從 這裡 開始 ： 讓 我們 審視 一 個 極盡 想像 之 力 也 猜 不 到 它 和 兔子 的 生育 問題 有 何 關係 的 現象 — — 光線 的 光學 。 假設 我們 有 兩 片 其 組成 玻璃 種類 稍 異 （ 指 有 不同 的 光 折射 屬性 ， 或 說 「 折射 係數 」 不同 ） 的 玻璃片 ， 而且 面面 相合 排列 （ 如 圖 5-2 a 所 示 ） 。 當 我們 把 光 照 向 其中 的 一 片 ， 這 光線 在 射出 之前 會 被 這 四 個 反射面 所 反射 （ 譯按 ： 每 片 玻璃片 有 兩 個 反射面 ） 。 說 得 更 明確 些 ， 它們 可以 直接 穿過 不 受到 反射 ， 或者 在 射出 之前 可以 被 內 反射 一 次 、 兩 次 、 三 次 等等 ， 也 有 可能 可以 內 反射 無數 多 次 ； 所有 這些 途徑 都 符合 光學 原理 。 現在 ， 讓 我們 來 算 一下 可以 從 這 兩 片 玻璃 系統 中 反射出來 的 光線 數目 。 如果 沒有 內 反射 ， 那麼 只 有 一 道 光線 射出 （ 見 圖 5-2 b ） 。 當 所有 能 做 一 次 內 反射 的 可能性 都 想到 時 ， 有 二 道 光 射出 （ 見 圖 5-2 c ） ， 因為 僅有 二 條 路徑 可以 遵行 。 做 二 次 內 反射 時 ， 共 有 三 道 光 射出 （ 見 圖 5-2 d ） ； 做 四 次 內 反射 時 ， 有 八 道 光 射出 （ 見 圖 5-2 f ） ； 有 五 次 內 反射 時 ， 有 十三 道 光 射出 （ 見 圖 5-2 g ） 等等 。 這 個 射出 的 光 的 數目 ： 1, __UNDEF__ 2 , __UNDEF__ 3 , __UNDEF__ 5 , __UNDEF__ 8 , __UNDEF__ 13 , __UNDEF__ … 也 形成 一 個 費波納奇 序列 。 圖 5-2 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( f ) 現在 再 讓 我們 思考 下面 這 個 截然不同 的 問題 。 一 位 小孩 正 打算 爬 樓梯 。 他 能 一 步 爬上去 的 最 大 梯級 是 二 ， 也就是說 ， 他 能 一 次 爬上 一 級 ， 或 兩 級 。 如果 樓梯 總共 有 n 級 ， 他 能 爬上 的 不同 方法 ， 若 以 Cn 表示 ， 能 有 多少 種 ？ 如果 只有 一 級 （ n = 1 ） ， 那麼 顯然 只 有 一 種 爬上去 的 方法 ， 因此 C1 = 1 。 如果 有 兩 級 ， 他 可以 一 次 爬上 兩 級 ， 或者 每 次 爬 一 級 ， 因此 有 兩 種 不同 方法 ， C2 = 2 。 如果 有 三 級 ， 則 有 三 種 不同 的 爬法 ： 1＋1＋1 、 1＋2 或 2＋1； 因此 C3 = 3 。 如果 有 四 級 ， 能 爬上去 的 數目 增加為 C4 = 5：1＋1＋1＋1 、 1＋2＋1 、 1＋1＋2 、 2＋1＋1 、 2＋2 。 如果 有 五 級 ， 則 有 八 種 方法 ：C5 = 8：1＋1＋1＋1＋1 、 1＋1＋1＋2 、 1＋1＋2＋1 、 1＋2＋1＋1 、 2＋1＋1＋1 、 2＋2＋1 、 2＋1＋2 、 1＋2＋2 。 我們 發現 這些 可能 的 爬梯 方法 的 數目 為 ： 1, __UNDEF__ 2 , __UNDEF__ 3 , __UNDEF__ 5 , __UNDEF__ 8 , __UNDEF__ … 也 形成 一 個 費波納奇 序列 。 最後 讓 我們 來 檢視 一 隻 雄 蜂 的 家譜 。 工峰 的 卵 可以 不 受精 而 長成 雄蜂 。 