在 機率 的 計算 中 。 一 個 著名 例子 便是 「 布豐 投針 問題 」 （ Buffon’s Needle ） — — 命名 自 法國 數學家 布豐 伯爵 （ George Louis Leclerc , Comte de Buffon , __UNDEF__ 1707 - 1788 ） 3 ， 以 紀念 他 在 一七七七年 提出 並 解決 了 這 個 問題 。 布豐 問 ： 假若 地板 上 有 一 張 很 大 的 紙 ， 你 在 上面 畫上 若干 間隔 距離 相等 的 平行線 。 然後 ， 取 一 根 長度 剛好 等於 此 間隔距離 的 針 ， 隨意 拋擲 ， 讓 它 自由 掉落 在 紙 上 （ 參看 圖 1 -1 ） 。 那麼 ， 掉下 的 針會 和 這些 平行線 相交 的 機率 為 何 ？ 結果 令 人 大吃一驚 ， 最後 的 答案 是 2/π 。 因此 ， 理論 上 ， 你 可以 重複 這 實驗 許多 次 ， 經由 觀測 計算 得 出 拋擲 的 針 與 直線 相交 的 次數 的 百分比 來 計算 π值 （ 不過 ， 還是 有 其他 較 不 冗長 的 方法 來 計算 π ） 。 如今 ，π 已經 變成 了 日常 用語 ， 甚至 激勵 了 電影 導演 艾朗夫斯基 （ Darren Aronofsky ） ， 在 一九九八年 拍出 同 名 懸疑 科幻 電影 （ π-Faith in Chaos ） 。 __UNDEF__ 圖 6 - 16 是 一 幅 摘 自 《 宇宙 的 奧祕 》 的 示意圖 ， 闡明 了 克卜勒 的 宇宙 模型 。 克卜勒 在 他 的 書 中 花 了 不少 篇幅 ， 從 它們 在 幾何 、 星相 和 形而上學 的 屬性 ， 來 解釋 為什麼 他 在 這些 柏拉圖 立體 和 行星 之間 建立 特別 的 關係 。 他 根據 這些 立體 與 天球 之間 的 關係 來 安排 立體 ， 假設 這 個 天球 和 其他 立體 的 差異 反映出 了 造物主 與 其 受造物 之間 的 分別 。 例如 ， 正 立 方體 的 特徵 是 只 有 一 個 角度 — — 直角 （ right angle ） 。 對 克卜勒 而言 ， 這 象徵 了 土星 的 孤立性 7 等等 。 更 廣泛 地 說 ， 星相學 對 克卜勒 而言 是 可敬 的 ， 因為 「 人 是 宇宙 及 所有 創世 的 目的 」 ， 而 應用 形而上學 的 方法 的 理由 是 「 數學 事物 乃 物理 世界 之 因 ， 因為 打從 開天闢地 之初 ， 上帝 本身 就 帶 著 簡單 及 神聖 的 抽象 數學 概念 ， 作為 祂 計劃 中 的 物理 世界 的 原型 。 」 圖 6 - 16 地球 所在 的 位置 之所以 雀屏中選 ， 是 為了 能 把 那些 直立 的 立體 （ 如 正 立方體 、 四面體 及 十二面體 ） 和 那些 「 漂浮 」 的 立體 （ 如 八面體 及 二十面體 ） 分開 。 從 這些 模型 中 得到 的 行星 間間隔 和 某些 觀測值 十分 相符 ， 可是 有 一些 卻 出現 了 顯著 的 差異 （ 雖然 差異 通常 都 在 10% 之內 ） 。 克卜勒 對於 自己 的 模型 是 百分之百 有 信心 ， 因此 他 把 出現 這些 不 相符 的 責任 大多 歸給 軌道 的 量度 不 精確 。 他 把 書 寄給 不同 的 天文學家 ， 請 他們 評論 ， 包括 當時 最 重要 的 人物 ， 丹麥 天文學家 第谷 （ Tycho Brahe , 1546 - 1601 ） 8 。 有 一 本 甚至 送到 了 偉大 的 伽利略 （ Galileo Galilei , 1564 - 1642 ） 的 手 中 ， 他 告訴 克卜勒 說 ， 他 本人 也 相信 哥白尼 模型 ， 但 不禁 惋惜 地 說道 ： 「 身在 一 大 群 （ 笨蛋 ） 當中 ， 」 哥白尼 「 看上去 似乎 只有 受 人 嘲笑 ， 被 噓 下台 的 份兒 。 