正確 的 密度 ， 物理學家 認為 ， 其中 的 能量 關係 根本 很 難 推導出來 。 一九九一年 出現 了 一 條 線索 ， 很 可能 指向 上述 問題 的 答案 。 那時 莫斯科蘭道 理論 物理 研究院 （ Landau Institute of Theoretical Physics ） 的 數學家 伯可夫 （ Sergei E .
 
Burkov ） 發現 ， 不必 用到 兩 種 形狀 的 地磚 ， 也 可以 在 平面 上 以 類似 週期性 的 方法 鋪磚 。 伯可夫 證明 ， 這 種 「 準 週期 」 （ quasi-periodicity ） 甚至 可以 只 用 單一 種 十邊形 即可 達成 ， 只要 能 讓 這些 地磚 彼此 重疊 就 行 了 ； 以往 鋪磚 時 不 允許 地磚 彼此 重疊 。 五 年 後 ， 德國 格賴夫斯瓦爾德 大學 （ Ernst Moritz Arndt University in Greifswald ） 的 德國 數學家 古美爾特 （ Petra Gummelt ） 以 嚴謹 的 方法 證明 ， 只 需 用 一 種 繪有 花紋 的 十邊形 ， 再 加上 一 種 特定 的 重疊 規則 ， 就 可以 達成 潘洛斯 鋪磚法 ； 兩 個 十邊形 只 能 以 暗色 部分 彼此 重疊 （ 圖 8 - 17 ） 。 十邊形 也 和 黃金 比例 密切 相關 ， 邊 長 為 一 單位 的 十邊形 ， 其 外 接 圓 的 半徑 等於 φ 。 古美爾特 的 成果 把 數學 帶進 物理學 內 。 美國 普林斯頓 大學 的 物理學家 斯坦哈特 （ Paul Steinhardt ） 和 韓國 漢城 世宗 大學 （ Sejong University ） 的 鄭炯采 （ Hyeong-Chai Jeong ， 音譯 ） 證明 ， 純 數學 的 重疊 規則 可以 轉換成 一 種 物理 描述 ， 即 用來 描述 「 準 單位 晶胞 」 的 結構 ， 它們 是 彼此 共用 原子 的 一個個 原子團 。 斯坦哈特 和 鄭炯采 認為 ， 準結晶 是 由 許多 完全 相同 的 原子團 組成 的 構造 （ 即準 單位 晶胞 ） ， 每 個 原子團 會 和 鄰近 的 原子團 共用 原子 ， 而且 這 種 排列 方式 可 讓 原子團 的 密度 達到 最 大 。 換句話說 ， 這 種 「 準 週期 」 的 原子 堆積 方式 ， 可以 產生 相較 之下 較為 穩定 的 系統 （ 密度 較 高 、 能量 也 較 低 ） 。 一九九八年 ，斯坦哈特 和 鄭炯采 及 共同 研究 者 也 嘗試 以 實驗 證明 這 個 模型 ， 他們 用 X光 及 電子束 去 轟擊 會 形成 準結晶 的 鋁 、 鎳 及 鈷合金 ， 射線 經過 散射 之後 所 形成 的 影像 ， 果然 與 彼此 重疊 的 十邊形 圖案 非常 吻合 ； 圖 8 - 18 便是 以 十邊形 鋪磚法 的 圖形 重疊 在 實驗 所得 的 影像 上 。 最近 又 有 一些 實驗 的 結果 似乎 並 不 是 很 明確 ， 即使 如此 ， 大多數 的 人 仍然 認為 準結晶 可以 用 斯坦哈特 和 鄭炯采 的 模型 來 解釋 。 圖 8-17 圖 8-18 這些 準結晶 的 表面 影像 （ 於 一九九四 及 二○○一年 攝得 ） 顯示出 ， 它 與 黃金 比例 之間 還 有 另 一 種 令 人 著迷 的 關係 。 瑞士 巴塞爾 大學 （ University of Basel ） 以及 美國 愛荷華 州立 大學 （ Iowa State University ） 阿姆斯 實驗室 （ Ames Laboratory ） 的 科學家 們 ， 使用 了 掃描 穿隧 顯微鏡 （ Scanning Tunneling Microscope , STM ） 技術 觀察 鋁銅 鐵合金 及 鋁鈀錳 合金 的 表面 ， 得到 高解析度 的 表面 影像 ， 顯示 這 二 者 都 是 準結晶 構造 。 