等第 之 數學 能力 的 範圍 內 （ 第六 等第 沒有 上限 ） ， 而 0 表示 未 達 第一 等第 。 每 一 叢 裡面 的 五 條 長方形 ， 左 起 依序 代表 上海 （ 中國 在 2012年 僅 以 上海市 參加 評量 ） 、 香港 、 韓國 、 日本 、 臺灣 。 縱軸 表示 各 地區 受測 學生 在 PISA 2012 各 等第 的 百分比 ； 因為 關注 的 是 0, 1, 2 的 相對 比例 ， 所以 裁切 了 25% 以上 的 部分 。 從 上 圖 的 6 那 一 叢 ， 可以 推論 上海 和 臺灣 的 「 超標 」 學生 特別 多 。 這 群 學生 是 讓 臺灣 在 2012年 站上 第四 名 的 「 功臣 」 （ 但 PISA 2012 的 官方 報告 指出 ， 名列 三 、 四 、 五 的 香港 、 臺灣 和 韓國 ， 它們 的 量尺 分數 在 統計 上 並 無 差異 ） 。 但是 再 看看 0 和 1 那 兩 叢 ， 就 是 我們 那 「 世界 第一 高標準 差 」 的 根源 了 ； 在 這 兩 叢 裡 ， 臺灣 學生 的 比例 最多 。 讀者 已經 在 前面 看 過 第一 等第 的 問題 有 多麼 基本 ， 臺灣 卻 有 4% __UNDEF__ 的 學生 連 這樣 的 問題 都 不能 （ 或 不 願 ） 解決 。 我們 有 9% __UNDEF__ 的 學生 能夠 回答 這 類 問題 ， 因此 達到 PISA 的 第一 等第 數學 能力 ， 但是 無法 達到 第二 等第 。 從 前面 的 例題 看得出來 ， 第二 等第 的 問題 ， 大約 是 我國 五 、 六年級 學生 的 數學 學習 內容 。 數學 教育 同仁 有 個 不 成文 的 「 常識 」 ： 臺灣 的 小學生 ， 有 最 大 比例 從 五年級 開始 放棄 數學 。 PISA 的 數據 吻合 上述 常識 。 把 0 和 1 兩 叢 的 數據 加起來 ， 顯示 臺灣 有 13% __UNDEF__ 的 少年 未 達 第二 等第 的 數學 素養 ； 我國 的 「 未 達 第二 等第 」 比例 ， 在 世界 排名 第十 （ 從 高 排 到 低 ） ， 在 東亞 國家 之中 排名 第一 。 那麼 ， 我們 該 如何 因應 這 個 問題 呢 ？ 所謂 「 山 不 厭 高 ， 海 不 厭 深 」 ， 我們 應該 不至於 嫌 第六 級 的 學生 太多 而 想要 自廢 武功 。 更何況 PISA 測驗 的 素養 導向 問題 ， 應該 讓 大家 相信 這些 得 高分 的 少年 並 不 是 被 填鴨 的 書呆子 ， 而是 有 能力 活用 數學 解決 實際 問題 的 人 。 對於 數學 教育 已經 做 得 很 好 的 這 一 部分 ， 我們 應該 盡量 讓 它 維持 著 。 我們 須要 設定 的 任務 ， 是 降低 未 達 二等第 的 學生 百分比 。 這 個 問題 切忌 病 急 亂投醫 。 有 一 種 議論 是 說 數學 太多 或者 太 深 ， 要 把 課程 改 得 更 淺 ； 但是 這樣 做 就 好像 要 長 得 高 的 人 截斷 脛骨 以 降低 身高 一樣 ， 實在 不可思議 。 比較 可行 的 是 全面性 而且 對症下藥 的 補救 教學 。 政府 、 數學 教育 同仁 以及 民間 許多 熱心 與 善心 人士 ， 已經 為 此 任務 展開 了 行動 。 雖然 個別 的 加強 或 補救 行動 傳出 令 人 振奮 的 消息 ， 但是 從 2015年 的 PISA 評量 實徵 數據 來 看 ， 這些 行動 還 沒有 立刻 顯示 成效 __UNDEF__ [17] 。 本 文 提出 兩 項 建議 。 第一 ， 課程 綱要 本身 就 可以 將 「 核心 層次 」 設計 在 內 ， 幫助 提高 補救 教學 的 效率 。 舉 國中 一年級 面臨 的 第一 個 課題 為 例 ： 負數 。 負數 是 相當 基礎 的 數學 語言 ， 沒有 負數 就 不能 解 一般 的 二元 一 次 聯立 方程 ， 也 不能 在 坐標 平面 上 畫出 完整 的 方程式 圖形 ， 可見 負數 真的 很 重要 。 但是 ， 大家 不妨 打開 PISA 的 範例 題庫 ， 看 個 仔細 ， 究竟 有 哪 幾 題 須要 用到 負數 ？ 幾乎 沒有 。 在 絕大多數 的 實際 情境 問題 裡 ， 只要 知道 （ 正 的 ） 小數 減 大數 得到 負數 的 演算法 和 解讀 方式 就 夠 了 。 可見 就 連 「 負數 」 這麼 基礎 的 內容 ， 都 可以 有 課程 設計 的 層次 之 分 。 如今 的 課綱 不 分 層次 ， 使得 補救 教學 缺乏 可 取捨 的 參考 標準 ， 也 使得 國中 畢業 會考 的 等級 標準 缺乏 參照 。 課綱 如果 能夠 分出 層次 ， 可以 協助 解決 上述 兩 種 問題 。 