」 不必 說 ， 克卜勒 根據 柏拉圖 立體 建立 的 宇宙 模型 非但 絕對 錯誤 ， 即使 在 克卜勒 的 時代 ， 都 是 癲狂 至極 。 一七八一年 天王星 的 發現 以及 一八四六年 海王星 的 發現 ， 則 把 這 個 垂死 的 理念 送進 棺木 。 誠如 天文學家 金格瑞契 （ Owen Gingerich ） 在 他 所 寫 的 克卜勒 生平 文章 中 說 的 ： 「 在 歷史 上 ， 很 少 有 一 本 內容 錯誤 的 書 能 在 未來 科學 的 發展 進程 上 ， 產生 這麼 大 的 影響力 。 9 」 克卜勒 把 畢氏 學派 這 種 用 數學 來 解釋 宇宙 的 理念 ， 向 前 推進 了 一 大 步 。 他 發展出 一 個 真正 的 宇宙 數學 模型 ， 它 一方面 是 基於 既有 的 觀測值 ， 另一方面 卻 又 被 後來 的 觀測 所 推翻 。 這些 恰 是 「 科學 方法 」 不可或缺 的 要素 — — 這 是 一 種 有 系統 的 方法 ， 以 一 個 大自然 的 模型 去 解釋 觀測到 的 事實 。 一 個 理想 的 科學 方法 從 蒐集 事實 開始 ， 然後 提出 一 個 模型 ， 這 個 模型 的 預測 再 透過 實驗 或 更 進一步 的 觀測 來 測試 。 事實 上 ， 克卜勒 有 機會 根據 他 的 理論 做出 成功 的 預測 。 一六一○年 ， 伽利略 用 他 的 望遠鏡 發現 了 太陽系 中 的 四 個 新 天體 。 如果 證明 這些 新 天體 就 是 行星 ， 那麼 它 早已 在 克卜勒 有生之年 中 給予 他 的 理論 致命 的 一 擊 。 不過 ， 可以 讓 克卜勒鬆 一 口氣 的 是 ， 最後 證實 這些 新 的 天體 只是 繞 著 木星轉 的 衛星 （ 和 月球 一樣 ） 而已 ， 並 不 是 繞 著 太陽轉 的 新 行星 。 今日 志在 解釋 所有 基本 粒子 （ 次 原子 粒子 ） 及 其 之間 交互作用 的 物理 理論 的 建立 ， 以 一 種 很 像 克卜勒 理論 的 形式 來 倚賴 數學 上 的 對稱性 ， 克卜勒 則 倚賴 柏拉圖 立體 的 對稱 屬性 去 解釋 行星 的 數目 和 性質 。 克卜勒 的 模型 和 今日 的 基本 宇宙 理論 有 些 共同點 ： 這 兩 個 理論 的 本質 都 十分 簡約 — — 它們 嘗試 以 幾 個 基本 定律 去 解釋 許多 的 現象 。 例如 ， 克卜勒 的 理論 可以 從 柏拉圖 立體 推論出 行星 的 數目 以及 它們 軌道 的 屬性 。 同樣 的 ， 稱為 弦論 的 現代 基本 理論 應用 某 種 基本 實體 （ 弦 ， 它們 極 小 ， 比 原子核 小上 10 - 18 倍 ） 來 推論出 所有 基本 粒子 的 屬性 。 和 小提琴 的 弦 一樣 ， 這些 弦能 振動 ， 產生出 不同 的 「 音色 」 ， 而 所有 已 知 基本 粒子 不過 是 這些 不同 的 音色 而已 。 克卜勒 停留 格拉茲 期間 ， 由於 他 對 黃金 比例 的 興趣 始終 不 減 而 引發 了 另 一 個 有趣 的 結果 。 一五九七年 十月 ， 克卜勒 寫信 給 他 以前 的 教授 馬斯特林 下面 這 則 定理 ： 「 如果 在 一 條 被 中末 比 分割 的 直線 上 作圖 一 個 直角 三角形 ， 而且 使得 這 個 直角 落在 以 第二 個 點 （ 即 黃金 分割點 ） 所 做 的 垂直線 上 ， 那麼 直角 三角形 直角 上 的 短邊 和 被 分割 直線 的 長段 相等 。 」 克卜勒 的 陳述 如 圖 6-17 所 示