很 喜歡 拼貼 ， 所以 在 這 個 主題 留下 最多 的 作品 。 臺灣 的 數學 教育 沒有 拼貼 主題 ， 而且 我們 生活 環境 中 的 地磚 大多 是 缺乏 設計 圖案 的 長方形 ， 所以 ， 我們 對於 拼貼 的 數學 性質 ， 可能 感到 比較 陌生 。 相對 地 ， 英 、 美 小學 數學 教育 都 有 拼貼 主題 ， 而且 他們 的 生活 環境 中 可能 看到 更多 樣式 的 地磚 形狀 和 紋飾 。 所謂 正規 平面 分割 的 意思 ， 就 是 只 用 一 種 固定 的 形狀 ， 將 它 平移 、 旋轉 或 翻轉 ， 無縫 且 不 重疊 地 鋪滿 平面 。 例如 艾雪 在 1942年 做 了 一 幅 設計圖 __UNDEF__ [3] ， 圖 中 僅有 一 種 蜥蜴 的 形狀 ， 以 三 種 顏色 鋪滿 了 平面 。 艾雪 的 平面 拼貼 作品 都 具有 以下 特性 ： 第一 ， 圖案 中 沒有 __UNDEF__ 「 背景 」 ， 兩 組 （ 或 更多 組 ） 圖案 彼此 成為 對方 的 背景 ， 彼此 「 鑲嵌 」 或 「 拼貼 」 ， 鋪滿 整 個 平面 。 第二 ， 堅持 創造 人們 「 可 辨認 」 的 形象 圖案 ， 不 像 清真寺 ， 因為 伊斯蘭 的 教義 不准 使用 生物 形象 ， 所以 都 採用 抽象 的 幾何 圖案 作為 紋飾 。 國立 臺灣 師範 大學 數學系 的 許志農 教授 及 研究生 __UNDEF__ [ 4 ] 做 了 許多 正規 平面 分割 技術 的 解析 ， 讓 我們 了解 如何 以 正方形 或 長方形 、 正三角形 、 菱形 （ 由 兩 個 正三角形 組成 ） 、 正 六邊形 為 基礎 ， 經過 巧妙 的 剪貼 而 設計 平面 分割 圖案 。 他們 並且 公布 了 示範 影片 與 創作 集錦 。 艾雪 的 拼貼 版畫 為 數學界 添 了 一 篇 佳話 。 葛登能 （ Martin Gardner , __UNDEF__ 1914 - 2010 ） 是 《 科學人 》 雜誌 的 專欄 作者 ， 他 在 某些 作品 上 被 冠以 「 葛 老爹 」 的 名號 __UNDEF__ [5] 。 我們 到 下 一 篇 再 詳細 介紹 他 。 葛登能 是 將 艾雪 介紹到 美國 和 加拿大 的 重要 推手 之 一 。 在 1975年 的 兩 篇 專欄 裡 ， 葛登能 介紹 了 與 艾雪 的 拼貼 版畫 相關 的 正規 平面 分割 數學 研究 。 當時 人們 已經 知道 ， 任意 三角形 和 凸 四邊形 都 能 鋪滿 平面 ， 任意 六 邊 以上 的 凸 多邊形 都 不能 鋪滿 平面 ， 而 僅有 三 種 凸 六邊形 可以 鋪滿 平面 。 所謂 「 凸 」 多邊形 顧名思義 就 是 每 個 角 都 「 向 外 凸 」 的 意思 ， 而 數學 的 定義 就 是 每 個 「 內角 」 都 不 超過 180 度 。 當時 人們 還 不 清楚 凸 五邊形 的 狀況 。 在 葛登能 寫 專欄 的 時候 ， 數學家 已經 發現 了 八 種 可以 鋪滿 平面 的 凸 五邊形 ， 而且 已經 停頓 在 這 個 點 上 半 個 世紀 之 久 。 