之 美 放進去 的 餘地 ？ 回答 ： 第一 個 要求 是 生產 。 科恩 ： 這 不 是 答案 。 回答 ： 幾何 是 為 了 實用 而 發展出來 的 。 幾何 的 演化 不能 滿足 科學 和 工技 ； 十七世紀 時 ， 笛卡兒 發現 了 解析 幾何 。 他 分析 活塞 和 車床 ， 也 分析 了 解析 幾何 的 原理 。 牛頓 的 研究 來自 工業 的 發展 。 牛頓 說 過 ， 「 任何 理論 的 建立 是 為 了 可以 讓 社會 應用 」 。 目前 ， 還 沒有 一 個 大家 都 可以 接受 的 美 的 理論 。 有 些 人 認為 某 物美 ， 有 些 人 則 認為 是 另外 一 個 東西美 。 在 這裡 ， 社會主義 的 建設 是 一 件 美麗 的 事 ， 它 激發 了 這 個 土地 上 的 人民 。 在 文化大革命 之前 ， 我們 之中 有 些 人 相信 數學 之 美 ， 但 它 卻 沒有 辦法 解決 實際 的 問題 ； 現在 我們 應付 的 是 水 及 煤氣管 ， 電纜 及 輾壓廠 。 我們 是 為了 國家 做 這些 工作 ， 工人 也 知道 它們 的 價值 。 這 是 很 美好 的 感覺 2 。 誠如 這 段 對話 所 指出 的 ， 在 數學 上 ， 目前 幾乎 沒有 一 個 正式 的 公認 美學 評斷 標準 ， 以及 如何 去 應用 它 的 方法 ， 而 我 寧願 只 去 討論 數學 中 這 個 必定 會 帶給 每 個 人 （ 不論 他 是 專家 或 非 專家 ） 喜悅 的 特別 因素 — — 驚訝 。 數學 應當 使 人 驚訝 英國 浪漫派 詩人 濟慈 （ John Keats , __UNDEF__ 1795 - 1821 ） 在 一 封 寫 於 一八一八年 二月 二十七日 的 信 中 寫道 ： 「 詩 應當 以 精緻 的 誇張 來 使 人 驚訝 ， 而 不 是 用 怪異 — — 詩 應當 把 詩人 的 最 崇高 思想 化為 文字 來 使 讀者 感動 ， 覺得 似曾相識 。 」 可是 不同於 詩 的 是 ， 數學 更 經常 以 出人意表 的 結果 而 非 符合 讀者 的 經驗 ， 來 愉悅 它 的 讀者 。 再者 ， 在 許多 情形 裡 ， 從 數學 而 來 的 喜悅 來自 那些 完全 出乎意料 的 關係 及 一致性 所 帶來 的 驚訝 。 班佛 定律 （ Benford’s Law ） 就 是 一 個 精彩 的 案例 ， 看 這些 因素 如何 結合 起來 帶給 人 極 大 的 滿足感 。 舉 一 個 例子 來 說 吧 ， 讓 我們 看 一下 一九九九年 《 世界 年鑑 》 中 的 「 美國 農業州 交易表 」 。 當中 有 一 欄 「 農作物 」 及 一 欄 的 「 畜牧 及 其 產品 」 ， 金額 數字 以 美元計 。 你 或許 會 想 ， 在 所有 列出 的 交易量 中 ， 第一 位 數字 分別 是 1 、 2 … … 一直 到 9 的 出現 頻率 ， 應該 是 一樣 的 。 具體 地 說 ， 在 所有 列出 的 數字 中 ， 以 1 開始 的 數字 應當 佔 所有 數字 的 1/9 ， 和 以 9 開始 的 數字 一樣 。 可是 如果 你 去 數 ， 就 會 發現 有 32% 的 數字 ， 出現 的 第一 位 數字 是 1 ， 而 不 是 預期 的 所有 數字 都 以 相同 的 頻繁率 出現 的 11% 。 數字 2 的 出現率 也 比 均等 出現 的 次數 要 多 — — 在 所有 數字 中 ， 它 的 出現率 為 19% 。 可是 數字 9 的 出現率 卻 只有 5% — — 比 預期 中 的 要 少 。 