第二 個 建議 已經 是 老生常談 ， 但 也 是 我們 長期 的 痛 ： 為什麼 數學 教育 始終 排斥 資訊 工具 （ 包括 計算機 ） ？ ！ 人人 都 知道 ， 機械 工具 是 體力 的 輔具 ， 它 讓 我們 跳 得 更 高 、 跑 得 更 快 、 舉 得 更 重 。 而 資訊 工具 則 是 腦力 的 輔具 ， 它 幫助 我們 算 得 更 準 更 快 、 記得 更多 、 傳播 更 廣 。 用 機械 工具 對 體力 的 輔助 來 類比 資訊 工具 將 能 提供 的 腦力 輔助 ， 就 可以 戰慄 地 想像 ， 我們 因為 拒絕 這些 工具 而 侷限 了 多少 的 腦力 資源 ！ 對於 已經 能夠 勝任 現行 課程 的 學生 ， 倒是 無所謂 ； 但是 對於 需要 補救 的 學生 而言 ， 從 課堂 學習 到 解決 實際 問題 ， 我們 對 資訊 工具 有 明顯 而 迫切 的 需求 。 縮小 PISA 分數 標準 差 或者 降低 未 達 第二 等第 的 學生 比例 ， 並 不 是 為 了 臺灣 爭取 更 高 的 國際 排名 ， 而是 為 了 全體 國民 的 福祉 ， 更 是 為了 我們 共處 的 這 個 社會 裡 的 每 位 公民 ， 都 有 基本 的 數學 素養 ， 得以 有效 地 參與 社會 公共 議題 的 討論 和 決策 。 這 是 我們 一定 要 達成 的 任務 ， 但是 絕對 不能 用 削足適履 （ 降低 全體 學生 的 學習 內容 ） 的 方式 來 達成 這 項 任務 。 啟示 三 ： 教育 機會 的 不 公平 現象 __UNDEF__ 大 的 能力 分布 標準 差 並 不 直接 等於 社會 的 不 公平 。 但是 如果 高成就 的 那 一 群 總 來自於 某 種 社經 地位 的 家庭 ， 而 低成就 那 一 群 總 來自於 另 一 種 家庭 ， 那 就 是 更 值得 留意 的 警訊 了 。 PISA 也 透過 調查 問卷 做 了 這 方面 的 統計 。 PISA 提供 一 份 量表 ， 顯示 學生 表現 與 其 家庭 之 社經 文化 地位 的 相關 程度 。 在 這裡 ， 高 相關性 可以 被 解讀為 社會 的 流動性 較 低 ， 而 低 相關性 則 可以 被 解讀為 憑著 個人 天賦 或 努力 而 成功 的 機會 較為 均等 。 再 簡化 一點兒 說 ， 高 相關性 代表 教育 機會 的 低 公平性 。 在 2006年 的 PISA 報告 中 ， 臺灣 的 數學 教育 公平性 處於 上述 量表 的 中間 ， 不 算 高 也 不 算 低 。 但 值得 留意 的 是 ， 韓國 、 日 本 、 香港 和 澳門 ， 甚至於 歐洲 的 芬蘭 和 瑞典 ， 都 有 比 我們 更 低 的 相關性 。 臺灣 在 這 方面 和 歐洲 的 英國 、 奧地利 、 瑞士 等 國 屬於 同 一 等級 ， 但是 我們 的 國力 與 社會 福利 能否 與 這些 歐洲 國家 並駕齊驅 ？ 這 是 大家 都 可以 想想 的 問題 。 到 了 2012年 ， 隨著 我們 的 數學 評量 成績 的 標準差 從 「 第三 高 」 攀升到 「 遙遙領先 的 第一 高 」 ， 臺灣 在 這 份 「 教育 機會 公平性 」 的 量表 上 ， 也 同時 顯出 更 嚴重 的 病症 。 從 2006 到 2012 這 六 年 ， 英國 藉由 政策 手段 大幅 降低 了 他們 的 教育 不公平性 ， 而 臺灣 卻 讓 這 個 情形 持續 擴大 。 下圖 是 取自 PISA 2012 焦點 報告 的 二維 數據 散布 圖 [18 ： 頁 13] ， 每 個 菱形 代表 一 個 受測 國家 ， 縱軸 表示 其 數學 平均 成績 ， 而 水平線 畫 在 全 世界 平均 分數 之 處 。 橫軸 表示 學生 之 家庭 社經 地位 佔 其 PISA 數學 成績 的 解釋度 （ 百分比 ） ， 而 鉛 直線 畫 在 全 世界 平均 百分比 之 處 。 觀察 上 圖 ， 在 鉛 直線 的 右邊 代表 （ 數學 ） 教育 機會 比較 公平 ， 在 左邊 就 代表 教育 機會 比較 不 公平 。 我們 很 清楚 地 看到 ， 臺灣 （ Chinese Taipei ） 落在 鉛 直線 的 左邊 ， 我們 的 教育 不 公平 指標 ， 甚至 大於 新加坡 、 香港 、 美國 、 英國 這些 印象 中 高度 競爭 與 高度 分歧 的 地區 。 美國 和 新加坡 的 公平性 指標 大約 落在 平均值 上 ， 而 香港 、 澳門 、 日本 和 南韓 的 公平性 都 遠 高於 平均 。 仔細 想想 ， 高度 的 競爭 壓力 並 不 代表 「 不 公平 」 ， 個人 的 「 機會 公平 」 與 社會 的 競爭 壓力 ， 並 不 互相 違背 。 而 前面 說 過 的 標準 差 數據 ， 也 顯示 臺灣 的 （ 數學 素養 ） 分歧性 ， 其實 遠 高於 一般人 認為 社會 差異 很 大 的 英國 和 美國 。 造成 臺灣