布伊特伊斯蘭 （ Buyid Islamic ） 王朝 的 統治 之下 。 這 個 王朝 的 最盛期 在 阿都德 ．阿德—達瓦 （ Adud ad-Dawlah ） 的 治 內 ， 他 慷慨 贊助 科學 及 藝術 的 發展 。 阿布爾—瓦發 是 九五九年 受 邀 到達 瓦皇宮 內 的 幾 位 數學家 之 一 。 他 的 第一 本 主要 著作 是 《 書記 及 商人 所 需 的 數學 科學 》 （ Book on What Is Needed from the Science of Arithmetic for Scribes and Businessmen ） ， 按 阿布爾 — 瓦發 自己 的 說法 ， 它 「 含有 老鳥 或 菜鳥 ， 下屬 或 上司 必須 知道 的 一切 算術 」 。 有趣 的 是 ， 雖然 阿布爾 —瓦發 本人 是 應用 印度 數字 的 老手 ， 但 他 的 書 中 完全 看 不 到 數字 符號 — — 所有 數字 都 以 文字 表達 ， 所有 的 計算 都 是 心算 。 這 可能 反映出 在 第十世紀 時 ， 印度 數字 還 沒有 應用到 商業圈 中 。 阿布爾 — 瓦發 對 黃金 比例 的 興趣 出現 在 他 的 另 一 本 書 中 ： 《 工匠 必須 知道 的 幾何 作圖 》 （ A Book on the Geometric Constructions Which Are Needed for an Artisan ） 。 在 這 本 書 中 ， 阿布爾—瓦發 提出 了 一 個 極 聰明 的 方法 ， 可以 畫出 五邊形 及 十邊形 ， 以及 如何 把 正 多邊形 畫 在 圓 及 其他 多邊形 之內 。 他 的 作品 中 還 有 一 個 與眾不同 的 特色 為 ， 他 利用 直尺 及 圓規 來 解 某 個 系列 的 問題 ， 可是 這 個 圓規 的 兩 支 腳 之間 的 角度 固定 不變 （ 稱為 「 生鏽 圓規 」 〔 rusty compass 〕 作圖法 ） 。 這 個 特別 的 類型 可能 是 受到 巴普斯 《 集藏 》 一 書 的 啟發 ， 但是 也 可能 代表 阿布爾 — 瓦發 對 實用 問題 的 反應 — — 用 一 個 固定 角度 的 圓規 得出 的 結果 ， 要 比 把 圓規 的 角度 變來變去 更為 精確 。 在 黃金 比例史 上 ， 上述 以及 其他 伊斯蘭 數學家 固然 做出 了 重要 貢獻 ， 但 只 能 算是 漸進性 的 進展 。 這 種 情形 在 科學 領域 裡 可 說 是 屢見不鮮 ， 因為 往往 必須 要 有 這 類 緩慢 進展 的 準備期 之後 ， 才 能 誕生出 下 一 個 重大 的 科學 突破 。 偉大 的 劇作家 蕭伯納 （ George Bernand Shaw , 1856 - 1950 ） 曾 用 下面 這 段 話 來 表達 他 對 進步 的 觀點 ， 他 說 ： 「 理性 的 人 讓 自己 適應 這 個 世界 ， 而 非理性 之 人 則 執意 試圖 讓 這 個 世界 來 適應 自己 。 因此 所有 的 進步 都 來自 非理性 者 。 」 在 黃金 比例 的 例子 裡 ， 下 一 個 量子級 的 大躍進 則 要 等到 中古 時代 最 卓越 的 歐洲 數學家 ， 李奧納多 （ 也 就 是 費波納奇 ） 的 出現 了 。 第五 章 費波納奇 數字 無所不在 這 九 個 印度 數字 是 ：9 8 7 6 5 4 3 2 1 。 用 這 九 個 數字 ， 再 加上 這 個 0 的 符號 … … 可以 把 任何 數字 寫出 。 費波納奇 （ Leonardo Fibonacci , __UNDEF__ 約 1170 - 1240 ） 以 上面 這 幾 句 話 破題 ， 比薩 的 李奧納多 （ 拉丁文 是 ： 李奧納多．比薩奴斯 〔 Leonardus Pisanus 〕 ） ， 亦 被 稱為 李奧納多 ． 費波納奇 （ Leonardo Fibonacci ） 開始 寫出 他 最 著名 的 作品 ： 出版 於 一二○二年 的 《 算盤 之 書 》 （ Liber Abaci ） 。 