3 乘 6 加上 後 ， 它 可以 被 3 加 6， 即 9 所 除盡 ， 等等 。 這 數目 是 36。36 的 1/7 減掉 1/7 是 ：35/7 ； 加上 1 是 ： 42/7， 即 6； 而 這 就 是 每 一 位 兒子 所 得到 的 。 整 個 遺產 被 每 一 位 兒子 均分 ， 即 等於 6 。 附錄 7 小 物體 的 數目 n ， 和 長度 縮小 因子 f 及 維數 D 之間 的 關係 如 下 ： 如果 把 一 個 正數 A 寫成 A = 101 ， 那麼 我們 稱 1 為 A 的 （ 10 為 基數 ） 對數 ， 我們 把 它 寫成 log A 。 換句話說 ， 這 兩 個 方程式 及 彼此 完全 等值 。 對數 的 規則 如 下 ： ( i ) __UNDEF__ 一 個 乘積 對數 等於 個別 數字 的 對數 之 和 ： ( ii ) __UNDEF__ 一 個 比例 對數 等於 個別 數字 的 對數 之 差 ： ( iii ) __UNDEF__ 一 個 數字 的 自乘積 的 對數 等於 冪數 乘以 該 數 的 對數 ： 因為 100 = 1 ， 從 對數 的 定義 ， 我們 得到 log1 = 0 。 因為 101 = 10，102 = 100 等等 ， 我們 因此 得出 ：log 10 = 1 ， log 100 = 2 ， 以 此 類推 。 如果 我們 取 第一 個 方程式 的 對數 ， 會 得到 ：loglogloglogloglog 當 把 兩 邊 除以 log f ， 我們 得到 ： 在 卡赫雪花 的 案例 中 ， 每 一 曲線 含有 四 個 尺寸 為 原來 大小 1/3 的 次 曲線 ， 因此 n = 4 ， f = 1/3 ， 我們 因此 得到 ： .
 
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D 附錄 8 如果 我們 檢視 圖 8 - 25 a ， 我們 會 看到 這 兩 分 枝 接觸 的 條件 就 是 這 個 簡單 的 要求 ： 所有 這些 以 長度 f3 開始 ， 然後 不斷 減小 的 分枝 的 總水平 長度 必須 等於 這 個 大 分枝 的 長度 f 。 所有 水平 組成 之 和 等於 總長度 乘以 30 。 的 餘弦 函數 。 我們 因此 得到 ： .
 
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把 等式 兩 邊 除以 cos 30 。 ， 我們 得到 .
 
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右邊 之 和 是 一 個 無窮 幾何 級數 之 和 （ 每 一 項 等於 前 一 項 乘以 一 個 固定 的 因數 ） 。 以 本 例 來 說 ， 第一 項 是 f3 ， 而 相鄰 兩 項 之 比 等於 f 。 一般 說來 ， 在 一 個 第一 項 為 a ， 而 相鄰項 之 比 為 q 的 無窮 幾何 級數 中 ， 它 的 總和 S 等於 舉例 來 說 ， 在 這 個 無窮 級數 中 .
 
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a = 1 ， q = 1/2 ， 其 和 為 在 我們 的 案例 裡 ， 我們 從 上面 的 方程式 發現 ： 把 兩 邊 除以 f ， 我們 得到 把 兩 邊 乘以 ( 1 - f ) ， 再 把 各 項 重新 整理 ， 我們 得到 這 個 二 次 代數 方程式 ： f 2 + f – 1 = 0 其 正數 解為 這 就 是 1/φ 。 附錄 9 班 佛定律 說 ， 某 數字 D 發生 在 一 個 數字 第一 位 的 機率 P ， 可 從 下述 公式 得出 （ 以 10 為 基數 的 對數 ） ： 因此 ， 如果 D = 1 如果 D = 2 等等 。 如果 D = 9 更 廣泛 的 定律 則 如 下 例 ， 假設 前面 三 位 數字 是 1，5，8 ， 其 機率 則 為 ：loglogloglogloglogloglog 附錄 10 歐 幾 里德 用 歸謬法 證明 ， 有 無窮 個質數 存在 。 他 以 假設 相反 的 命題 開始 — — 即 只有 有限 多 個 質數 存在 。 可是 ， 如果 這 是 真 的 ， 那麼 這些 質數 當中 一定 有 一 個 最大值 ， 這 最 大 質數 以 P 表示 。 然後 ， 歐幾里德 用 下列 方法 得出 另 一 個 新 的 數字 ： 他 把 所有 2 以上 的 質數 相乘 起來 （ 包括 P ） ， 然後 把 這 乘積 再 加上 1 ， 而 得出 這 個 新 的 數字 ： .
 
