 找到 一 個 更 小 的 通約 線段 ， 使得 這 兩 個 線段 的 長度 都 可以 表示 成為 此 更 短線 段長 的 整數 倍 。 例如 ， 一線 段 長 等於 21.37 英寸 ， 另 一 個 是 11.475 英寸 ， 那麼 我們 可以 用 千分之一 英寸 為 單位 長 來 量度 此 兩 線段 ， 得到 第一 個 線段 的 長度 等於 21,370 個 千分之一 英寸 單位 ， 而 第二 個 線段 長 等於 11,475 個 千分之一 英寸 單位 。 對 早期 的 學者 而言 ， 要 找到 這 種 更 小 的 共同 量度 ， 端看 你 有無 足夠 的 耐心 去 搜尋 。 發現 不可 通約 性 的 意義 是 ， 無論 是 按 黃金 比例 把 一 條 直線 分割 後 的 兩 線段 （ 如 圖 1 -2 中 的 AC 及 CB ） ， 或是 正方形 的 對角線 和 邊長 ， 抑或 是 正 五邊形 的 對角線 和 邊長 之間 ， 都 找 不 到 可以 通約 的 長度 。 如果 我們 能 體認到 即使 是 分數 （ 或 說 有 理數 ） ， 如 1/2 、 3/5 、 11/13 等 ， 都 是 極 重要 的 人類 發現 ， 也 就 愈發 能夠 欣賞 發現 無理數 是 智能 上 何等 大 的 躍進 。 十九世紀 的 數學家 克羅內克 （ Leopold Kronecker , 1823 - 1891 ） 一語道盡 了 這 一 點 ： 「 上帝 造出 自然數 ， 其餘 都 是 人類 的 功績 。 」 我們 對於 古 埃及人 熟知 分數 的 知識 ， 大都 來自 「 萊因 （ 或 稱 阿姆斯 ） 紙草算經 」 （ Rhind 〔 Ahmes 〕 papyrus ） 。 這 是 一 個 長 約 十八 英尺 ， 高 十二 英寸 的 龐大 草紙本 ， 約 在 西元 前 一六五○年 從 更 早期 的 文件 抄寫 而 成 ， 抄錄 者 為 阿姆斯 。 後來 在 埃及 古都 底比斯 （ Thebes ） 被 人 發現 ， 而 在 一八五八年 被 蘇格蘭 古董 珍藏家 萊因 （ Henry Rhind ） 買下 ， 現 收藏 於 大英 博物館 中 （ 一些 斷簡 殘篇 意外 地 出現 在 美國 布魯克林 博物館 珍藏 的 一 批 醫藥 文件 中 ） 。 萊因紙 草算 經 實際 上 是 一 本 計算 手冊 ， 裡面 有 些 簡單 單位 分數 的 名稱 ， 如 1/2 、 1/3 、 1/4 等等 ， 還 有 2/3 。 一些 其他 草紙 本 也 出現 了 3/4 的 單位 名 。 古 埃及人 把 這 幾 個 單位 分數 加起來 ， 以 得出 其他 分數 ； 例如 ， 他們 用 1/2 ＋ 1/5 ＋ 1/10 來 代表 4/5 ， 或者 用 1/24 ＋ 1/58 ＋ 1/174 ＋ 1/232 來 代表 2/29 。 為了 測量 一 種 稱為 「 海克特 」 （ hekat ） 的 穀物量器 （ 譯按 ： 類似 中國 的 升 、 斗 ） 的 分 數量 ， 古 埃及人 用 的 是 當時 被 稱為 「 霍勒斯眼 」 （ Horus-eye ） 的 分數 。 傳說 ， 俄賽里斯 （ Osiris ） 和 愛色斯 （ Isis ） 之 子 霍勒斯 與 其 殺 父 仇人 ， 叔父 塞特 （ Seth ） 在 某 次 爭戰 中 ， 眼球 被 扯出 ， 碎裂成 碎片 。 後來 ， 學問 與 計算 之 神 透特 （ Thoth ） 找到 這些 碎片 ， 想 把 它們 重新 修復成 眼睛 。 可是 ， 他 只 找到 那些 相當於 1/2 、 1/4 、 1/8 、 1/16 、 1/32 及 1/64 分數 的 碎片 。 這些 分數 加起來 只有 63/64 ， 最後 透特 施展 魔法 變出 不見了 的 1/64 ， 方 才 大功告成 。 