一 位 住在 美國 加州 南部 ， 只 有 高中 學歷 的 五十二 歲 家庭 主婦 萊斯 （ Marjorie Rice ） ， 每 個 月 都 會 翻閱 她 兒子 訂 的 《 科學人 》 。 那 年 12月 ， 她 讀 了 專欄 之後 覺得 自己 能夠 處理 這 個 問題 。 她 一邊 準備 全 家 的 耶誕 大餐 ， 一邊 躲 在 廚房 裡 偷偷 做 她 的 數學 研究 。 她 陸續 發現 了 五 種 可 鋪滿 平面 的 凸 五邊形 ， 下圖 是 其中 一 種 。 萊斯 把 她 的 發現 寄給 葛登能 ， 葛登 能 將 之 轉給 一 位 專業 數學家 ， 而 後者 給予 數學 證明 之後 ， 幫 萊斯 將 她 的 發現 發表 到 期刊 上 。 從 1975 到 1977 這 兩 年 之間 ， 可 鋪滿 平面 的 凸 五邊形 種類 ， 從 八 種 猛進 到 十三 種 。 連續 漸變 與 循環 __UNDEF__ 除了 矛盾 和 映射 的 妙用 ， 以及 各 種 對稱 方式 的 平面 拼貼 以外 ， 艾雪 令 數學家 為 之 傾倒 的 另 一 類 作品 ， 就 是 連續 漸變 （ morphing ） 。 在 電腦 動畫 時代 ， 如今 這 種 技術 已經 有 軟體 可以 代勞 大部分 的 技術 細節 ， 而 數學家 在 更 早 以前 便 在 「 拓樸學 」 的 Homotopy 主題 中 思索 這 種 現象 。 艾雪 沒有 看 過 連續 漸變 動畫 ， 也 沒有 學 過 拓樸 ， 憑著 他 自己 的 想像力 和 創造力 而 成就 了 這些 作品 。 一 幅 早期 的 作品 《 循環 》 （ Cycle , 1938 ） ， 結合 了 漸變 與 平面 拼貼 兩 種 元素 。 一 個 跑下 樓梯 的 快樂 小人兒 ， 從 立體 圖像 漸 變成 平面 圖案 ， 以 三角形 （ 三 條 對稱 軸 ） 方式 貼滿 下方 的 平面 ， 然後 上升 變為 菱形 ， 而 三 種 顏色 的 菱形 組成 了 正方體 ， 融入 了 建築 的 主體 ， 小人兒 又 從 裡面 跑出來 。 艾雪 或許 會 暗自 懊惱 ， 「 循環 」 這 個 題目 給 得 太早 了 ， 他 後來 做 了 更 美妙 而 深刻 的 循環 。 就 好像 米蘭．昆德拉 （ Milan Kun-dera ） ， 似乎 在 他 後來 的 作品 中 暗示 「 生命 中 不能 承受 的 輕 」 這 個 題目 給 得 太早 了 。 艾雪 在 《 循環 》 之後 大約 兩 年 而 做 的 《 變形 二 》 （ Metamorphosis II , 1939 -1940 ） ， 是 一 幅 大約 4 公尺 的 「 長幅 」 ， 或許 比 《 循環 》 更 循環 些 。 從 《 變形 二 》 左側 儉樸 的 文字 格線 出發 ， 想像 著 低沉 的 四二 拍子 背景 音樂 ， 隨著 正方形 棋盤格 經過 一 段 變奏 之後 ， 序曲 轉變為 四三 拍子 的 第一 樂章 ， 蜥蜴 從 地 裡 爬 了 出來 ， 蜜蜂 也 從 蜂巢 裡 飛 了 出來 。 萬物 滋長 ， 生生不息 ， 歡愉 的 樂音 帶 著 我們 來到 南義 地中海 邊 的 一 座 小鎮 ， 音色 逐漸 黯淡 下來 ， 伊斯蘭 形式 的 防禦 堡壘 跨入 海 中 ， 變成 了 西洋 棋盤 上 的 城堡 。 序曲 的 旋律 再度 浮現 ， 燈光 漸 暗 ， 標題 文字 變成 了 謝幕 文字 。 