理性 元素 結合為 一 ， 成 了 他 所有 研究 的 特徵 。 作為 一 位 基督徒 自然 哲學家 ， 克卜勒 認定 他 的 天職 就 是 根據 這 個 宇宙 的 創世 者 的 意向 來 瞭解 這 個 宇宙 。 克卜勒 把 他 對 太陽系 的 理念 與 數字 5 強力 結合 （ 採 自 畢氏 學派 的 思想 ） 後 ， 如此 描述 黃金 比例 ： 這 個 比例 的 一 個 奇特 之 處 是 ， 可以 從 較 大 的 一 部分 及 整體 得出 一 個 差不多 的 比例值 ； 本來 是 較 大 的 部分 ， 現在 變成 較 小 的 ， 以前 是 整體 的 現在 變成 較 大 的 ， 而 這 二 者 之 和 現在 也 有 了 這 個 整體 的 比例 。 這 可以 無止盡 地 做下去 ； 神 的 比例 永遠 留駐 。 我 相信 當 創世 者 引入 以 祂 自己 為 形象 、 可以 延 無盡 的 創造 （ 指 人 ） 時 ， 也 曾 引用 過 這 個 幾何 比例 的 理念 。 我 在 幾乎 所有 果樹 的 開花 中 ， 都 看到 了 這 個 數字 五 ； 這些 果子 是 創造 ， 而 花 之 存在 不 是 為了 它們 自己 ， 而是 為 了 將 結 的 果子 。 幾乎 所有 會 開花 的 果樹 都 在 此 被 一網打盡 了 ； 雖然 我 沒有 看過 它們 開 的 花 ， 但 單單 從 它們 的 果核 為 七 、 十一 、 或 九 個 ， 而 非 五 個 來 判斷 ， 我 或許 必須 把 檸檬 及 橘子 摒除 在外 。 可是 在 幾何 中 ， 這 個 數字 五， 即 五邊形 ， 是 由 這 個 神 的 比例 所 建構 。 再者 ， 在 太陽 的 運動 （ 或者 ， 就 我 所 信 的 ， 地球 的 運動 ） 和 處於 有 衍生 能力 頂端 的 金星 的 運動 之間 有 8 對 13 的 比例 ， 而 我們 將要 聽到 ， 這 比例 很 接近 神 的 比例 。 最後 ， 按照 哥白尼 的 說法 ， 地球 的 （ 軌道 ） 球面 在 火星 及 金星 的 （ 軌道 ） 球面 之間 。 從 它們 之間 可以 得到 十二面體 及 二十 面體 ， 二 者 在 幾何 中 都 是 神 的 比例 的 衍生 ； 但 不管 怎麼樣 ， 生育 繁殖 就 是 在 我們 的 地球 上 發生 了 : 。 圖 6-19 圖 6-20 簡言之 ， 克卜勒 真的 相信 黃金 比例 是 上帝 創世 時 所 使用 的 一 個 基本 工具 。 這 段 敘述 也 證實 了 ， 克卜勒 的確 知道 黃金 比例 及 費波納奇 數字 出現 於 花瓣 的 排列 中 。 克卜勒 這 段 在 他 一生 中 相對 平靜 、 專業 上 也 豐收 有成 的 布拉格 歲月 ， 在 一連串 不幸 事件 的 打擊 下 ， 終於 在 一六一一年 宣告 結束 。 先 是 愛子 菲德利希 死 於 天花 ， 接著 愛妻 芭芭拉 也 感染 傷寒 而 死 （ 佔領 當地 的 奧地利 軍隊 帶來 的 傳染病 ） 。 最後 ， 魯道夫 皇帝 被迫 遜位 ， 把 王位 讓給 不能 容忍 新教徒 的 兄弟 馬提亞斯 。 克卜勒 因此 被迫 離開 布拉格 來到 今日 奧地利 的 林茨 （ Linz ） 。 一六一九年 ， 克卜勒 出版 了 他 的 第二 本 宇宙學 力作 ： 《 宇宙 的 和諧 》 （ Harmonice Mundi ） ， 也 把 克卜勒 在 林茲 的 事業 推向 最高峰 。 還 記得 ， 對 畢達哥拉斯 及 畢氏 學派 而言 ， 第一 個 代表 宇宙 現象 和諧 的 證據 是 數學 吧 。 只有 依據 某 種 簡單 數字 比 製作 的 弦長 能 發出 和諧 的 樂音 。 