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以 原來 的 假設 （ P 為 最 大 的 質數 ） 來 說 ， 這 個 新 數字 一定 是 合成 的 （ 即 非 質數 ） ， 因為 它 要 比 假設 為 最 大 的 質數 P 更 大 ． 因此 ， 這 個 數字 至少 可以 被 其中 的 一 個 質數 所 除盡 。 但是 從 它 的 生成 方法 來 看 ， 我們 可以 看出 ， 如果 以 任何 一 個 質數 去除 它 ， 總會 產生 一 個 餘數 1 。 這 就 表示 ， 如果 這 數字 真 是 一 個 合成數 ， 一定 有 一 個 比 P 更 大 的 數字 能 把 它 除盡 。 可是 這 和 上面 的 假設 ， 即 P 為 最 大 的 質數 的 假設 矛盾 ， 因此 有 無窮 個質數 。 圖 1 -4 圖 1-5　 達利 的 名畫 ： 最後 的 晚餐 聖餐 在 更 詳盡 地 審視 過 自然界 及 藝術 作品 的 例子 後 ， 出現 了 三 個 由淺入深 的 問題 。 首先 ， 立即 而 直接 的 問題 有 ： （一） 是否 所有 文獻 中 所 引用 的 黃金 比例 案例 ， 不論 是 出現 在 自然界 或 藝術 作品 中 ， 它們 都 禁得起 考驗 ？ 抑或 有些 不過 是 錯誤 的 觀念 或是 有 問題 的 解釋 ？ （二） 我們 是否 真 能 在 （一） 或 其他 情況 下 ， 解釋 這些 黃金 比例 的 出現 （ 如果 它們 是 真 的 ） ？ 再 來 ， 若 按 我們 對 「 美 」 的 定義 ， 茲 以 《 韋伯 大 字典 》 的 解釋 為 例 ， 美 是 「 一 種 品質 ， 它 以 某 種 方式 讓 人 對 某 物 產生 愉悅 或 滿足感 」 ， 不過 問題 來 了 ： 數學 中 有 沒 有 美 的 成分 在 ？ 如果 有 ， 這 個 成分 的 實質 是 什麼 ？ 這 是 一 個 很 嚴肅 的 問題 ， 誠如 富勒 （ Richard Buckminster Fuller , __UNDEF__ 1895 - 1983 ） ?
 
所 言 ： 「 當 我 處理 一 個 問題 時 ， 我 從來 不 去 思考 美 的 問題 。 我 只 想到 如何 解決 眼前 的 問題 。 可是 一旦 完成 後 ， 如果 我 求出 的 解答 一點 都 不 美 ， 那 我 就 知道 我 錯 了 。 」 最後 ， 也 最 吸引人 的 問題 為 ： 是 什麼 東西 使得 數學 有 這麼 大 的 威力 ， 而且 處處 皆 數學 ？ 又 是 什麼 原因 使得 數學 以及 像 黃金 比例 這 類 的 數學 常數 在 許多 領域 裡 — — 從 宇宙 的 基礎 理論 到 股票 市場 — — 都 扮演 著 關鍵性 角色 ？ 甚至 如果 沒有 我們 這些 發現 （ 或 發明 ） 數學 原理 的 凡人 ， 數學 是否 依然 得以 存在 ？ 是否 宇宙 的 本質 就 是 數學性 的 ？ 關於 這些 問題 我們 可以 改寫成 著名 英國 物理學家 京斯 爵士 （ Sir James Jeans , __UNDEF__ 1877 - 1946 ） 受 柏拉圖 觀點 啟發 說 的 一 句 話 ：