還是 家 裡 的 餐桌 ， 把 手肘 靠上 桌面 ， 桌子 就 會 晃動 。 通常 大人 會 教 你 找出 懸空 的 那 支 桌腳 ， 在 下面 墊 一 張 紙片 ， 這麼一來 ， 桌子 就 不會 晃 了 。 回想 一下 ， 這些 桌子 通常 是 四 支 腳 ， 但 如果 你 用 過 三 支 腳 的 桌子 ， 會 發現 三腳桌 很 平穩 ！ 我們 可以 用 數學 來 解釋 。 在 一 張 紙 上 任意 畫 兩 個 點 ， 絕對 能 找到 一 條 通過 這 兩 點 的 直線 ─ 兩 點 之間 的 連線 正 是 這 條 直線 的 一 部分 。 如果 在 立體 空間 中 任意 畫 三 個 點 ， 通常 很 不 容易 找到 一 條 直線 同時 通過 這 三 個 點 ， 但 一定 可以 找到 同時 通過 這 三 個 點 的 平面 ─ 這 三 點 形成 的 三角形 ， 正 是 這 個 平面 的 一 部分 。 這 是 幾何學 的 基本 定理 ： __UNDEF__ 兩 個 點 可 決定 一 條 直線 ， __UNDEF__ 三 個 點 可 決定 一 片 平面 。 所以 三 支 腳 的 桌子 ， 桌腳 一定 能 保持 在 同 一 個 平面 上 ， 也 就 不會 晃動 。 當然 ， 如果 地面 是 斜 的 ， 或 桌腳 不 一樣 長 ， 那 桌面 本身 會 歪歪 的 ， 無法 保持 水平 ， 只不過 接觸 地面 的 三 個 點 還是 穩固 的 。 但 再 增加 一 個 點 就 不 一樣 了 ， 立體 空間 中 的 任意 四 個 點 ， 並 不 容易 位在 同 一 個 平面 上 。 你 可以 想像 ， 把 其中 三 個 點 連成 一 個 三角形 ， 構成 一 個 平面 ， 但 第四 個 點 很 容易 位在 平面 之外 ， 例如 在 平面 上方 。 三角形 的 三 個 頂點 跟 位 在 平面 上方 的 第四 個 點 ， 就 好像 桌子 的 四 支 腳 有 一 支 懸空 ， 所以 桌子 在 地 上 總是 不 平穩 、 容易 晃動 。 A 點 在 B C D 構成 的 平面 之上 　　 既然 如此 ， 為什麼 學校 的 課桌椅 不 改成 三 支 腳 呢 ？ 也許 因為 課桌椅 的 桌面 做成 方形 的 ， 自然 會 想 在 四 個 角落 各 擺 一 支 腳 ； 或 因為 當 某 一 端 放 了 重物 時 ， 例如 當 你 趴下來 午睡 ， 三腳桌 比起 四 支 腳 的 桌子 更 容易 翻倒 ， 所以 人們 寧願 接受 四腳桌 的 晃動 。 只是 採用 「 塞紙片 」 解決 方案 ， 對 數學家 來 說 不 夠 優雅 。 歐洲 的 理論 科學家 馬丁 發現 ， 如果 桌子 的 四 支 腳 一樣 長 ， 只是 因為 地面 不平 而 晃動 ， 有 一 個 很 簡單 的 解決 方法 ： 轉 一 轉 。 我們 來 動手 做 個 實驗 試試 看 。 數學 實驗 1 .
 
用 厚 紙板 剪 一 塊 正方形 ， 把 它 當做 桌面 。 2 .
 
用 鉛筆 在 正方形 紙板 上 畫出 對角線 。 3 .
 
拿出 圓規 ， 以 對角線 相交點 為 圓心 ， 邊 長 一半 為 半徑 ， 畫圓 。 圓 跟 對角線 相交 的 四 個 點 ， 就 是 桌腳 的 位置 。 4 .
 
在 四 個 桌腳 的 位置 各 鑽 一 個 洞 ， 拿 四 根 竹 筷子 穿過 紙板 上 的 洞 ， 調整 竹筷 高度 ， 確認 四 支 桌腳 長度 相同 。 5 .
 
用 紙 黏土 做 一 個 不 平整 的 地面 ， 有些 高低 起伏 ， 讓 桌子 不 穩定 。 等 紙 黏土 乾 了 ， 把 桌子 放上去 。 6 .
 
