向 參觀 德勒斯登 藝術館 的 訪客 做 問卷 調查 ， 請 他們 在 兩 幅 並排 展出 ， 而且 幾乎 是 一模一樣 的 聖母 像 ： 《 達姆斯塔特 聖母像 》 （ Darmstadt Madonna ） 及 《 德勒斯登 聖母 像 》 （ Dresden Madonna ） 中 ， 選出 哪 幅 比較 美 。 這 兩 幅 畫 都 是 德國 畫家 小漢斯．霍爾班 （ Hans Holbein the Younger , __UNDEF__ 1497 - 1543 ） 所 繪 。 結果 ， 這 個 實驗 完全 失敗 ， 在 一萬一千八百四十二 位 參觀 者 中 只 有 一百一十三 人 回答 他 的 問卷 ， 即使 是 願意 受 訪 的 人 ， 他們 大多數 不 是 藝術 評論家 ， 就 是 已經 心有 定見 。 費區 那 的 第一 批 矩形 實驗 於 一八六○年代 展開 ， 實驗 結果 在 一八七○年代 發表 ， 最後 在 他 一八七六年 出版 的 《 美學 介紹 》 （ Vorschule der Aesthetik ） 一 書 中 發表 總結 。 他 反對 「 從 上 而 下 」 的 美學 方法 ── 這 種 方法 先 從 公式化 的 美 的 抽象 原則 開始 ── 而 主張 發展 從 下 而 上 的 實驗 美學 。 這 個 實驗 相當 簡單 ： 把 十 個 矩形 放 在 一 位 受 試 者 前面 ， 請 他 選出 最 喜歡 以及 最 不 喜歡 的 矩形 。 這些 矩形 的 長寬 比 都 不同 ， 從 一 個 正方形 （ 比例 為 1.00 ） 到 一 個 拉長 的 矩形 （ 比例 為 2.5 ） 不等 。 其中 有 三 個 矩形 要 比 黃金 矩形 更 長 ， 有 六 個 較 接近 正方形 。 按照 費區 那 自己 對 此 實驗 背景 的 敘述 ， 受 試 者 往往 先 是 等待 著 ， 然後 猶豫 著 把 一 個 又 一 個 的 矩形 排除 。 同時 這 位 實驗 者 也 向 他們 解釋 ， 他們 應當 小心 選出 最 合意 、 最 和諧 ， 也 最 優美 的 矩形 。 在 費區 那 的 實驗 中 ， 有 百分之七十六 的 選擇 都 集中 在 這 三 個 分別 具有 1.75 、 1.62 及 1.50 長寬比 的 矩形 ， 其中 又 以 選擇 黃金 比例 （ 1.62 ） 為 最多 。 其他 矩形 的 選擇 每 個 都 少於 百分之十 。 但是 ， 費區 那 的 研究 動機 並非 毫無 偏見 。 他 自己 承認 這 項 研究 的 啟發 來自 「 他 看到 了 一 個 異象 ， 一 個 被 數字 的 神祕 所 連結 ， 而 在 思想 、 精神 和 物質 上 統一 的 世界 」 。 雖然 沒有 人 譴責 他 竄改 結果 ， 不過 有些 人 臆測 他 可能 下意識 地 營造出 有利於 他 想要 的 結果 的 實驗 環境 。 其實 ， 費區 那 一些 未 發表 的 論文 也 透露出 ， 他 在 類似 的 橢圓 實驗 裡 ， 可是 沒有 找到 任何 對 黃金 比例 的 偏好 ， 但是 他 並 沒有 發表 這些 結果 。 費區 那 更 進一步 去 測量 數千 冊 出 已版 的 書籍 、 藝廊 中 的 畫框 ， 還 有 窗戶 ， 或 其他 矩形 物件 的 尺寸 。 他 的 結果 相當 有趣 ， 有時 顯得 好笑 。 例如 ， 他 發現 德國 的 紙牌 傾向於 比 黃金 矩形 更 長 ， 可是 法國 的 紙牌 卻 要 稍 短 些 。 另外 ， 他 發現 取自 公共 圖書館 的 四十 部 小說 的 長寬 比 相當 接近 φ 。 還 發現 繪畫框 內 的 尺寸 「 明顯 比 黃金 矩形 」 來得 短 。 