因此 一 隻 雄 蜂 沒有 「 父親 」 只有 「 母親 」 。 蜂后 的 卵 卻 能 從 雄蜂 處 受精 ， 發育成 雌 蜂 （ 不 是 變成 工蜂 ， 就 是 蜂后 ） 。 因此 ， 一 隻 雌 蜂 既有 「 母親 」 也 有 「 父親 」 。 所以 ， 一 隻 雄 蜂 有 一 個 「 雙親 」 （ 即 母親 ） ， 二 個 祖輩 雙親 （ 牠 的 母親 的 兩 個 雙親 ） ， 三 個 曾祖輩 雙親 （ 有 二 個 為 牠 母親 的 雙親 ， 一 個 為 牠 的 祖父 的 「 雙親 」 ） ， 等等 。 這些 在 家譜 中 的 數目 1, __UNDEF__ 1 , __UNDEF__ 2 , __UNDEF__ 3 , __UNDEF__ 5 , __UNDEF__ … 也 形成 一 個 費波納奇 序列 。 這 個 家譜 顯示 如 圖 5 -3 。 到頭來 都 會 變 得 千篇一律 ， 毫無 創意 活力 可 言 。 如果 把 黃金 比例 硬 放進 繪畫 中 ， 最後 也 會 流於 形式化 ， 像 是 一 個 模子 刻出來 的 。 西洋 畫家 自 文藝復興 時期 以來 ， 畫風 不 知道 改變 了 多少 。 最初 把 希臘 神話 的 題材 用盡 後 ， 就 開始 畫 風景 、 畫 災禍 ， 並 發展出 光 與 影 的 技術 ， 再 下去 是 印象派 、 後期 印象派 等等 ； 音樂 亦然 。 巴哈 建立 了 音樂 的 和音 風格 ； 海頓 則 創始 了 交響樂 ； 莫札特 則 以 他 的 天賦 奇才 ， 集 自 巴哈 以來 的 音樂 形式 於 大成 ； 到 了 貝多芬 又 更 進一步 開拓出 新 的 音樂 風格 ， 跳脫 古典 音樂 的 傳統 ， 走出 一 條 新 的 方向 ， 加上 他 獨特 的 音樂 旋律 及 音樂 總體 之 美 ， 難怪 博得 「 樂聖 」 之 名 。 從 這些 看來 ， 藝術 不 在於 模仿 ， 而 在於 創意 。 在 這 種 前提 下 ， 硬 要 把 黃金 比例 放進去 ， 幾乎 是 不可能 的 事 。 關於 上述 種種 作者 做 了 詳盡 而 徹底 的 分析 ， 證明 黃金 比例 並 未 如 黃金 比例迷 所 想像 的 在 藝術 創作 中 佔有 如此 顯著 的 地位 。 黃金 比例 的 地位 乃是 上面 所 說 過 的 ， 在 最 意想不到 的 自然 現象 及 數學 中 出現 ， 而 把 一 大 堆 表面 上 看來 風馬牛不相及 的 事物 或 學門 ， 聯繫 在一起 。 我們 所 知道 的 數學 是否 萬能 ？ 現在 我 要 談 一下 作者 在 最後 一 章 提出 的 ， 數學 是否 萬能 ， 或者 是否 有 數學 之外 的 其他 方法 可以 瞭解 大自然 ？ 他 提到 了 渥夫蘭 （ Stephen Wolfram ） 的 書 ， 《 一 種 新 科學 》 （ A New Kind of Science ） 。 這 本 書 長達 一千二百 頁 ， 以 通俗 的 口吻 ， 逐步 解釋 相當 深奧 的 數學 ， 如 碎形 幾何 、 計算式 複雜 理論 、 非 線形 動力學 ， 還 有 奈米 技術 ， 以及 最 新 的 所謂 「 細胞 自動機 __UNDEF__ 」 （ cellular automata ） 的 應用 等等 。 我 在 此 先 把 這 本 書 的 內容 及 數學 是否 萬能 的 問題 簡述 一下 。 先 說 數學 萬能 的 問題 。 一九七○年代 ， 當 美國 航太 總署 （ NASA ） 把 太空人 送到 月球 來回 數 次 ， 都 沒有 出 大 漏子 後 ， 科技 人員 當然 得意 萬分 。 可是 卻 也 引來 幾 位 電視 脫口秀 主持人 的 嘲諷 戲謔 ， 其中 一 位 說 得 很 妙 ： 「 他們