你 可能 會 想 ， 在 一 份 列表 中 發現 這 個 結果 的確 讓 人 吃驚 ， 可是 還 不 到 震驚 的 地步 ， 除非 你 再 接下去 多 看 幾 頁 的 《 年鑑 》 。 譬如說 ， 你 去 看 一下 「 重大 地震 」 中 的 死亡 人數表 ， 你 會 發現 以 1 開始 的 數字 佔 了 該 表 全體 數字 的 38% ， 以 2 開始 的 佔 18% 。 如果 你 去 選 一 個 完全 不同 的 列表 ， 像是 美國 麻州 中 人口 大於 五千 的 地方 人口 ， 以 1 開始 的 數字 佔 36% ， 以 2 開始 的 佔 16.5% 。 可是 在 另一方面 ， 在 所有 這些 表 中 以 數字 9 開始 的 數字 僅 佔 5% ， 比 預期 的 11% 少 了 許多 。 這些 主題 各 異 而且 看起來 都 是 隨機 數據 的 列表 ， 怎麼 會 有 這樣 的 屬性 ： 第一 位 數字 1 出現 的 頻率 為 30% 左右 ， 數字 2 出現 的 頻率 約為 全部 的 18% ？ 當 你 看 了 更為 龐大 的 資料庫 後 ， 會 更加 一頭霧水 。 例如 ， 美國 達拉斯 的 南美 以美 大學 （ Southern Methodist University ） 的 考克斯 商學院 會計學 教授 尼格里尼 （ Mark Nigrini ） 檢視 了 一九九○年 美國 人口 普查表 中 三千一百四十一 郡 的 人口 數目 ， 發現 以 數字 1 開頭 的 數字 佔 所有 數字 的 32% ， 2 開頭 的 頻率 約為 14% ， 3 為 14% ， 而 9 則 少於 5% 。 美國 首府 華盛頓 的 未來 資源 分析家 雷 （ Eduardo Ley ） 發現 ， 一九九○ 至 一九九三年 間 的 道瓊 工業 指數 也 有 類似 的 數字 屬性 。 如果 所有 這些 都 還 不 夠 使 人 震驚 ， 那麼 還 有 另 一 件 更 出奇 的 事 。 舉例 來 說 ， 檢視 一下 費波納奇 數列 中 的 前 二千 個 數字 ， 你 會 發現 第一 位數 為 1 的 數字 的 出現率 為 30% ， 數字 2 為 17.65% ， 3 為 12.5% ， 隨著 數字 遞增 而 遞減 ， 到 了 數字 9 為 4.6% 。 一八八一年 ， 天文學家 紐康伯 （ Simon Newcomb , 1835 - 1909 ） 3 首先 發現 這 個 「 第一 位數 現象 」 。 紐康伯 注意到 圖書館 收藏 的 計算 用 對數表 的 一 開始 幾 頁 （ 這 幾 頁 正 是 以 1 或 2 開始 的 數字 ） 最 髒 ， 愈 往後 愈 乾淨 。 雖然 被 看 得 厭煩 的 讀者 棄置 一 旁 的 小說 可能 也 有 這 種 現象 ， 可是 在 數學 列表 的 例子 裡 ， 這 單純 地 反映出 了 以 1 及 2 開始 的 數字 的 出現率 更為 頻繁 。 可是 紐康伯 在 觀察到 這 個 現象 後 ， 採取 了 更 進一步 的 動作 — — 他 找出 了 一 個 明確 的 公式 ， 可以 算出 以 某數 開頭 的 數字 出現 的 機率 。 這 個 公式 （ 見 附錄 9 ） 算出 1 開頭 的 機率 是 30% ， 2 是 12.5% ， 4 是 9.7% ， 5 是 8% ， 6 是 6.7% ， 7 是 5.8% ， 8 是 5% 左右 ， 9 是 4.6% 。 可是 紐康伯 在 《 美國 數學 期刊 》 中 發表 的 論文 及 結果 完全 沒有 人 去 注意 ， 直到 五十七 年 後 ， 奇異 電器 的 物理學家 班佛 （ Frank Benford , 1883 - 1948 ） 再次 發現 這 項 定律