2：3 弦 發出 的 是 五 度 音， 3：4 發出 的 是 四 度 音 ， 等等 。 類似 的 和諧 行星 間隔 也 被 認為 會 發出 「 天球 的 音樂 」 。 克卜勒 對 這些 觀念 非常 熟悉 ， 因為 他 讀 過 老伽利略 所 寫 的 《 古代 及 現代 音樂 的 對話 》 （ Dialogue Concerning Ancient and Modern Music ） 的 大部分 內容 （ 雖然 他 對 老伽利略 的 某些 理念 不 表 同意 ） 。 由於 他 相信 自己 擁有 一 個 完整 的 太陽系 模型 ， 因而 他 能 發展出 不同 行星 的 不同 小 「 旋律 」 。 因為 他 深信 「 在 一切 事物 發軔 之前 ， 幾何 和 神 的 意向 永久 共存 」 ， 因此 《 宇宙 的 和諧 》 的 大部分 內容 都 專注 在 幾何 上 。 這 本 書 在 鋪磚 （ tiling ） 或 鑲嵌 上 的 論述 ， 對於 黃金 比例 的 故事 尤其 重要 。 一般 說來 ， 「 鋪 磚 」 這 字眼 是 用來 描述 一 種 包含 了 一 或 多 種 瓷磚 （ 或 地磚 ） 形狀 的 模式 或 結構 排列 ， 恰好 可以 鋪滿 一 個 平面 ， 而且 瓷磚 與 瓷磚 之間 完全 沒有 空隙 ， 這 就 和 排列 馬賽克 或 地磚 一樣 。 在 第八 章 中 我們 會 看到 ， 鋪磚 中 的 某些 數學 觀念 和 黃金 比例 有 密切 關係 。 雖然 克卜勒 並 未 盡悉 鋪磚 數學 的 微妙 之 處 ， 但 他 對於 不同 幾何 圖形 之間 的 關係 的 興趣 ， 以及 他 對 五邊形 的 崇拜 — — 「 神 的 比例 」 的 最 直接 彰顯 — — 已經 足夠 把 他 導引到 有趣 的 鋪磚 研究 上 。 克卜勒 對 幾何 形狀 （ 如 多邊形 ） 及 立體 的 全等 （ congruence ； 即 相合 ） 特別 有 興趣 。 圖 6-21 顯示 了 一 個 從 《 宇宙 的 和諧 》 取出 的 例子 。 這 個 鋪磚 的 模式 由 四 種 不同 的 形狀 所 組成 ， 它們 全 都 和 黃金 比例 有關 ： 五邊形 、 五角星形 、 十邊形 及 雙十邊形 。 對 克卜勒 來 說 ， 這 就 是 「 和諧 」 的 一 種 彰顯 ， 因為 __UNDEF__ 「 和諧 」 的 希臘 字源 harmonia 的 意思 就 是 「 相合 」 。 有趣 的 是 ， 在 克卜勒 之前 ， 兩 位 在 黃金 比例 歷史 上 也 佔有 一席之地 的 人物 （ 前面 幾 章 中 已 描述 過 ） — — 第十世紀 的 阿拉伯 數學家 阿布爾 - 瓦發 和 德國 畫家 杜勒 ， 兩 人 都 提出 了 包含 五重 對稱性 （ 杜勒 的 一 個 例子 如 圖 6-22 所 示 ） 的 設計 — — 也 對 鋪磚 感興趣 。 《 宇宙 的 和諧 》 第五 卷 包含 了 克卜勒 在 天文學 中 最 重要 的 成果 — — 行星 運動 的 「 克卜勒 第三 定律 」 。 該 定律 代表 了 他 在 尋求 行星 軌道 的 尺寸 ， 以及 它們 繞 日 運轉 的 週期 時 所 經歷到 的 種種 痛苦 的 至高 展現 。 他 二十五 年 來 的 研究 成果 全部 濃縮成 一 條 簡單 得 令 人 難以置信 的 定律 ： 所有 行星 的 週期 的 平方 與 其 半長軸 （ 橢圓 長軸 的 一半 長度 ， 見 圖 6-18 ） 的 立方 之 比 都 相等 。 這 條 定律 在 《 宇宙 的 和諧 》 已經 付梓 印刷 時 才 被 克卜勒