本 書 出版 的 同時 ， 只有 少數 幾 位 具有 特權 的 歐洲 知識 份子 因為 喜愛 鑽研 阿爾 —卡瓦雷茲米 和 阿布．卡米爾 的 作品 （ 讀 的 是 翻譯本 ） ， 知道 我們 今日 應用 的 印度 — 阿拉伯 數字 。 有 一陣子 ， 費波納奇 隨著 擔任 海關 暨 貿易 官員 的 父親 居住 在 布幾亞 （ Bugia ， 今日 的 阿爾及利亞 ） ， 後來 前往 地中海 國家 旅行 （ 包括 希臘 、 埃及 和 敘利亞 等 地 ） ， 因而 有 機會 學習 及 比較 不同 的 數字 系統 與 算術 演算 方法 。 在下 了 這 個 結論 ， 說 包括 了 位值 的 印度 — 阿拉伯 數字 要 比 其他 所有 方法 都 來得 優越 之後 ， 他 把 書 中 的 前面 七 章 完全 用來 解釋 印度 — 阿拉伯 符號 以及 它 的 實際 應用 。 費波納奇 出生 於 一一七○年代 ， 父親 古格里爾摩 （ Guglielmo ） 是 一 位 商人 及 政府 官員 。 費波納奇 這 個 暱稱 源自 拉丁文 的 filius Bonacci ， 意為 「 波納奇 家庭 之 子 」 或 「 好 本質 之 子 」 ； 數學 歷史學家 李步雷 （ Guillaume Libri ） 最 有 可能 在 他 一八三八年 出版 的 《 義大利 的 數學 科學史 》 （ Histoire des Sciences Mathematique en Italie ） 一 書 中 最先 使用 這 個 綽號 ， 雖然 有 一些 研究 學者 認為 十八世紀 末 的 某些 義大利 數學家 才 是 最早 的 採用 者 。 在 某些 手稿 及 文件 中 ， 費波納奇 自稱為 或 被 人 稱為 李奧納多．畢格羅 （ Leonardo Bigollo ） 或是 連納地．畢格羅．皮桑尼 （ Leonardi Bigolli Pisani ） ， 在 托斯卡尼 和 威尼斯 的 方言 中 ， 「 畢格羅 」 的 意思 是 「 無足輕重 之 人 」 。 十二世紀 的 比薩 是 一 個 忙碌 的 港口 ， 內陸 及 海外 來 的 貨物 都 會 經過 這裡 。 當然 比薩 最 廣為 人 知 的 就 是 著名 的 比薩 斜塔 ， 該 塔 在 費波納奇 的 青少年 時代 開始 興建 。 顯然 ， 所有 這些 商業 上 的 狂熱 需要 大量 的 貨倉 以及 價格 的 紀錄 。 李奧納多 一定 有 機會 看到 不少 的 文件 ， 他 把 價格 以 羅馬 數字 列出 ， 並且 用 算盤 把 它們 全部 相加 起來 。 但是 用 羅馬 數字 來 做 算術 稱不上 有趣 。 例如 ， 要 得到 3,786 和 3,843 的 和 ， 你 必須 把 MMMDCCLXXXVI 和 MMMDCCCXLIII 相加起來 1 。 如果 你 認為 這 已經 夠 笨拙 了 ， 試 一下 把 那些 數字 相乘 。 不管 如何 ， 如果 這些 中古 時代 的 商人 只 限於 做 些 簡單 的 加減 ， 仍 可以 勉強 應付 。 羅馬 數字 中 所 欠缺 的 一 個 基本 元素 就 是 位值 系統 — — 譬如 ， 547 這 個 數字 的 真正 意思 是 ： （ 5 × 102 ） ＋ （ 4 × 101 ） ＋ （ 7 × 100 ） 。 西歐人 藉由 使用 算盤 來 克服 他們 數字 系統 中 欠缺 位值 系統 的 缺陷 。 算盤 一字 abacus 可能 起源於 avaq ， 在 希伯來文 中 意指 塵土 ， 因為 這些 最早 的 計算 元件 不過 是 撒上 沙 的 板子 ， 在 這 塊 板子 上面 可以 畫出 數字 來 。 到 了 費波納奇 的 時代 ， 算盤 有 了 在 金屬線 上 滑動 的 算珠 ； 那些 不同 的 金屬線 就 扮演 著 位值 的 角色 。 一 個 典型 的 算盤 附有 四 根 金屬線 ， 在 最 下面 的 算珠 代表 個位 ， 在 上面 的 一 根 代表 十 位 ， 第三 根 代表 百 位 ， 最 上面 者 則 代表 千 位 。 因此