將 這 幅 畫 連成 一 長條 ， 再 將 它 在 首尾 都 出現 標題字 的 位置 重疊 黏接成 一 個 環 ， 就 真的 可以 循環 不已 地 展出 了 ； 就 好像 上緊發條 的 音樂盒 ， 可以 循環 地 播放 。 漸變 過程 中 出現 多 次 的 平面 拼貼 ， 在 簡單 的 幾何 與 複雜 的 生物 型態 之間 轉換 ， 在 平面 與 立體 間 轉換 ， 在 生命 與 物質 間 轉換 。 艾雪 完成 了 一 幅 豐富 的 版畫 。 艾雪 最 具 代表性 的 平面 拼貼 加 漸變 作品 ， 當 推 《 晝 與 夜 》 （ Day and Night , __UNDEF__ 1938 ） 。 這 幅 作品 的 圖案 左右 對稱 ， 顏色 相反 ， 從 左邊 白晝 的 城市 與 河流 ， 沿著 天空 上 飛行 的 黑鳥 ， 將 我們 的 視線 慢慢 轉換為 白鳥 ； 黑鳥 與 白鳥 在 圖片 的 中央 分割 了 平面 ， 牠們 向 下 漸 變為 田野 ， 向 兩 側 漸 變為 對方 的 背景 。 在 視覺 效果 上 ， 這 幅 圖 同時 具備 了 奇 對稱 和 偶 對稱 的 雙重 特質 ： 就 圖案 的 線條 而言 ， 對稱 於 中垂線 ， 是 一 種 偶對稱 ， 就 顏色 而言 ， 則 左右 相反 ， 是 一 種 奇 對稱 。 另 一 幅 拼貼 漸 變 的 作品 《 太初 》 （ Verbum , 1942 ） ， 具體 表現 萬物 生息 與 生命 循環 的 意涵 。 Verbum 是 拉丁文 ， 英譯為 Word ， 艾雪 根據 它 在 《 聖經 》 「 In __UNDEF__ the beginning was the __UNDEF__ Word ...
 
」 這 句 話 裡 的 位置 ， 引用 它 作為 「 In __UNDEF__ the beginning 」 的 意思 ， 所以 我 將 這 幅 畫 的 名字 意 譯為 「 太初 」 ， 而 不 是 直 譯 的 「 字 」 或者 「 道 」 。 在 《 太初 》 這 幅 正 六邊形 構圖 的 中心 ， 渾濁 的 灰色 地帶 寫 著 VERBUM 。 從 那 混沌 不明 的 太初 向 外 延展 ， 黑白 相間 的 三角形 逐漸 演化成 青蛙 、 游魚 和 飛鳥 。 這些 生物 組成 另 一 個 內 接 六邊形 ， 內外 六邊形 之間 示意 了 天空 、 海洋 與 陸地 的 白晝 與 暗 夜 。 從 中心 向 外 ， 黑色 三角形 漸 變成 暗 夜 的 底色 ， 白色 三角形 漸 變成 白晝 的 底色 。 順時鐘 旋轉 ， 白色 生物 轉接 給 黑色 ， 黑色 給 白色 ， 而 生命 的 形式 也 在 青蛙 、 游魚 和 飛鳥 之間 轉換 。 讀到 這裡 ， 或許 會 認為 艾雪 是 一 名 基督徒 。 其實 這 很 可能 是 個 誤會 ： 解讀 他 的 文章 ， 他 比較 像 一 名 無神論 者 。 艾雪 的 畫 自在 地 引用 基督教 、 猶太教 、 回教 和 佛教 的 元素 ， 以 《 太初 》 為 例 ， 雖然 借用 了 《 聖經 》 裡 的 一 個 字 ， 關心 的 卻 主要 是 萬物 的 孳息 ， 甚至 還 有 生命 形式 「 各 站 停靠 」 的 隱喻