相當 多 特定 領域 的 知識 和 專業 。 我 相信 我 的 大學 課程 和 透過 研習 文學 、 哲學 和 數學 所得 的 訓練 確實 能 廣泛 移轉 應用 ， 它 幫助 我 在 許多 不同 領域 可以 解答 問題 和 快速 學習 新 概念 。 在 我們 找到 目前 尚未 發明 的 藥物 、 神經 移植 、 或 認知 訓練 方法 來 提升 腦力 之前 ， 任何 人 的 頭腦 都 不大 可能 比 受 過 良好 訓練 的 藝術家 或 科學家 運作 得 更 有 效率 。 因此 就 目前 而言 ， 訓練 學生 腦力 最 好 的 方法 ， 或許 是 使用 有 證據 支持 的 教學法 ， 給予 他們 全面 均衡 的 教育 。 如 心理學家 伊莉莎白 ． 史丹-莫若 （ Elizabeth Stine-Morrow ） 說 ： 「 我 對 『 腦力 訓練 有用 嗎 ？ 』 的 開玩笑 答案 是 ： 『 有用 啊 ， 它 就 叫 學校 。 』 」 __UNDEF__ __UNDEF__ 雖然 新 科技 毫無 疑問 會 幫助 我們 提升 教育 的 情況 ， 瑪莉 ． 珍 ． 莫若 這 類 的 老師 已經 證明 了 ， 我們 不需 等到 完美 的 電腦 課程 被 發展出來 才 能 帶動 重大 變革 。 如果 我們 把 花 在 無效 的 教育 資源 和 作法 的 龐大 經費 重新 規劃 ， 幫助 教師 們 採用 最 有效 、 有 證據 佐證 的 教學法 ， 即使 在 沒有 太多 先進 科技 的 地區 ， 我們 也 可以 大大 改善 教育 的 成果 ， 並 在 短 時間 內 創造 更 繁榮 、 更 有 包容性 的 社會 。 雖然 在 這 本 書 裡 我 著重 的 是 數學 ， 但 學習 的 研究 可 適用 於 每 個 科目 。 應該 可以 明顯 看出來 ， 我 所 討論 的 教學法 可 用來 教導 科學 ； 人們 在 科學 上 和 在 數學 上 思考 、 做出 發現 的 方式 基本 上 是 相同 的 。 不過 我 也 使用 類似 的 方法 來 教 哲學 、 文學 、 甚至 是 創作 。 幫助 人們 找出 更 有 表現力 和 想像力 的 方法 ， 顯然 也 會 對 我們 的 社會 帶來 幫助 。 而且 投入 藝術 還 有 其他 更 深刻 的 好處 。 哲學家 理查 ． 羅逖 （ Richard __UNDEF__ Rorty ） 說 文學 與 哲學 對 我們 人生 最 大 的 貢獻 之 一 ， 是 幫助 我們 理解 和 感受 其他 的 人 。 光 是 數學 和 科學 並 不能 做到 這 點 。 歷史 上 許多 如 納粹黨 這 類 的 大 壞蛋 ， 他們 數學 可能 很 好 ， 但是 他們 缺乏 同理心 ， 也 無法 理解 身為 一 個 高貴 的 人類 意義 為 何 。 找到 心流 __UNDEF__ 世界 經濟 論壇 （ World Economic __UNDEF__ Forum ） 在 2015年 發表 一 項 研究 提到 ， 有 45% 的 專業 工作 在 2025年 之前 有 被 自動化 的 風險 。 106 工作 本質 的 快速 改變 ， 很 可能 造成 財富 更加 集中 ， 許多 賦予 人們 生命 意義 的 工作 也 將 消失 。 為 了 生存 與 繁盛 ， 我們 可能 需要 找到 新 的 目的感 ， 這 種 目的感 不全 憑 我們 創造 實體 貨品 或 累積 物質 財富 的 能力 來 決定 。 找到 更多 生命 意義 的 方式 之 一 ， 是 利用 心理學家 米哈里 ． 羅齊克森 （ Mihaly Csikszentmihalyi ） 所謂 「 心流 」 狀態 （ state __UNDEF__ of “flow” ） 的 能力 來 生存 。 它 意味 的 是 「 為 其 本身 目的 完全 投入 一 個 活動 。 自我 消散 。 時間 流逝 。 每 個 行動 、 動作 、 和 思考 都 必然 跟隨 前面 一 個 ， 如同 演奏 爵士樂 一樣 。 你 的 整 個 身心 浸淫 其中 ， 同時 你 把 你 的 技能 發揮到 最 極限 。 