巧合 在 數學 領域 一再 發生 。 它 的 情節 通常 是 這樣 ： 一 位 數學家 決定 研究 某 個 看似 沒有 太多 （ 或 根本 沒有 ） 實際 應用 的 問題 ， 因為 他們 想 讓 某 個 理論 看起來 更 漂亮 俐落 ， 或 純粹 只 因為 他們 覺得 好奇 。 多 年 後 ， 他們 的 發現 正好 是 某 個 生物學家 、 化學家 、 物理學家 或 資訊 科學家 突破 重大 概念 之 所 需 。 從 遺傳學 到 量子 力學 ， 幾乎 每 個 現代 科學 的 分支 都 建立 在 數學家 們 五十 年 前 或 五百 年 前 ， 根本 還 沒有 任何 人 認知到 這 個 領域 之前 所 發現 的 概念 。 物理學家 尤金 ． 維格納 （ Eugene Wigner ） 把 數學 一再 預測出 科學 和 科技 重大 革命 的 這 種 傾向 稱為 「 數學 不 合理 的 有效性 」 （ unreasonable effectiveness __UNDEF__ of mathematics ） 。 我 幾乎 想 不 出 世上 有 誰 比 工程師 兼 創業家 伊隆 ． 馬斯克 （ Elon Musk ） 能 更 清楚 展示 數學 思維 的 實用 力量 。 藉由 創辦 特斯拉 （ Tesla ） 、 Space X 、 和 鑽探 公司 （ The __UNDEF__ Boring __UNDEF__ Company ） ， 馬斯克 創造 眾多 革命性 的 產品 和 技術 。 同時 他 也 啟發 或是 迫使 許多 公司 （ 特別 是 汽車 和 能源 公司 ） 加速 採行 對 環境 友善 的 科技 和 商業 模式 。 馬斯克 把 自己 的 成功 很 大部分 歸功於 他 樂於 利用 數學 從 「 第一 原理 」 （ first __UNDEF__ principles ） 來 分析 問題 。 鑽探 公司 在 不久 前 創立 ， 它 為 人 熟知 的 程度 不如 馬斯克 的 其他 公司 ， 或是 他 較 知名 的 發明 如 超迴路 列車 （ hyperloop ） （ 它 在 近乎 真空 的 管道 中 發射 通勤艙 ， 因此 幾乎 沒有 空氣 阻力 ） 。 馬斯克 創辦 這 家 公司 的 靈感 來自 他 在 洛杉磯 塞車 時 ， 利用 數學 的 第一 原理 來 分析 交通 阻塞 的 問題 。 塞車 問題 造成 每 年 幾 10億 美元 的 經濟 損失 ， 同時 也 讓 通勤族 每 天 有 幾 個 小時 的 人生 特別 不 愉快 。 不過 ， 大 城市 很少 會 興建 地 底 隧道 來 減輕 塞車 問題 ， 因為 挖掘 隧道 需要 天價 的 成本 ： 由 必須 移除 的 地 底 土石 和 基岩 總量 來 決定 。 它 的 總體 積量 可以 由 隧道 的 長度 乘以 隧道 的 截面積 計算出來 ， 而 隧道 的 截面積 則 視 隧道 半徑 而 定 。 馬斯克 知道 他 不可能 改變 一般 隧道 的 長度 ， 他 想 看看 半徑 改變 會 發生 什麼 情況 。 大部分 人 小學 就 學 過 計算 圓面積 的 公式 （ 等於 圓周率 乘以 半徑 的 平方 ， 也 就 是 πr2 ） 。 這 個 公式 代表 隧道 截面積 會 隨著 半徑 的 增加 而 出現 指數型 增加 ， 因為 面積 是 與 半徑 平方 成 正比 。 如果 你 試 過 把 1 、 2 、 3 這些 數字 自乘 （ 也 就 是 這些 數字 的 「 平方 」 ） ， 你 就 知道 數字 越 大 ， 平方數 也 會 增加 越 快速 。 馬斯克 估算 ， 如果 減少 隧道 的 半徑 ， 挖掘 隧道 的 時間 可以 加快 十 倍 。 為 了 彌補 通道 變小 的 問題 ， 他 構想 用 高速 發射 單 節 的 車廂 。 幾 天 之後 ， 從 馬斯克 在 塞車 時 打發 時間 做 的 基本 數學 運算 中 誕生 了 一 家 公司 。 或許 ， 現在 要 斷定 馬斯克 的 各 個 公司 會 多 成功 還 言之過早 — — 至少 我 並 不 看衰 他 。 這些 憑著 數學 直覺 而 創立 的 公司 ， 光 是 存在 就 已 帶來 正面 的 影響 。 藉著 提供 我們 無比 強大 的 心智 工具 ， 數學 可以 改變 我們 思維 運作 的 方式 。 當 我們 學習 數學 時 ， 我們 學會 看出 模式 、 做出 合 邏輯性 和 有 系統 的 思考 、 做出 類比 ， 並 運用 抽象 概念 看出 表面 差異 之外 的 事物 。 我們 也 學會 推理 和 演繹 ， 找尋 隱藏 的 前提 ， 從 第一 公理 證明 事情 ， 從 排除 各 種 可能 情況 來 找出 解答 ， 發展 和 運用 策略 來 解決 問題 ， 進行 預估 和 做出 大致 的 估算 。 同時 我們 也 學會 理解 風險 和 因果 關係 ， 並 掌握 某 個 數據 到底 是 重要 、 還是 毫無 意義 。 