希伯來文 ） 中 ， 非 二分之一 分數 的 命名 ， 如 三分之一 （ one-third ） 、 五分之一 （ one-fifth ） 這 類 整數 倒數 ， 大都 來自 分母 （ 如 三 、 五 等等 ） 。 例如 ， 希伯來文 的 「 三 」 是 shalosh ， 「 三分之一 」 就 是 shlish 。 在 匈牙利文 中 ， 三 是 Harom ， 三分之一 就 是 Harmad 。 可是 ， 「 二分之一 」 這 個 數字 的 命名 規則 就 不 是 如此 了 ， 它 和 二 毫無 關係 。 例如 在 羅馬尼亞文 中 ， 二 是 doi ， 而 二分之一 卻 是 jumate ； 在 希伯來文 中 ， 二 是 shtayim ， 二分之一 是 hesti ； 在 匈牙利文 中 ， 二 是 kettö ， 二分之一 是 fél 。 這 暗示 人們 對於 「 二分之一 」 這 個 數字 的 瞭解 可能 早 於 其他 分數 ， 至於 對 其他 分數 係為 整數 的 倒數 的 理解 及 觀念 ， 唯有 當 計數 行動 跨越 了 「 三 則 為 群 」 這 道 障礙 後 ，方 才 有 可能 發展出來 。數 也 數不清 的 手指 即便 在 計數 系統 尚未 真正 發展出來 以前 ， 人類 已經 必須 具備 記錄 某些 數量 的 能力 。 據信 ， 某些 已 出土 的 骨骼 化石 為 最 古老 的 計數 考古 紀錄 ； 這些 骨片 上 刻有 呈 規則性 間距 排列 的 刻紋 。 其中 最 古老 的 出土 化石 挖掘 自 非洲 蘭貝多 山脈 （ Lembedo Mountains ） 的 一 處 山洞 裡 ， 這 根 狒狒 的 大腿骨 可 追溯 至 西元 前 三萬五千年 ， 上 刻有 二十九 道 刻紋 。 一九三七年 ， 考古學家 阿布索龍 （ Karel Absolon ） 在 捷克斯洛伐克 共和國 境 內 的 多爾內 — 維斯東尼斯 （ Dolné Véstonice ） ， 另外 發現 了 同樣 採取 這 類 「 記帳式 」 方法 的 狼骨 化石 ， 上面 刻有 五十五 道 刻紋 （ 其中 一 組 有 二十五 道 ， 另 一 組 有 三十 道 ， 第一 組 上 的 刻紋 每 五 道 為 一 組 ） ， 其 年代 可 追溯 至 三萬 年 前 的 奧瑞納 時期 （ Aurignacian era ） 。 這 種 每 五 個 一 組 的 分組法 ， 隱約 透露出 了 基數 （ base ） 的 概念 ， 我 在 下面 立刻 要 討論 這 一 點 。 雖然 我們 不 清楚 這些 刻紋 的 真正 意圖 是 什麼 ， 仍 大致 可以 猜出 它們 是 用來 記錄 獵人 捕獲 的 獵物 數量 。 這 種 分組法 有助於 獵人 計數 ， 他 無須 每 次 都 要 重頭 一 道 一 道 地 去 算 每 個 刻紋 ， 就 可以 知道 所 獵殺 的 動物 數目 。 類似 的 骨骼 化石 後來 也 在 法國 及 捷克 共和國 的 佩卡那 （ Pekarna ） 境 內 的 山洞 中 被 發現 ， 它們 的 年代 可 回溯 至 一萬五千 年 前 的 馬格達林 （ Magdalenian era ） 時期 。 一 根 由 考古學家 德海因 澤林 （ Jean de Heinzelin ） 在 烏干達 和 薩伊 邊境 艾勝格 （ Ishango ） 發現 的 骨骼 化石 ， 引發 了 種種 臆測 （ 見 圖 2 -1 ） 。 這 是 某 種 工具 的 骨製 把手 ， 距 今 九千餘 年 。 上面 刻有 三 列 刻紋 ， 按照 下面 的 分組 方式 依序 排列 ： （一） 9，19，21，11； （二） 19，17，13，11； （三） 7，5，5，10，8，4，6，3 。 