費區 那 對於 窗戶 形狀 的 觀測 心得 是 ： 「 似乎 只有 農家 的 窗戶 形狀 才 經常 呈 方形 ， 符合 這 個 事實 ： 教育 程度 低 的 人 所 喜愛 的 窗戶 形式 和 教育 程度 高 的 人 不同 。 」 費區 那 更 進一步 宣稱 ， 平均 說來 ， 在 墓園 中 的 十字架 墓碑 ， 它們 的 橫槓 也 把 直柱 按 黃金 比例 分割 。 在 二十世紀 ， 許多 研究 者 重複 類似 的 實驗 ， 但 得到 各式各樣 不同 的 結果 。 如果 是 熱衷 的 黃金 比例迷 ， 通常 只 報告 那些 在 美學 上 似乎 對 黃金 矩形 有 偏愛 的 實驗 。 可是 ， 有 更多 嚴謹 的 研究 者 指出 了 許多 這 類 實驗 的 粗糙 本質 以及 在 實驗 方法 上 的 缺陷 。 有些 人 發現 這些 實驗 結果 取決 於 ， 譬如 是 將 這些 矩形 的 長邊 水平 或 垂直 放置 著 ， 還 有 尺寸 的 大小 、 矩形 的 顏色 、 受 試 者 的 年齡 ， 和 文化 背景 的 不同 ， 尤其 倚賴 實驗 的 方法 。 美國 心理學家 史東 （ L .
 
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Stone ） 及 柯林斯 （ L. G. Collins ） 在 他們 一 篇 發表 於 一九六五年 的 文章 中 指出 ， 某些 實驗 對於 黃金 矩形 的 偏好 暗示 了 這 和 人眼 的 視野 面積 有關 。 這些 研究 者 發現 ， 沿著 雙眼 視野 四周 畫出 的 矩形 平均 長寬比 是 1.5 ， 離 黃金 比例 不 太 遠 。 不過 ， 後續 的 實驗 並 沒有 證實 史東 和 柯林斯 的 臆測 。 其中 魯特格斯 大學 （ Rutgers University ） 的 許福曼 （ H. R. Schiffman ） 在 他 於 一九六六年 所 指導 的 一 項 實驗 中 ， 要求 受 試 者 在 一 張 紙 上 盡可能 「 畫出 一 個 最 有 美感 的 矩形 」 。 畫好 以後 ， 要 他們 把 這 個 圖形 按照 他們 最 喜歡 的 位置 （ 把 長邊 ） 水平 或 垂直 排好 。 雖然 許福曼 發現 喜歡 水平 位置 的 人 佔 壓倒性 的 多數 ， 符合 視野 的 形狀 ， 可是 它們 的 平均 長寬 比 是 1.9 ── 和 黃金 比例 及 視野 的 「 平均 矩形 」 都 相差 甚 遠 。 多倫多 大學 的 心理學家 高奎奇 （ Michael Godkewitsch ） 就 黃金 矩形 為 最 受 人 喜歡 的 矩形 這 一 點 ， 提出 了 他 的 質疑 。 高奎奇 首先 指出 這 個 重要 的 事實 ， 即 團體 的 平均 喜愛度 ， 可能 根本 不能 反映 個人 最 喜愛 的 矩形 。 因為 經常 發生 這樣 的 狀況 ： 平均 而言 ， 最 受 人 喜愛 的 東西 往往 不見得 是 每 個 人 的 第一 選擇 。 我們 以 選擇 巧克力 的 品牌 為 例 ， 每 一 個 人 心目中 排名 第二 的 某 牌子 巧克力 ， 它 的 平均 排名 往往 反而 變成 第一 ， 可是 沒有 一 個 人 會 去 買 它 ！ 因此 ， 第一 選擇 要 比 平均 的 偏好度 排名 ， 更 能 提供 一 個 更 有 意義 的 喜好值 。 高奎奇 進一步 注意到 ， 如果 人們 對 黃金 比例 的 喜愛 真是 放 諸 四海 皆 如此 ， 那麼 它 應當 是 最多 人 的 第一 選擇 ， 無論 你 給 受 試 者 多少 的 矩形 都 一樣 。 一九七四年 ， 高奎奇 發表 了 一 項 研究 結果 。 他 將 二十七 個 矩形 依 其 長寬 比分為 三 組 。 有 一 組 ， 黃金 矩形 緊鄰 一 個 最 長 的 矩形 ， 在 另外 一 組 ， 它 放 在 中央 ， 在 第三 組 則 與