一邊 慢慢 旋轉 桌子 ， 一邊 檢查 桌子 是否 變 得 平穩 。 旋轉 角度 應該 不到 90 度 ， 就 能 找到 讓 桌子 平穩 的 位置 了 。 用 中間值 定理 來 推理 　　 你 找到 那 個 奇蹟 的 角度 了 嗎 ？ 原本 會 晃動 的 桌子 ， 到 某 個 角度 時 忽然 不再 晃 了 。 這 背後 的 原因 ， 能 用 數學 的 「 中間值 定理 」 解釋 。 中間值 定理 的 概念 很 簡單 ， 打 個 比方 來 說 ， 海平面 的 高度 為 0， 比 海平面 高 的 山丘 稱為 「 正 」 ， 低於 海平面 的 窪地 稱為 「 負 」 。 倘若 有 人 從 山丘 走到 窪地 ， 也 就 是 從 正 的 區域 來到 負 的 區域 ， 那 這 個 人 在 過程 中 一定 會 經過 海平面 ， 也 就 是 高度 為 0 的 地方 。 這 也 能 用 在 溫度 上 ， 例如 你 覺得 最 舒服 的 溫度 是 27 度 ， 而 氣象 預報 告訴 你 ， 最近 日夜 溫差 大 ， 白天 高溫會 到 32 度 ， 但 晚上 會 一口氣 降 10 度 ， 只 有 22 度 。 因為 溫度 是 連續 變化 的 ， 所以 你 可以 肯定 ， 在 溫度 下降 的 過程 中 ， 一定 會 體驗到 27 度 的 舒適 溫度 ， 也許 就 在 傍晚 或 清晨 。 聽起來 不 難 吧 ， 事實 上 ， 中間值 定理 在 許多 數學 計算 中 ， 特別 是 方程式 求解 ， 有 很 大 的 用處 。 這 次 ， 我們 要 靠 它 來 解釋 為什麼 桌子 能夠 轉 一 轉 就 不 晃 了 。 我們 先 替 實驗 中 的 四 支 桌腳 各 命名為 A 、 B 、 C 、 D ， 懸空 的 為 A ， 與 地面 的 距離 記為 「 正 」 。 當 你 把 桌子 逆 時鐘 旋轉 90 度 ， A 會 跑到 B 原先 的 位置 ， B 跑到 C ， C 跑到 D ， D 則 來到 原先 A 的 位置 ， 所以 懸空 的 桌腳 變成 D 。 但 如果 我們 規定 ， 旋轉 桌子 時 ， B 、 C 、 D 三 支 桌腳 必須 保持 緊貼 著 地面 ， 那麼 你 會 發現 ， 旋轉 之後 的 A 理論 上 會 插到 地 下 ， 也 就 是 「 負 」 的 區域 。 旋轉 前 A 與 地面 的 距離 是 正 ， 旋轉 後 A 與 地面 的 距離 是 負 ， 根據 剛剛 的 中間值 定理 ， 你 可以 判斷 ， 在 旋轉 的 連續 過程 中 ， 一定 有 某 個 時刻 ， A 會 恰好 碰到 地面 ， 也 就 是 與 地面 的 距離 為 0 ； 與 此 同時 ， B 、 C 、 D 都 需 緊貼 地面 ， 所以 在 這 個 時刻 ， 四 支 桌腳 都 會 剛好 接觸到 地面 ， 桌子 也 就 不會 搖晃 了 。 A 與 地面 的 距離 為 正 A 與 地面 的 距離 為 負 　　 數學家 「 證明 」 只 靠 旋轉 ， 就 能 讓 桌子 不會 晃動 ， 很 厲害 吧 ！ 只是 數學 的 世界 有 非常 多 理想 的 條件 ， 在 這 個 實驗 中 ， 桌子 的 四 支 腳 要 等 長 ， 桌腳 愈 細 效果 愈 好 ， 而且 桌子 必須 是 正方形 。 如果 這些 條件 沒辦法 一一 符合 ， 我們 只得 試試 ： 找 一 張 你 不 喜歡 的 考卷 ， 墊進 懸空 的 桌腳 下 。 延伸 學習 __UNDEF__ 推理 與 證明 　　 這 次 的 實驗 很 神奇 吧 ！ 我們 透過 真實 的 實驗 操作 ， 讓 不 穩定 的 桌子 變 得 不會 晃 ， 如果 一再 重複 實驗 ， 可以 得出 相同 的 結果 。 中間值 定理 則 證明 轉 一 轉 真的 可以 讓 桌面 變 平穩 ， 但 我們 並 不 是 真的 把 桌腳 A 插入 地面 ， 而是 利用 「 想像 」 的 方式 ， 在 腦海 中 做 實驗 並且 進行 推理 ， 這樣 的 研究 方法 叫做 「 想像 實驗 」 。 透過 相同 的 實驗 得到 相同 結果 ， 可以 歸納出 一 件 事 的 因果 關係 ， 但 數學 上 的 「 證明 」 ， 大多 是 利用 邏輯 推理 ， 一步步 演繹出 結論 ， 就 不必 一再 重複 實驗 了 。 我 在 做 想像 實驗 ！ 一 塊 餅乾 + 一 塊 餅乾 = 無限 多 餅乾 __UNDEF__ 再 多 想想 __UNDEF__ 如果 有 五 支 腳 或是 六 支 腳 的 桌子 ， 腳 愈 多 ， 桌子 會 愈 平穩 還是 愈 晃 呢 ？ 紙 上 穿 洞 __UNDEF__ 變 魔術 __UNDEF__ 正方形 一定 永遠 保持 正方形 嗎 ？ 這 次 魔術 般 的 實驗 要 打破 框架 ， 顛覆 你 的 思考 ！ 如果 你 能 讓 這 個 50 元 硬幣 穿過 這 張 紙 的 方孔 ， 硬幣 就 給 你 ！ 嘿嘿 ！ 怎麼 穿 不 過 ！ 哈 ！ 穿過去 了 ！ 咦 ！ ？ 吔吔 ！ 50 元 是 我 的 了 ！ 汪 ！ 汪 ！ 完全 不 算數 啦 ！ 你 把 紙張 弄破 了 ！ 還 記得 〈 為什 人 孔蓋 是 圓 的 ？ 〉 嗎 ？ 如果 人 孔蓋 是 正方形 的 ， 工人 搬開 蓋子 進到 下水道 工作 時 ， 要是 路面 上 一 個 沒 注意 ， 厚重 的 人 孔蓋 很 可能 會 穿過 孔洞 掉進 下水道 ； 但是 圓形人 孔蓋 不會 穿過 圓孔 掉下去 。 這 背後 的 原因 是 ： 圓孔 中 最 長 的 一 條 直線 是 孔洞 的 直徑 ， 它 設計 得 比 圓形人 孔蓋 的 直徑 略 小 一點 ， 所以 無論 人 孔蓋