奇怪 的 是 ， 這 個 埃及 的 分數 單位 系統 繼續 在 歐洲 沿用 了 好幾 個 世紀 。 為了 方便 那些 在 文藝復興 時期 記 不 住 如何 加減 分數 的 人 ， 有 些 數學 教科書 作者 乾脆 把 運算 規則 寫成 歌謠 。 一 個 有趣 的 例子 是 海爾斯 （ Thomas Hylles ） 寫 的 《 通俗 的 分數 及 整數 算術 》 （ The Art of Vulgar Arithmetic , both in Integers and Fractions ， 一六○○年 出版 ） ： 加分數 ， 減 分數 亦然 ， 首先 用 簡化 方法 ， 把 它們 變成 完美 ， 產生 相同 分母 ， 一旦 有 了 相同 的 分母 ， 就 把 他們 的 上面 （ 分子 ） 加 或 減 ， 不 必管 之前 的 分母 是 什麼 。 無論 圍繞 在 畢達哥拉斯 及 畢氏 學派 兄弟會 周圍 的 人 的 保密 功夫 如何 ， 也 或許 正 因為 如此 ， 人們 暫時 假定 他們 確實 做出 了 某些 令 人 欽佩 的 數學 發現 ， 而 把 功勞 歸給 他們 ， 當中 可能 包括 了 黃金 比例 及 不可 通約 性 。 可是 ， 我們 已經 知道 古巴比倫人 和 古 埃及人 在 數學 上面 的 卓著 聲譽 及 成就 ， 而 畢達哥拉斯 本人 可能 曾 在 埃及 和 巴比倫 學習 數學 ， 我們 或許 會 問 ： 是否 在 畢達哥拉斯 之前 ， 這些 文明 或 其他 文明 就 發現 了 黃金 比例 ？ 這 個 問題 隨著 有 文獻 爆料 在 埃及 吉薩 的 古夫 （ Khufu ） 大 金字塔 內 可以 找到 黃金 比例 ， 而 變 得 格外 吸引人 。 要 回答 這 個 問題 ， 我們 必須 展開 一 段 考古 數學 的 長征 之 旅 。 譯注 1 希伯來 字母 代碼 ， 猶太教 名詞 ， 指用 數字 代表 希伯來 字母 。 卡巴拉 派解 經家 常 用 這 種 方法 闡述 經文 的 靈意 。 根據 他們 制訂 的 系統 ， 希伯來文 二十二 個 字母 中 的 前 十 個 依次 代表 數字 1 ~ 10 ， 其次 八 個 依次 代表 20 ~ 90 ， 最後 四 個 分別 代表 100 、 200 、 300 和 400 。 2 反 基督 是 中古 歐洲人 發明出 的 魔鬼王 ， 聖經 上 並 沒有 。 他們 按 二元論 （ 在 這 文脈 中 ， 意思 是 善 與 惡 的 對立 ） 的 說法 ， 上帝 和 魔鬼 對立 ， 因此 既然 有 一 個 基督 ， 也 一定 有 一 個 反 基督 。 現在 這 觀念 已 不 常 提到 。 __UNDEF__ 3 中國 用 的 字 「 星期 」 的 意思 就 是 「 星 」 的 「 期 」 。 一 星期 的 七 天 和 星 的 關係 如 下 （ 這些 關係 都 來自 羅馬 時代 ， 在 拉丁語系 中 特別 明顯 ） ： 星期日 ， Sunday 是 太陽 （ Sun ） 的 日子 ； 星期一 ， Monday 是 月 （ Moon ） 的 日子 ； 星期二 ， Tuesday 是 火星 的 日子 （ 在 拉丁 語系 如 法文 中 ， 星期二 稱為 mardi ， 意指 火星神 或 戰神 ， Tuesday 為 英文 特有 ， 來自 古 英文 Tiwes daeg ， 或 Tig’s day ， 英國 神話 中 的 戰神 是 Tiu ） ； 星期三 ， Wednesday ， 法文 是 mercredi ， 水星 （ Mercury ） 日 ， 英文 來自 丹麥語 的 變音 ； 星期四 ， Thursday ， 法文 是 jeudi ， 木星 的 日子 ， 英文 來自 北歐 雷神 Thor ； 星期五 ， Friday ， 金星 的 日子 ， 法文 是 vendredi ， 金星 （ Venus ）