」 107 __UNDEF__ 偉大 的 藝術家 和 科學家 生命 的 大半 時間 都 處在 心流 狀態 。 愛因斯坦 經常 以 狂喜 或 宗教 的 詞語 描述 他 的 工作 ： 「 所有 宗教 、 藝術 、 和 科學 都 是 同 一 棵 樹 的 分支 。 它們 的 渴切 追求 都 朝向 著 讓 人 的 生命 更 高貴 ， 把 人生 提昇 至 純粹 物理 存在 之上 ， 引導 個人 通向 自由 。 」 如果 我們 能 充分 實現 智識 與 藝術 的 潛力 ， 以 如同 孩童 般 開放 的 心態 去 感受 驚奇 ， 我們 就 有 可能 從 思索 和 體驗 生存 的 美麗 與 奧祕 中 ， 找到 最 深切 的 目的感 。 我們 禮讚 存有 的 能力 ， 透過 藝術 與 科學 來 觀看 和 欣賞 生命 每 個 面向 的 能力 ， 或許 是 我們 永遠 都 比 機器 做 得 更 好 的 事 。 不 依賴 漫無 目的 的 競爭 和 盲目 的 消費 來 找尋 快樂 與 成就感 的 新 源頭 ， 或許 也 讓 我們 找到 地球 能 負擔 的 生活 方式 。 當 我 看到 生命 纖細 的 織網 正 被 快速 撕裂 ， 我 經驗到 比 大多數 人 更加 深刻 的 痛苦 和 焦慮 ， 這 或許 是 因為 我 的 數學 訓練 已經 讓 我 理解 這 片 織網 的 複雜 與 美麗 ， 以及 它 破碎 之後 多 難以 修復 。 除了 用 有毒 化學 物質 和 塑膠 填滿 我們 的 大氣 和 海洋 之外 ， 我們 也 正 逐步 逼近 物質 世界 的 限制 ， 畢竟 地球 上 就 只有 這麼多 的 空間 可以 讓 我們 占據 。 如果 大家 繼續 堅持 要 享有 更 大 的 空間 ， 如果 富有 的 人 繼續 增併 和 破壞 不 合理 比例 的 土地 ， 我們 不只 會 對 世界 造成 不可 回復 的 損害 ， 也 可能 面臨 毀滅性 的 社會 動盪 。 幸運 的 是 ， 我們 的 心靈 的 空間 是 無限 的 。 這 個 廣大 、 無法 具體 捉摸 的 世界 充滿 無價 的 心智 資產 ， 有 美 到 難以 形容 的 廟堂 殿宇 ， 而且 在 這裡 的 每 座 建築 可 同時 容納 眾多 的 房客 。 與其 移民到 火星 ， 逃避 我們 所 面臨 最 嚴重 的 問題 ， 我們 可以 在 地球 找到 新家 ， 在 這 個 新家 裡 ， 社會 的 每 個 成員 都 有 權利 過 豐富 、 有 生產力 的 生活 ， 所有 經濟 都 立基於 豐饒 和 共享 ， 而 不 是 匱乏 與 貪婪 ， 唯一 要 做 的 ， 就 是 培養 發展 每 個 人 身 上 都 具有 的 潛力 。 附錄 __UNDEF__ 虛數 如何 相乘 __UNDEF__ 回想 一下 第七 章 提到 ， 每 個 虛數 都 包含 兩 個 部分 。 虛數 （ 5, 3/4 ） 的 第一 個 部分 是 5 ， 第二 個 部分 是 3/4 。 假設 （ a, b ） 與 （ c, d ） 是 兩 個 虛數 （ a , b , c , d 都 是 實數 ） 。 求 兩 數 的 積 ， 你 必須 計算 前後 兩 個 部分 。 第一 個 部分 的 積 由 表達式 a× c－b× d 求出 。 第二 個 部分 由 a× d + b× c 求出 。 也 可 寫成 ： __UNDEF__ ( a, b ) × ( c, d ) = ( a × c － b × d, a × d + b × c) __UNDEF__ 舉例 來 說 ， 虛數 __UNDEF__ ( 1, 5) 和 __UNDEF__ ( 2, 3) 相乘為 ： __UNDEF__ ( 1, 5 ) × ( 2, 3 ) = ( 1 × 2 －5 × 3, 1 × 3 + 5 × 2 ) = ( 2 －15, 3 + 10) = ( -13, 13 ) __UNDEF__ 回想 一下 ， 虛數 （ 3, 0 ） 相當於 實數 3 ， 而 虛數 （ 4, 0 ） 等於 實數 4 。 運用 虛數 的 乘法 規則 我們 會 發現 這 兩 個 數 的 乘積 （ 12 , 0 ） 也 相當於 12 。 ( 3, 0 ) × ( 4, 0 ) = ( 3 × 4 －0 × 0, 3 × 0 + 4 × 0 ) = ( 12－ 0, 0 + 0 ) = ( 12, 0 ) __UNDEF__ 當 你 使用 虛數 的 乘法 來 運算 兩 個 實數 a 和 b ， 它 的 積 就 是 實數 a× b 。 或者 ， 用 虛數 的 標示法 ： __UNDEF__ ( a, 0 ) × ( b, 0 ) = ( a × b － 0 × 0, a × 0 + b × 0 ) = ( a × b, 0 ) __UNDEF__ 在 實數 的 系統 中 ， -1 並 沒有 平方根 ， 因為 沒有 實數 自身 相乘 會 得到 -1 。 不過 在 虛數 的 系統 裡 ， （ -1 , 0 ） 這 個 數 確實 存在 平方根 。 如果 你 根據 虛數 乘法 規則 把 （ 0 , 1 ） 這 個 數 自身 相乘 會 得到 （ -1 , 0 ） ： __UNDEF__ ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) = ( 0 × 0 － 1 × 1 , 0 × 1 + 1 × 0) = ( -1 , 0) __UNDEF__ 因此 （ 0, 1 ） 是 （ -1 , 0 ） 的 平方根 。 在 虛數 系統 裡 ， 每 個 數 都 有 平方根 。 這 也 是 虛數 能 成為 強大 的 解題 工具 的 原因 之 一 ： 我們 應用 虛數 在 代數 或 方程式 上 ， 可以 接受 任何 表達 方式 的 平方根 而 不用 考慮 它 是否 有 意義 。 你 可以 進行 涉及到 虛數 平方根 的 高等 代數 ， 而 不用 擔心 算出 的 結果 是否 有 意義 。 在 物理學 上 ， 許多 運算 答案 的 第二 項 被 化為 零 ， 於是 答案 會 是 一 個 實數 。 參考 資料 __UNDEF__ ． Quotations on pages 104 and 105 are from “Children's Brains Are Different , ” by Amy Bastian in Think Tank: Forty Neuroscientists Explore the Biological Roots __UNDEF__ of Human Experience. Published by Yale University Press. Reprinted by permission. __UNDEF__ ． Quotations on pages 160 and 238 are from Make it Stick: The Science of Successful Learning by Peter C. Brown , Henry L. Roediger III and Mark A. Mc Daniel. Published by Belknap Press ( An imprint of Harvard University Press ) . Reprinted by permission. ． Quotation o n pages 90 and 91 is from Peak : How to Master Almost Any thing by Anders Ericsson and Robert Pool. Published by Viking Books. Reprinted by permission. __UNDEF__ ． Quotation on page 243 is from “Go with the Flow” by John Geirland. Published in Wired. Reprinted with permission from Condé Nast. __UNDEF__ ． Quotation on page 200 is from “Analogical Problem Solving ” by Mary