這些 影像 顯示出 許多 平坦 的 「 階 地狀 」 構造 （ 圖 8 - 19 ） ， 主要 分成 兩 種 不同 高度 的 台階 ， 即 「 高 」 及 「 低 」 兩 種 （ 兩 者 都 只有 數億分之一 英寸 高 ） 。 發現 這 兩 種 高度 的 比例 正好 等於 黃金 比例 ！ 準結晶 剛 開始 出現 在 純 數學 的 領域 （ 根據 黃金 比例 推得 ） ， 可是 最後 卻 對 真實 的 自然 現象 提出 了 解釋 ， 這 真 是 一 個 很 棒 的 例子 。 而 更 令 人 稱奇 的 是 ， 這 個 觀念 竟是 從 趣味 數學 中 發展出來 的 。 數學家 怎能 為 物理學家 後來 的 發現 提出 「 預言 」 ？ 讓 我們 再 回憶 一下 ， 杜勒 和 克卜勒 早 在 十六 及 十七世紀 時 便 已 對 五重 對稱 形狀 的 鋪磚 問題 很 感興趣 ， 於是 這 類 問題 更 激起 我們 的 好奇心 。 這 是否 意味 著 ， 即使 是 最 深奧 難解 的 數學 問題 ， 最後 終 將 在 自然界 或 人類 引發 的 現象 中 找到 實例 ？ 我們 在 第九 章 還 會 回到 這 個 問題 。 準結晶 還 有 另外 一 個 有趣 的 故事 ， 這 與 兩 位 參與 其中 的 理論學家 有關 。 在 潘洛斯 及 斯坦哈特 的 科學 研究 生涯 中 ， 兩 人 都 花 了 大部分 的 時間 研究 宇宙學 ， 即 研究 宇宙 整體 的 學問 。 潘洛斯 就 是 發現 愛因斯坦 的 廣義 相對論 可 預測 其 本身 缺陷 的 人 ， 在 這些 缺陷 所在 的 點 上 ， 重力 的 強度 將 會 變 得 無限 大 。 而 這些 數學 上 的 「 奇異點 」 （ singularity ） 正 符合 我們 稱 之為 「 黑洞 」 的 物體 ； 黑洞 是 指 物體 的 質量 塌縮 至 非常 緻密 ， 其 重力 非常 強大 ， 因而 任何 光線 、 質量 或 能量 都 無法 逃離 它們 的 掌握 。 過去 四分之一 世紀 的 觀測 顯示 ， 黑洞 不僅 是 想像出來 的 理論 ， 而是 確確實實 存在 於 宇宙 中 的 真實 物體 。 透過 兩 個 大型 的 太空 望遠鏡 ， 哈伯 太空 望遠鏡 （ Hubble Space Telescope ） 及 錢卓拉 X 射線 太空 望遠鏡 （ Chandra X-ray Observatory ） 4 ， 最近 的 觀測 結果 顯示 ， 黑洞 甚至 不 是 稀有 物體 ， 大多數 的 星系 核心 都 藏有 巨大 的 黑洞 ， 其 質量 約為 太陽 質量 的 數百萬 到 數十億 倍 。 要 如何 發現 黑洞 的 蹤跡 呢 ？ 主要 是 觀察 它們 對 鄰近 恆星 和 星際 氣體 所 施予 的 重力 。 根據 「 大霹靂 」 標準 模型 ， 即 對於 宇宙 起源 的 描述 ， 整 個 宇宙 便 從 這 類 奇異點 展開 其 膨脹 過程 ， 這 個 奇異點 形成 溫度 極 高 、 極度 緻密 的 狀態 。 圖 8-19 斯坦哈特 則 是 發展 宇宙 暴脹 模型 的 關鍵 人物 之 一 。 這 個 模型 最早 是 由 美國 麻省理工 學院 的 谷史 （ Alan Guth , 1947 - ） 提出 ， 按照 這 個 模型 ， 當 宇宙 剛剛 誕生 、 僅只 一 秒 的 極 小分 之 一時 （ 0 .000. ..1 ， 小數點 後面 有 35 個 零 ） ， 它 經歷 了 一 場 極為 驚人 的 高速 膨脹 ， 在 一 秒 的 極 小分 之 一 時間 內 ， 使 宇宙 的 大小 增加 約 1050 倍 （ 1 的 後面 跟 了 50 個 零 ） 。 我們 的 宇宙 有 許多 令 人 費解 的 謎團 ， 而 這 個 模型 便 解釋 了 其中 一些 謎 ， 例如 宇宙 從 各 個 方向 看去 幾乎 是 完全 一樣 ， 也 就是 具有 完美 的 「 各 向 同性 」 （ isotropy ） 5 。 二○○一年