平心而論 ， 不 懂得 如何 做 數學式 思考 會 讓 我們 較 不 健康 、 財務 較 不 穩定 、 較 欠缺 創新 、 缺乏 生產力 、 缺少 好奇心 、 較 不 聰明 和 較 不 快樂 。 同時 它 也 讓 我們 較 容易 犯錯 、 不 理智 、 更 迷信 、 跟 容易 受 人 煽動 。 欠缺 數學 能力 會 損害 我們 的 經濟 ， 惡化 我們 的 環境 。 無法 依據 每 個 人 的 潛能 來 教育 他們 還 會 帶來 其他 的 損失 ， 不過 這些 損失 更 難 標 價 。 數學 和 心靈 __UNDEF__ 2004年 ， 我 受 邀 到 倫敦 市區 極 貧窮 的 社區 學校 教 示範 課程 。 我 看到 孩子 們 下課 在 玩耍 的 時候 ， 遊戲場 上 不斷 有 打鬥 出現 。 沒有 參與 打架 的 孩子 們 則 圍 著 要 挑釁 的 孩子 。 有 幾 個 孩子 因為 受傷 而 必須 從 遊戲場 帶開 ， 遊戲場 的 導護 人員 對 孩子 們 間 的 打鬥 束手無策 。 我 受 邀 去 教 學校 裡 「 行為班 」 的 數學課 。 他們 被 判定 是 難 教導 甚至 暴力 的 學生 ， 我 告訴 班 上 這些 十一 、 二 歲 的 孩子 ， 當 我 在 他們 的 年紀 時 也 覺得 自己 不 聰明 ， 數學 也 學 不 好 。 我 告訴 他們 ， 如果 有 不 懂 的 地方 可以 要 我 停下來 ， 讓 我 重新 解釋 一 遍 。 如果 他們 有 哪裡 不 懂 ， 那 是 我 的 錯 ， 不 是 他們 的 錯 。 接下來 我 教 他們 二進位 代碼 ， 就 是 電腦 裡 代表 數字 的 一連串 0 和 1 。 學生 們 似乎 把 自己 當成 小小 密碼 破解 專家 ， 要 我 出 一些 越來越 長 的 代碼 。 我 表演 了 讀心術 的 把戲 ， 他們 看出 這 個 把戲 和 代碼 之間 的 關係 ， 也 開始 想 站到 講台 前 表演 這 個 把戲 。 到 了 我 上課 的 第三 天 ， 當 班 上 的 老師 和 我 一 進入 教室 時 ， 孩子 開始 歡呼 。 會 把 數學 和 社會 正義 連結 在一起 的 人 並 不 多 。 不過 ， 數學 是 改變 弱勢 孩童 對 自我 看法 的 理想 工具 。 我 沒辦法 教導 一 班 小學 六年級 的 學生 讀 一 個 故事 或 一 篇 散文 ， 而 讓 他們 每 個 人 在 一 堂 課 裡 有 同樣 程度 的 理解 。 不過 我 有 辦法 在 一 堂 課 裡 ， 讓 整 班 學生 進行 大致上 相同 程度 的 數學課 ， 因為 數學 可以 拆解成 很 小 的 步驟 （ 或 概念 的 線索 ） ， 而且 每 增加 一 個 步驟 的 挑戰性 都 可能 產生 很 大 的 興奮感 。 弱勢 學生 從 數學 的 成功 所 獲得 的 自信 ， 對 他們 生活 的 其他 領域 有 鼓勵 的 作用 。 當 孩子 們 知道 他們 有 能力 學 數學 ， 他們 會 開始 認為 自己 可以 學會 任何 事 ， 因為 數學 照理 來 說 很 難 。 在 倫敦 的 一 個 實驗班 裡 ， JUMP 課程 大大 提升 原本 學習 困難 學生 數學 及格 的 比率 ， 一 名 老師 說 ， 有 行為 問題 的 學生 十分 投入 功課 ， 甚至 還 會 譴責 在 數學課 搗蛋 的 其他 學生 。 另 一 個 老師 提到 ， 她 的 學生 們 變成 「 有 膽識 、 能 獨力 解題 的 人 」 。 在 保加利亞 的 實驗課 ， 有 觀摩 者 提到 學生 在 使用 JUMP 教材 的 班級 裡 變 得 較 開心 、 更 投入 ， 也 更加 愛 合作 。 代課 老師 即使 沒 上 數學課 也 可以 看出 這 個 班級 是否 使用 這些 學習 策略 ， 因為 學生 們 表現 得 更加 投入 、 具 好奇心 ， 而且 更 能 互相 幫助 。 我 在 許多 班級 教 過 二進位 代碼 ， 不過 我 最 難忘 的 一 次 教學 經驗 是 在 溫哥華 一 個 五年級 的 班 上 。 課程 上到 一半 ， 當 學生 們 進行 我 寫 在 黑板 上 的 問題 時 ， 我 注意到 有 個 害羞 的 男孩 ， 他 似乎 比 實際 年齡 還要 瘦小 ， 伏 在 書桌 上 快速 在 紙 上 填寫 他 的 運算 結果 。 我 瞥看 一 眼 他 的 紙頁 ， 發現 他 寫 的 是 1 到 15 的 數字 ， 並 把 它們 轉換成 二進位 代碼 。 如 圖 所 示 ， 把 二進位 代碼 轉為 一般 的 數字 相對 而言 比較 容易 ， 但是 要 把 數字 轉為 二進位 代碼 則 稍微 難 一點 。 我 已經 教 了 學生 如何 把 二進位 代碼 化成 數字 ， 但是 這 個 男孩 已經 想出 如何 把 數字 反 推為 二進位 代碼 。 當 我 準備 把 方法 教給 班 上 學生 時 ， 我 拿起 他 寫 的 那 張 紙 給 班