第一 列 及 第二 列 的 個別 數字 和 皆 為 60 ， 引發 某些 人 推測 ， 它們 可能 代表 了 兩 個 陰曆 月份 中 月亮 的 盈虧 變化 （ 第三 列 中 可能 有 一些 刻紋 被 抹掉 了 ， 因為 加起來 只有 48 ） 。 此外 ， 還 有 一些 更 複雜 難懂 的 解釋 也 被 人 提 了 出來 ， 例如 ， 德海 因 澤林 基於 下列 事實 ： 第二 列 的 數字 （ 19，17，13，11 ） 含有 連續 的 質數 （ 即 只 能 被 1 和 這 數字 本身 除盡 的 數 ） ， 而 第一 列 （ 9，19，21，11 ） 的 數字 跟 10 及 20 只 差 1 ， 因此 下結論 說 ： 艾勝格人 已經 具備 了 一些 基本 的 算數 知識 ， 甚至 知道 有 質數 。 不用說 ， 許多 研究 者 覺得 他 的 解釋 有點 離譜 。 西元 前 九世紀 到 西元 前 二世紀 之間 ， 中東 地區 發展出 了 另外 一 套 有趣 的 記錄 系統 。 北 從 安納托利亞 （ Anatolia ， 在 土耳其 境 內 ） 南 到 蘇丹 ， 考古學家 發現 了 大量 像 玩具 一樣 的 黏土 小玩意兒 。 它們 形狀 各 異 ， 有 碟子 、 圓錐 、 圓柱 和 動物 等 各式各樣 的 東西 。 德州 大學 奧斯汀 分校 的 考古學家 許曼得 — 貝塞拉特 （ Denise Schmandt-Besserat ） 在 一九七○年代 末 研究 過 這些 物件 後 ， 發展出 了 一 個 迷人 的 理論 。 她 相信 這些 黏土 做 的 小東西 是 市場 中 通用 的 交易 貨物 代用 象徵品 。 因此 ， 一 個 小 土球 可能 代表 某 數量 的 穀類 、 一 個 圓柱 代表 一頭 牛 等等 。 按照 許曼得 - 貝塞拉特 的 假設 ， 這些 史前 中東 商人 懂得 記會 計帳 ， 只 須 按照 交易 貨品 的 種類 排列 這些 象徵物 就 可以 了 。 圖 2 -1 第一 列 第二 列 第三 列 無論 是 用 哪 種 符號 系統 來 代表 不同 的 數字 — — 骨 上 的 刻紋 、 黏土 象徵品 、 繩結 （ 南美 印加人 所 用 的 一 種 稱為 「 奎普 」 〔 quipu 〕 的 東西 ） ， 或是 只 用 手指 也好 — — 都 會 在 某 個 歷史 時點 面臨 一 項 巨大 的 挑戰 ， 即 如何 表示 及 操控 巨大 數字 。 基於 實用 的 理由 ， 沒有 一 個 符號 系統 可以 持久 ， 不管 它 是 不 是 給 每 一 個 數字 都 取 了 個 獨一無二 的 名字 ， 或者 用 不同 的 代表 物件 來 表示 。 在 某 種 意義 上 來 說 ， 字母 系統 中 的 字母 代表 的 是 文字 中 的 最 小 數字 （ 指 最 基本 的 組成 部件 ） ， 因為 有 了 它們 ， 我們 才 能 表達 我們 的 整 個 字彙 與 所有 文字 記錄下來 的 知識 ， 同樣 的 ， 發展出 一 套 最 小 的 符號 系統 來 組合成 所有 的 數字 ，確 有 必要 。 這樣 的 需求 也 就 引出 了 基數 的 觀念 — — 也 就 是 取 一 個 數字 單位 作 層級 排列 。 而 我們 在 日常 生活 中 對 基數 10 的 熟悉 ， 使 我們 很 難 去 想像 還可以 選擇 不同 的 基數 。 基數 10 的 發想 其實 很 簡單 ， 可是 這 並 不 是 說 它 不 需要 花 很 長 的 時間 就 可以 發展出來 。 它 的 作法 是 ， 將 每 一 級 的 10 個 單位 對應 至 更 高 一 級 的 一 個 單位 。 因此 ， 10 個 1 就 對應到 一 個 10，10 __UNDEF__ 個 10 對應到 一 個 100，10 個 100 對應到 10 個 1000 ， 如此 類推 。 數字 名稱 和 數字 的 每 個 位數 也 反映出 了 這 種 層級式 的 分組 。 例如 ，